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- 2021-10-25 发布
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4.5 利用三角形全等测距离
1.复习并归纳三角形全等的判定及性质;
2.能够根据三角形全等测定两点间的距离,并解决实际问题.(重点,难点)
一、情境导入[来源:学科网]
如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意:[来源:学§科§网Z§X§X§K]
先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC.连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE并测量出它的长度,你知道其中的道理吗?
二、合作探究
探究点:利用三角形全等测量距离
【类型一】 利用三角形全等测量物体的高度
小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
解析:根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB-PB求出即可.
解:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,∴∠DCP=∠APB=54°.在△CPD和△PAB中,∵∠CDP=∠ABP,DC=PB,∠DCP=∠APB,∴△CPD≌△PAB(ASA),∴DP=AB.∵DB=36米,PB=10米,∴AB=36-10=26(米).[来源:学科网ZXXK]
答:楼高AB是26米.
方法总结:在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题,可以利用三角形全等将这些距离进行转化,从而达到测量目的.[来源:学_科_网]
【类型二】 利用三角形全等测量物体的内径
要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图所示的卡钳,点O为卡钳两柄交点,且有OA=OB=OC=OD,如果圆形工件恰好通过卡钳AB,则此工件的外径必是CD的长,其中的依据是全等三角形的判定条件( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
解析:如图,连接AB、CD.在△ABO和△DCO中,OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,∴△ABO≌△DCO(SAS),∴AB=CD.故选B.
方法总结:利用全等三角形的对应边来测量不能直接测量的距离,关键是构造全等三角形.
【类型三】 与三角形全等测量距离相关的方案设计问题
如图所示,有一池塘,要测量池塘两端A、B的距离,请用构造全等三角形的方法,设计一个测量方案(画出图形),并说明测量步骤和依据.
解析:本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法,设计时,只要符合全等三角形全等的条件,方案具有可操作性,需要测量的线段在陆地一侧可实施,就可以达到目的.
解:在平地任找一点O,连OA、OB,延长AO至C使CO=AO,延BO至D,使DO=BO,则CD=AB,依据是△AOB≌△COD(SAS).
方法总结:在解决方案设计探究问题时,符合条件的方案设计往往有多种,解题的关键在于通过分析,将实际问题转化为数学模型,构造出全等三角形进行解决.
【类型四】 利用三角形全等解决实际问题
如图,工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔,要使孔口从墙壁对面的B点处打开,墙壁厚是35cm,B点与O点的铅直距离AB长是20cm,工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC=35cm,画CD⊥OC,使CD=20cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从B点处打出,这是什么道理呢?请你说出理由.
解析:由OC与地面平行,确定了A,O,C三点在同一条直线上,通过说明△AOB≌△COD可得D,O,B三点在同一条直线上.
解:∵OC=35cm,墙壁厚OA=35cm,∴OC=OA.∵墙体是垂直的,∴∠OAB=90°.又∵CD⊥OC,∴∠OAB=∠OCD=90°.在△OAB和△OCD中,∠OAB=∠OCD=90°,OC=OA,∠AOB=∠COD,∴△OAB≌△OCD(ASA),∴DC=AB.∵DC=20cm,∴AB=20cm,∴钻头正好从B点出打出.
三、板书设计
1.利用全等三角形测量距离的依据
“SAS”“ASA”“AAS”
2.运用三角形全等解决实际问题
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
通过实例引入课堂教学,激发学生的探究兴趣,从而了解到全等
三角形在实际生活中的应用.在小组间的合作探究过程中,要鼓励学生大胆设想,充分展开联想,对三角形全等的利用进行深层的探究与学习,培养学生的创造性和独立解决问题的能力