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- 2021-10-25 发布
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第三章
一元一次方程
3.4实际问题与一元二次
方程
第4课时
1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用,
能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费
问题”进行整体分析,从而得出整体选择方案.
(重点、难点)
2. 进一步深化对数学建模方法的体验,增强应用
方程模型解决问题的意识和能力.(重点)
学习目标
讲授新课
互动探究
下表中有两种移动电话计费方式:
免费0.1935088方式二
免费0.2515058方式一
被叫
主叫超时
费/(元/分)
主叫限定
时间/分
月使用
费/元
电话计费问题
想一想 你觉得哪种计费方式更省钱?
填填下面的表格,你有什么发现?
主叫时间(分) 100 150 250 300 350 450
方式一计费(元)
方式二计费(元)
58 58 83 95.5 108 133
88 88 88 88 88 107
计费方式一
0
加超时费0.19元/分基本费88元
基本费58元 加超时费0.25元/分
150分
350分
计费方式二
哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”.
考虑 t 的取值时,两个主叫限定时间 150 min和
350 min是不同时间范围的划分点.
计费时首先要看主叫是否超过限定时间,
主叫不超过限定时间,月使用费一定;
主叫超过限定时间,超时部分加收超时费.
问题1 设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整
数),列表说明:当 t 在不同时间范围内取值时,按
方式一和方式二如何计费.
当 t 在不同时间范围内取值时,方式一和方式二
的计费如下表:
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于150
t 等于150
t 大于150且小于
350
t 等于350
t 大于350
58 88
58 88
58+0.25(t-150) 88
88108
58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350)
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于150 58 88
t 等于150 58 88
t 大于150且小于
350 58+0.25(t-150) 88
t 等于350 108 88
t 大于350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350)
问题2 观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时
间选择省钱的计费方式吗?通过计算验证你的看法.
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于150 58 88
t 等于150 58 88
①当t ≤150时,方式一计费少(58元);
(1) 比较下列表格的第2、3行,你能得出什么结论?
<
<
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 等于150 58 88
t 大于150且小于
350 58+0.25(t-150) 88
t 等于350 108 88
(2) 比较下列表格的第2、4行,你能得出什么结论?
>
<
当t 大于150且小于 350时,存在某一个值,使得两种方式计费
相等.
依题意 ,得58+0.25(t-150) = 88,
解得 t =270.
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 大于350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350)
解析:当t>350分时,方式一的计费其实就是在108元的基
础上,加上超过350分部分的超时费[0.25(t-350)].
(3) 当t >350分时,两种计费方式哪种更合算呢?
当t >350时,
方式一: 58+0.25(t-150)= 108+0.25(t-350),
方式二: 88+0.19(t-350),
所以,当t >350分时,方式二计费少.
加超时费0.19元/分基本费88元
加超时费0.25元/分 基本费58元
3500 150
计费方式一
计费方式二
108
88
58
88
( t 是正整数)
t /分
88
88
270
综合以上的分析,可以发现:
时,选择方式一省钱;
时,选择方式二省钱;
时,方式一、方式二均可.
t 小于 270
t 大于 270
t 等于 270
(1)回顾问题的解决过程,谈谈你的收获.
(2)解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些?
本题中运用了哪些方法突破这些难点?
(3)电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程
解决了什么问题?
想一想
列表分析
借助数轴
审
题
分类讨论
更
优
惠
费
用
相
同
列
方
程
用
未
知
数
表
示
费
用
设
未
知
数
如何比较两个
代数式的大小
要找不等关系
先找等量关系
例 小明和小强为了买同一种火车模型,决定从春节
开始攒钱,小明原有200元,以后每月存50元;小强
原有150元,以后每月存60元.设两人攒钱的月数为x
(个)(x为整数).
(1)根据题意,填写下表:
攒钱的月数/个 3 6 … x
小明攒钱的总
数/元
350 …
小强攒钱的总
数/元
510 …330
500 200+50x
150+60x
(2)在几个月后小明与小强攒钱的总数相同?
此时他们各有多少钱?
(2) 根据题意,得200+50x=150+60x,
解得x=5.
所以150+60x=450.
答:在5个月后小明与小强攒钱的总数相同,
此时每人有450元钱.
(3)若这种火车模型的价格为780元,他们谁能够
先买到该模型?
(3) 根据题意,由200+50x=780,解得x=11.6,
故小明在12个月后攒钱的总数超过780元.
由150+60x=780,解得x=10.5,
故小强在11个月后攒钱的总数超过780元.
所以小强能够先买到该模型.
方法总结:解决此类问题的关键是能够根据已知条
件找到合适的分段点,然后建立方程模型分类讨论,
从而得出整体选择方案.
做一做
移动公司推出两种智能手机上网流量包:
月使用费
(元)
含上网流量
(M)
流量超出部分
(元/M)
A种 30 320 0.2
B种 50 550 0.1
如何选择流量包更划算?
解:设一个月内使用的流量为 x M,根据题意,当x
在不同范围内取值时,两种流量包计费如下表:
使用流量 x(M) A种计费(元) B种计费(元)
x小于等于320 30 50
x大于320且小于550 30+0.2(x-320) 50
x等于550 76 50
x大于550 30+0.2(x-320) 50+0.1(x-550)
(1) 当 x ≤ 320 时,流量包A 计费少(30元);
(2) 当 320<x<420 时,流量包A 计费少(<50元);
(3) 当 x = 420时,两种流量包计费相等,都是50元;
(4) 当 420<x<550 时,流量包B 计费少(50元);
(5) 当 x = 550 时,流量包B 计费少(50元);
(6) 当 x>550 时,流量包B 计费少.
综上所述,
当月使用流量小于 420 M 时,选择流量包A 划算;
当月使用流量等于 420 M 时,两种流量包费用一样;
当月使用流量大于 420 M 时,选择流量包B 划算.
1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是:每户用
水不超过5吨,每吨水费x元;超过5吨,超过部分每
吨加收2元,小明家今年5月份用水9吨,共交水费为
44元,根据题意列出关于x的方程正确的是( )
A.5x+4(x+2)=44
B.5x+4(x-2)=44
C.9(x+2)=44
D.9(x+2)-4×2=44
当堂练习
A
2. 某市为鼓励居民节约用水,对自来水用户按分段
计费方式收取水费:若每户每月用水不超过 7m3,
则按 2 元/m3 收费;若每户每月用水超过 7 m3,
则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年
12月缴纳了 53 元水费,那么这户居民去年12月
的用水量为_______m3.20
3. 某市生活拨号上网有两种收费方式,用户可以任选
其一. A计时制:0.05 元/分钟;B包月制:60 元/月
(限一部个人住宅电话上网). 此外,两种上网
方式都得加收通信费 0.02 元/分钟.
(1) 某用户某月上网时间为x小时,请分别写出两种
收费方式下该用户应该支付的费用;
(2) 你认为采用哪种方式比较合算?
解:(1) 采用计时制:(0.05+0.02)×60x=4.2x,
采用包月制:60+0.02×60x=60+1.2x;
(2) 由 4.2x = 60+1.2x,得 x=20. 又由题意可知,上
网时间越长,采用包月制越合算.所以,
当 0 < x < 20 时,采用计时制合算;
当 x=20 时,采用两种方式费用相同;
当 x > 20 时,采用包月制合算.
4. 用A4纸在某复印社复印文件,复印页数不超过20
时每页收费0.12元;复印页数超过20时,超过部
分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,
不论复印多少页,每页收费0.1元. 问:如何根据
复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜?
(复印的页数不为零)
复印页数x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元
x 小于20 0.12x 0.1x
x 等于20 0.12×20=2.4 0.1×20=2
x 大于20 2.4+0.09(x-20) 0.1x
解:设复印页数为x,依题意,列表得:
(1) 当 x <20 时,0.12x 大于 0.1x 恒成立,图书馆价
格便宜;
(2) 当 x = 20 时,图书馆价格便宜;
(3) 当 x 大于20时,依题意得
2.4+0.09(x-20) = 0.1x.
解得 x = 60
所以,当x大于20且小于60时,图书馆价格便宜;
当x等于60时,两者价格相同;
当x大于60时,复印社价格便宜.
综上所述:当 x 小于60页时,图书馆价格便宜;
当 x 等于60时,两者价格相同;
当 x 大于60时,复印社价格便宜.
5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本.已知两商店的标
价都是每本1元,甲商店的优惠方法是:购买10本
以上时,从第11本开始按标价的70%出售;乙商店
的优惠方法是:从第一本开始就按标价的80%出售.
(1) 小明要买20本时,到哪家商店购买省钱;
(2) 买多少本时,到两个商店花的钱一样多;
(3) 小明现有24元钱,最多可买多少本练习本.
答案:(1) 小明要买 20 本时,到乙家商店购买省钱;
(2) 买 30 本时,到两个商店花的钱一样多;
(3) 小明现有 24 元钱,最多可买 30 本练习本.
课堂小结
1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省
钱”与“主叫时间”有关.
2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适
的分段点,然后建立方程模型分类讨论,从而
得出整体选择方案.