人教版七年级上数学教学课件：直线、射线、线段 (2) 37页

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 4.2 直线、射线、线段 第四章 几何图形初步 第 2 课时 线段长短的比较与运算 学习目标 1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两 条线段的长短 . ( 重点 ) 2. 理解线段等分点的意义 . 3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的 长度 . ( 重点、难点 ) 4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化 . 5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段 最短”的线段性质，并学会运用 . ( 难点 ) 导入新课 情境引入 观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗？ 三组图形中，线段 a 与 b 的长度均相等 很多时候，眼见未必为实 . 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法 . (1) (2) (3) a b a a b b 讲授新课 线段长短的比较 一 合作探究 做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段， 使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用以上办法 . 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何 再画一条与它相等的线段？ 思考： 小提示： 在可打开角度的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于可以移动的 “ 小木棍 ”. 作一条线段等于已知线段 已知：线段 a ，作一条线段 AB ，使 AB = a . 第一步：用直尺画射线 AF ； 第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a . ∴ 线段 AB 为所求 . a A F a B 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是 尺规作图 . 　　 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？ 讨论： 160cm 170cm 比较两个同学高矮的方法： —— 叠合法 . ②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮 . ①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较 . —— 度量法 . D C B 试比较线段 AB ， CD 的长短 . ( 1 ) 度量法； ( 2 ) 叠合法 将其中一条线段 “ 移 ” 到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较 . ( A ) C D A B 尺规作图 C D 1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 C ， D 之间，那么 AB CD . ( A ) B ＜ 叠合法 结论： C D A B B ( A ) 2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D ，那么 AB = CD . 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上，那么 AB CD . 重合 ＞ B A B A C D ( A ) ( B ) 线段的和、差、倍、分 二 在直线上画出线段 AB = a   ，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b ，线段 AC 就是 与 的 和 ，记作 AC = . 如果在 AB 上画线段 BD = b ，那么线段 AD 就是 与 的 差 ，记作 AD = . A B C D a + b a - b a b b 画一画 a b a + b a b a - b 1. 如图，点 B ， C 在线段 AD 上则 A B + BC =____ ； AD － CD =___ ； BC ＝ ___ － ___= ___ － ___. A B C D AC AC AC AB BD CD 做一做 2. 如图，已知线段 a ， b ，画一条线段 AB ，使 AB =2 a － b . a b A B 2 a － b 2 a b 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ A B M A B M 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM ，点 M 叫做线段 AB 的 中点 . 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等 . 线段的三等分点 线段的四等分点 A a a M B M 是线段 AB 的中点 几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点 ∴ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ) 反之也成立： ∵ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 AB ) ∴ M 是线段 AB 的中点 点 M , N 是线段 AB 的三等分点： AM = MN = NB = ___ AB ( 或 AB = _ _ _ AM = _ _ _ MN = _ _ _ NB ) 3 3 3 N M B A 例 1 若 AB = 6cm ，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少 ? 解：∵ C 是线段 AB 的中点， ∵ D 是线段 CB 的中点， 典例精析 ∴ AC = CB = AB = × 6= 3 (cm). ∴ CD = CB = × 3=1.5 (cm). ∴ AD = AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm). A C B D 例 2 如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD= 3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长． F E C B D A 解析：根据已知条件 AB：BC：CD=3：2：5，不妨设 AB=3 x ,BC =2 x ,CD=5 x , 然后运用线段的和差倍分，用含 x 的代数式表示 EF 的长，从而得到一个关于 x 的一元一次方程，解方程，得到 x 的值，即可得到所求各线段的长 . F E C B D A 解：设AB=3 x ，BC=2 x ，CD=5 x ， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 所以 EF=BE+BC+CF= 因为 EF=24 ，所以 6 x =24, 解得 x =4. 所以AB=3 x =12 ，BC=2 x =8 ，CD=5 x =20. 方法总结： 求线段的长度时，当题目中涉及到 线段长度的比例或倍分关系 时，通常可以设未知数，运用 方程思想 求解 . 变式训练： 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB = CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长． F E B D C A 解析：根据已知条件，不妨设 BD= x cm ，则 AB= 3 x cm,CD=4 x cm, 易得 AC=6 x cm . 在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含 x 的代数式表示 EF 的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可 . 解：设 BD= x cm, 则AB=3 x cm ，C D = 4 x cm ， AC = 6 x cm ， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 所以 EF=AC - AE - CF= 所以AB=3 x cm=12cm ，C D = 4 x cm=16cm. F E B D C A 因为 EF=10 ，所以 x =10, 解得 x =4. 例 3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　） A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 解析：分以下两种情况进行讨论： 当 点 C在AB之间上，故AC=AB - BC=1cm；  当 点 C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm． C 方法总结： 无图时求线段的长，应注意 分类讨论， 一般分以下两种情况：  点在某一线段上；  点在该线段的延长线 . 变式训练： 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　） A．21cm或4cm B．20.5cm C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm D 1. 如图，点 C 是线段 AB 的中点，若 AB = 8 cm ， 则 AC = cm. 4 C 练一练 A C B 2. 如图，下列说法，不能判断点 C 是线段 AB 的 中点的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB A C B 3. 如图，线段 AB =4 cm ， BC = 6 cm ，若点 D 为 线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求 线段 DE 的长 . A D B E C 答案： DE 的长为 5 cm. 如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线 . 有关线段的基本事实 三 • • A B 议一议 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实： 两点的所有连线中，线段最短 . 连接两点间的 线段 的 长度， 叫做 这两点的距离 . • • A B 你能举出这条性质在生活中的应用吗？ 简单说成： 两点之间，线段最短 . 两点之间线段最短 1. 如图，这是 A ， B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A ， B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由 . 想一想 . B A . 2. 把原来弯曲的河道改直， A ， B 两地间的河道长 度有什么变化？ A B A ， B 两地间的河道长度变短 . 1. 如图， AB + BC AC ， AC + BC AB ， AB + AC BC ( 填“ > ”“ < ” 或“ = ” ). 其中蕴含的数学道理是 . ＞ 两点之间线段最短 练一练 ＞ ＞ A B C 2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A ， B 两个村庄， 如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C ，使汽 车站到 A ， B 两村庄的距离之和最小，请在图中 画出汽车站的位置 . C A B l 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度 2. 如图， AC = DB ，则图中另外两条相等的线段为 _____________. 当堂练习 C A C D B AD ＝ BC 3. 已知线段 AB = 6 cm ，延长 AB 到 C ，使 BC = 2 AB ，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为 ________. C A D B 15 cm 4. 点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是 - 3，1，若BC=5，则AC= _________ ． 11或1 5. 如图： AB = 4 cm ， BC = 3 cm ，如果点 O 是线段 AC 的中点．求线段 OB 的长度． A B C O 解：∵ AC = AB + BC = 4+3=7 (cm) ， 点 O 为线段 AC 的中点， ∴ OC = AC = × 7 = 3.5 (cm) ， ∴ OB = OC － BC = 3.5 － 3 = 0.5 (cm) ． 6. 已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长． D A C B M AD=10 x =20 ． 解：设AB=2 x ，BC=5 x ，CD=3 x , 所以 AD=AB+BC+CD=10 x . 因为M是AD的中点， 所以AM=MD=5 x ， 所以BM=AM - AB=3 x . 因为BM=6， 即3 x =6，所以 x =2 . 故CM=MD - CD=2 x =4， 课堂小结 线段长短的比较与运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 思想方法 方程思想 分类思想 基本作图