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- 2021-10-26 发布
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5.1.2 垂 线
教学目标
1. 了解垂直概念;
2. 能说出垂线的性质“经过一点;能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”;
3. 会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
重点:两直线互相垂直的有关性质.
难点:过直线上(外)一点作已知直线的垂线.
教学过程
一、 创设情境,引入课题
生活中的垂线
二、目标导学,探索新知
目标导学1:垂直的定义
活动1 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α =90°时,a与b垂直.当α ≠90°时,a与b不垂直,叫斜交.
1.垂直定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角(90°)时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。
(说明)从垂直的定义可知,判断两条直线互相垂直的关键:只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。
2. 垂直的表示:用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图,a、b互相垂直, 垂足为O,则记为:a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足,则记为:a⊥b, 垂足为O.或a⊥b于O.
实际应用:日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?
【教学备注】
【教学提示】引导学生通过木条的转动过程得出垂线的定义。
试一试:
1、下面四种判定两条直线垂直的方法,正确的有 ( )个
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角, 则这两条直线互相垂直
(2)两条直线相交,只要有一组邻补角相等,则这两条直线互相垂直
(3)两条直线相交,所成的四个角相等,这两条直线互相垂直
(4)两条直线相交,有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
2.如图,已知AOB为一直线,∠AOD:∠BOD=3:1,OD平分∠COB,(1)求∠AOC的度数;(2)判断AB与OC的位置关系.
目标导学2:垂线的书写形式
当直线AB与CD相交于O点,∠AOD=90°时,AB⊥CD,垂足为O.
书写形式1:因为∠AOD=90°(已知)
所以AB⊥CD(垂直的定义)反之,若直线AB与CD垂直,垂足为O,那么,∠AOD=90°
书写形式2:.如图.直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,OB平分∠ DOF,∠
[来源:学,科,网]
DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数.
垂线的定义
学习目标3:垂线的画法和垂线性质1[来源:学科网]
活动2 (一)画已知直线的垂线
(1)如图1,已知直线 m,作m的垂线。
图1 图2
(2)如图2,已知直线m和m上的一点A ,作m的垂线.
(1)靠:把三角板的一直角边靠在直线上;
(2)移:移动三角板到已知点;[来源:学+科+网Z+X+X+K]
(3)画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
思考:
(1)画已知直线m的垂线能画几条?
(2)过直线m上的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条?
(3)过直线m外的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条?
试一试:
过点p 向线段AB所在直线引垂线,正确的是( ).
【教学提示】对垂线概念进行小结。
【教学提示】通过画垂线的过程,引导学生思考,得出性质1.
垂线的性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
说明: (1)“过一点”包括几种情况?线上和线外;(2)“有且只有”是什么意思?存在性与唯一性。
(二)过点P作线段或射线所在直线的垂线
注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.
试一试:
1. 如图,分别过A、B、C ,作BC、AC、AB的垂线。
2. 如图,过P分别作OA、OB的垂线。
学习目标3:垂线的性质
活动3 比较过直线m外一点O与m相交的所有线段中,哪一条最短?
垂线的性质2 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中.垂线段最短.即:垂线段最短.
点到直线的距离 直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离.
应用:在体育课上,老师是怎样测量同学们的跳远成绩的?你能尝试说明其中的理由吗?
做法:将尺子拉直与踏板边所在直线垂直,取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的距离就是跳远成绩.[来源:Zxxk.Com]
理由:直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短.
[来源:Zxxk.Com]
四、垂线的定义与性质的应用
1.如图.直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,OB平分∠ DOF,∠DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数.
解:因为AB⊥OE (已知)
所以 ∠EOB=90°(垂直的定义)
因为∠DOE= 50° (已知)
所以 ∠DOB=40°(互余的定义)
所以∠AOC= ∠DOB=40°(对顶角相等)
又因为OB平分∠DOF
所以∠BOF= ∠DOB=40°(角平分线定义)
所以∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
所以∠COF=∠COD-∠DOF=180°-80°=100° (邻补角定义)
2.如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从A村开往B村,P村不在路AB 上.
(1)如果有一人想在A、B两村之间下车,前往P村,他在哪里下车走的路程最短?请画出图形,并说明原因.
(2)汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越近?汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越远?
答案:(1)在O点下车走的路程最短.
原因:垂线段最短.
(2)在AO路段上行驶时,与P村的距离
越来越近,在OB路段上行驶时,与P
村的距离越来越远.
3.下面四种判定两条直线的垂直的方法.正确的个数为( )
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角.则这两条直线互相垂直
②两条直线相交.只要有一组邻补角相等.则这两条直线互相垂直
③两条直线相交.所成的四个角相等.这两条直线互相垂直
④两条直线相交.有一组对顶角互补.则这两条直线互相垂直
A.5 B.4 C.3 D.2
三、 巩固训练,熟练技能
1..两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直的是 ( )
(A) 有两个角相等 ( B)有两对角相等
(C) 有三个角相等 ( D)有四对邻补角
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90,
①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD,过D点作三角形
ABD的AB边上的高DE。
②点A到直线BC的距离是线段__________的长度.
点B到直线AC的距离是线段__________的长度.
点D到直线AB的距离是线段__________的长度
线段AD的长度是点________到直线_______的距离.
l 如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°,求∠AOE.
4.如图:直线AB和 CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD,∠BOF=40º,求∠DOE和∠AOC的度数.
三、 归纳总结,板书设计
1. 垂直的概念:如果两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角,就说这两条直线互相垂直.
2. 垂线的性质1:同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3. 垂线的性质2:直线外一点与直线上各点连结的所有线段中.垂线段最短.
五、课后作业,目标检测
见本教辅同步内容
教学反思
垂线是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识,是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础,与其他数学知识一样,它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性质,蕴含着“从一般到特殊”的认识规律,是培养学生思维能力的重要内容之一.垂线的概念和性质是本节课的重点,也是全章的内容之一;经过一点画已知直线的垂线,是本节课的一个难点,在这个地方应让学生多观察,多思考.让学生动手画一画,试一试.鼓励学生思考并在小组内交流,全班交流.教师引导学生总结以上两个结论.全班内交流成果.教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系:(1)“互相垂直”指两条直线的位置关系;(2)“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名. 如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”, 如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”.
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