《同步导学案》人教七年级数学（下册）第八章８.４三元一次方程组解法举例 8页

‎８.４三元一次方程组解法举例 ‎1.了理解三元一次方程组的含义．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．‎ ‎2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．‎ ‎3.重难点: 会解简单的三元一次方程组,进一步体会“消元”的基本思想．针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．‎ 知识导入 一同学手头有12张面额分别为10元，20元，50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的数量是20元纸币数量的4倍，你能知道这位同学10元，20元，50元纸币各多少张．看下面同学的解答:‎ 解:设10元，20元，50元各x张，y张，z张．根据三种纸币共12张；三种纸币共220元；10元纸币的数量是20元纸币的4倍．列方程组,得:‎ 解得 .由此可知10元，20元，50元各8张，2张，2张．你知道他是怎么解出来吗?让我们一起来学习三元一次方程组的知识.‎ 知识讲解 知识点一：解三元一次方程组 解三元一次方程组 ‎(1)定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．‎ ‎(2)方程组的根本思想还是消元．解三元一次方程，可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转化一元．‎ ‎(3)三元一次方程组的消元．如同解二元一次方程组．首先要认真观察方程组中各方程中系数的特点，可根据题目的特点，然后选择最好的解法，灵活消元．因此代入消元、加减消元法均可运用．‎ 例 解三元一次方程组 ‎ 分析 方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.‎ 解析 ②×3+③，得11x+10z=35． ④‎ ‎①与④组成方程组解得 ‎ 把x=5，z=-2代入②，得y=．‎ ‎ 因此，三元一次方程组的解为 点拨 此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．用代入法运算较烦琐．‎ 知识点二：用三元一次方程组解决问题 例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值．‎ 分析 把a，b，c看作三个未知数,分别把已知的x,y值代入原不等式,就可以得到一个三元一次方程组.解出此方程组的解即可.‎ 解析 由题意，得三元一次方程组 ‎②-①，得a+b=1， ④‎ ‎③-①，得4a+b=10． ⑤‎ ‎④与⑤组成二元一次方程组．‎ 解得 把a=3，b=-2代入①，得c=-5．‎ 因此，‎ 答：a=3，b=-2，c=-5．‎ 点拨 方程组中三个方程中C的系数相同,通过方程之间的加减可消去C,组成新的方程组.充分利用加减来消元.‎ 知识探究 ‎1.解三元一次方程组 例　　解方程组 分析　(1)先把方程②化简，观察③式没有ｚ，可把③式代入①②消去ｘ，把方程组变为二元一次方程组．‎ ‎（2）或者由①×5-②消去z,这样组成新的二元一次方程组 解析 代入消元 ③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元了 即解得把y=2,代入③得x=8所以方程组的解为.‎ 加减消元 ①×5-②得4x+3y=38 ④‎ ‎③④组成方程组.‎ 解这个方程组,得.‎ 把x=8,y=2代入①,得8+2+z=12.‎ 所以z=2.‎ 因此，三元一次方程组的解为.‎ ‎2.应用三元一次方程组解决实际问题 如果实际应用型题目中出现三个量时要考虑到用三元一次方程组解答.比如三位数的问题,足球赛计分等.‎ 例 某学校举行运动会，参加跳远比赛的人数比参加400米的人数2倍少3人，参加标枪运动的人数与参加400米的人数的比是2∶3，参加三种比赛人数共41人，求参加三种比赛的人数各有多少？‎ 分析 　设参加跳远比赛的人数为x人，参加400米的人数为y人，参加标枪运动的人数为z人，分析题中存在的相等关系：‎ ‎　　①跳远比赛的人数＝2×400米的人数－3，即x＝2y－3；‎ ‎　　②标枪运动的人数：400米的人数＝2∶3，即z∶y＝2∶3；‎ ‎　　③三种比赛人数总和为41人，即x＋y＋z＝41. ‎ 解析 设参加跳远比赛的人数为x人，参加400米的人数为y人，参加标枪运动的人数为z人，根据题意列方程组，得 ‎　　解这个方程组，得 答：参加跳远比赛的人数为21人，参加400米的人数为12人，参加标枪运动的人数为8人. ‎ 易错辨析 ‎ 题 解方程组 错解 消元时①—②得x-z=-2④，‎ ‎②-③得y-x=-1⑤‎ 这样④和⑤组成的方程组由无数解．所以原方程组也为无数解．‎ 辨析　这样的所谓消元是假消元，④和⑤组成的方程组仍含三个未知数，没起到消元的作用．‎ 正解　①＋②＋③得，　2(x+y+z)=24.即x+y+z=12 ④‎ ‎④-①，得，z=5.‎ ‎④-②，得，x=3.‎ ‎④-③，得，y=4.‎ 因此原方程组的解为．‎ ‎1.解下列三元一次方程组：‎ ‎ （1）（2）‎ ‎2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的等于丙数的，求这三个数． ‎ ‎ ‎ 例 某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了多少朵红花，多少朵紫花，则黄花一共用了多少朵．‎ 分析 题中的等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．‎ 解析 设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．‎ 根据题意列方程，得 由①得，3x+2y+2z=580 ③，‎ 由②得，x+z=150 ④，‎ 把④代入③，得x+2y=280，‎ 所以2y=280-x ⑤，‎ 由④得z=150-x ⑥．‎ 所以4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，‎ 所以黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．‎ 故黄花一共用了4380朵．‎ 点拨 解题的关键是发掘等量关系列出方程组，将方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有一个未知数的代数式表示另外两个未知数，用整体思想代入所求黄花的代数式解出即可．‎ 练习 某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元．某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为多少？‎ 参考答案 课时检测 ‎1.解：（1）（2）‎ ‎2.解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则解得 ‎ 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．‎ 拓展提升 解：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了x个、y个、z个．‎ 根据题意，得 ‎ 第一个方程减去第二个方程的2.2倍，得12.4y+12.4z=186，‎ 即y+z=15，10y+10z=150．故答案为：150．‎