人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：二元一次方程（组）有关概念（解析版） 16页

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：‎ 二元一次方程（组）有关概念 知识网络 重难突破 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。‎ ‎【注意】‎ 1） 二元：含有两个未知数；‎ ‎2）一次：所含未知数的项的次数都是1。‎ 例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。‎ 3） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。‎ 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．‎ ‎【注意】‎ 1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。‎ 2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。‎ 二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．‎ ‎【注意】‎ ‎1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组。这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。‎ ‎2）方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。‎ ‎3）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。‎ 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。‎ ‎【注意】‎ ‎1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。‎ ‎2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。‎ 如：有的方程组无解，如： ‎【典型例题】‎ 题型一 二元一次方程的定义 典例1（2019·巴中市期中）若关于x的方程（k﹣2） +3y＝6是二元一次方程，则k的值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+3y＝6是二元一次方程，‎ ‎∴|k|﹣1＝1且k﹣2≠0，‎ 解得：k＝﹣2，‎ 故选：B．‎ 变式1-1（2019·招远市期中）若方程3x2m+1-2yn-1=7是二元一次方程，则m、n的值分别为（ ）‎ A．m=1，n=1 B．m=l，n=2‎ C．m=0，n=1 D．m=0，n=2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：根据题意，得 2m+1=1且n-1=1， 解得m=0，n=2． 故选：D．‎ 变式1-2（2019·泰兴市期中）方程2x﹣＝0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是( )‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ‎【答案】D ‎【详解】，分母中含有未知数，不是整式方程，故不符合题意；，是二元一次方程；，最高次为2次，故不符合题意；，是二元一次方程； ，只有一个未知数，不符合题意，‎ 因此二元一次方程有2个，‎ 故选D.‎ 变式1-3（2018·济南市期末）把方程改写成用含的式子表示y的形式，正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 由2x-y=3知2x-3=y，即y=2x-3，‎ 故选C．‎ 变式1-4（2020·唐山市期中）若x|2m﹣6|+（m﹣2）y＝8是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（　　）‎ A．1 B．3.5 C．2 D．3.5或2.5‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 根据题意得出：|2m﹣6|＝1且（m﹣2）≠0，‎ ‎∴2m－6＝1或2m－6＝﹣1且m≠2‎ 解得：m＝3.5或m＝2.5‎ 故选：D 题型二 二元一次方程组的解 典例2（2019·巴中市期中）二元一次方程2x+y=7的正整数解有多少组( 　 )‎ A．2 B．3 C．5 D．4‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：方程2x＋y＝7，‎ 解得：y＝−2x＋7，‎ 当x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝3；x＝3时，y＝1，‎ 则方程的正整数解有3组，‎ 故选：B．‎ 变式2-1（2018·临沂市期末）二元一次方程3x﹣2y=1的不超过10的正整数解共有（ ）组．‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 把方程3x﹣2y=1化为x=，又因方程有不超过10的正整数解，所以当y=1时，x=1；y=4，x=3；y=7，x=5；y=10，x=7，即方程的正整数解共有4组，故答案选D 变式2-2（2018·长春市期末）若是方程3x+ay＝1的解，则a的值是（　　）‎ A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 把代入方程3x+ay＝1中得：3+2a＝1，‎ 解得：a＝﹣1．‎ 故选：B．‎ 变式2-3（2018·武汉市期末）方程组的解为，其中一个方程是，另一个方程可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：将依次代入各选项，‎ A． ，故该方程不是另一个方程；‎ B． ，故该方程不是另一个方程；‎ C． ，故该方程不是另一个方程；‎ D． ，故该方程是另一个方程．ｌ 故选：D．‎ 变式2-4（2019·福建省初一期末）方程2x+y=6的正整数解有（　　）．‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组 ‎【答案】B ‎【解析】详解：由2x+y=6，‎ 可得：y=﹣2x+6，‎ 当x=1时，y=4；当x=2时，y=2，‎ ‎∴方程的正整数解有2组，‎ 故选：B．‎ 题型三 判断是否是二元一次方程组 典例3（2020·大连市期中）下列不是二元一次方程组的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ A选项中项分母中含有未知数，故不是二元一次方程组．‎ 变式3-1（2019·广西壮族自治区初一期中）下列各方程组中，是二元一次方程组的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：A. ，是二元一次方程组，此选项 符合题意；‎ B. ，是二元二次方程组，此选项不符合题意；‎ C. ，含有分式方程，此选项不符合题意；‎ D. ，该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，此选项不符合题意．‎ 故选：A.‎ 变式3-2（2020·巨野县期中）下列方程组中，是二元一次方程的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：A项为二元一次方程组，故本选项正确， B项为二元二次方程组，故本选项错误， C项的第一个方程为分式方程，故本选项错误， D项中未知数的最高次项为3次，故不为二元一次方程，故本选项错误． 故选：A．‎ 变式3-3（2019·杭州市期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：A、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；‎ B、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；‎ C、是二元一次方程组，故本选项符合题意；‎ D、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 典例4（2019·杭州市期末）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ A．x=2，y=﹣1不是方程x+3y=5的解，故该选项错误；‎ B．x=2，y=﹣1适合方程组中的每一个方程，故该选项正确．‎ C．x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误；‎ D．x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误．‎ 故选B．‎ 变式4-1（2020·沈阳市期末）下列各组数中，是方程2x+y＝7的解的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：把x＝1，y＝5代入方程左边得：2+5＝7，右边＝7，‎ ‎∴左边＝右边，‎ 则是方程2x+y＝7的解．‎ 故选：C．‎ 变式4-2（2019·新疆维吾尔自治区初一期末）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是：（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A． 不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； ‎ B． 将代入，不能使方程组左右两侧相等，故不是该二元一次方程组的解，故本选项不符合题意；‎ C． 将代入能使方程组左右两侧相等，故是该二元一次方程组的的解，故本选项符合题意； ‎ D． 将代入，不能使方程组左右两侧相等，故不是该二元一次方程组的解，故本选项不符合题意．‎ 故选C．‎ 变式4-3（2019·泰安市期中）下列数值是二元一次方程的解的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：A、把x=-2，y=9入方程，左边=12≠右边，所以不是方程的解；  B、把x=2，y=1代入方程，左边=8≠右边，所以不是方程的解；  C、把x=8，y=9代入方程，左边=42≠右边，所以不是方程的解；  D、把x=4，y=6代入方程，左边=24=右边，所以是方程的解． ‎ 故选D.‎ 变式4-4（2019·黄石市期中）解为的方程组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、把代入方程x-y=-1，左边=1≠右边，把代入方程y+3x=5，左边=5=右边，故不是方程组的解，故选项错误；‎ B、把代入方程3x+y=-5，左边=5≠右边，故不是方程组的解，故选项错误；‎ C、把代入方程x-y=3，左边=-1≠右边，故不是方程组的解，故选项错误；‎ D、把代入方程x-2y=-3，左边=-3=右边=-3，把代入方程3x+y=5，左边=5=右边，故是方程组的解，故选项正确．‎ 故选D．‎ 题型五 已知二元一次方程组的解，求参数 典例5（2019·贵港市期中）若二元一次方程组的解是，则的值是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：将x=-1，y=-1代入方程组得：，解得，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ 变式5-1（2020·甘南县期中）方程的解是 ，则a，b为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得：，解得：，‎ 故选B.‎ 变式5-2（2018·温州市期末）若是方程3x+my＝1的一个解，则m的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 把代入方程3x+my＝1，‎ 得：﹣3+2m＝1，‎ 解得：m＝2．‎ 故选：C．‎ 变式5-3（2019·天津初一期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：将x=-1，y=2代入方程组得：，‎ 解得：m=1，n=-3，‎ 则m-n=1-（-3）=1+3=4．‎ 故选：D．‎ 变式5-4（2019·泰安市期末）已知是方程组的解，则的值是（ ）‎ A．10 B．-10 C．14 D．21‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 把x＝a，y＝b代入方程组，‎ 得：‎ 两式相加得：5a−b=7+3=10.‎ 故选A 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2019·东莞市期中）二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（　　）‎ A．一组 B．2组 C．3组 D．无数组 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：当x=1，则2+y=5，解得y=3， 当x=2，则4+y=5，解得y=1， 当x=3，则6+y=5，解得y=-1， 所以原二元一次方程的正整数解为，． 故选B．‎ ‎2．（2019·阳谷县期末）方程(m－2 016)x|m|－2 015＋(n＋4)y|n|－3＝2 018是关于x、y的二元一次方程，则(　　)‎ A．m＝±2 016；n＝±4 B．m＝2 016，n＝4‎ C．m＝－2 016，n＝－4 D．m＝－2 016，n＝4‎ ‎【答案】D ‎【详解】∵是关于x、y的二元一次方程，‎ ‎∴m-2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1，‎ 解得：m=-2016，n=4，‎ 故选D．‎ ‎3．（2019·深圳市期中）已知是关于x、y的二元一次方程，则( )‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：根据题意，得 且a-1≠0，1 解得a=-1，b=-‎ ‎∴ 故选B．‎ ‎4．（2018·三明市期末）以为解的二元一次方程组是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：将代入A得，满足两个方程，故A正确.‎ 故选：A ‎5．（2018·商丘市期末）若是二元一次方程，则 ( )‎ A．m＝3，n＝4 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝-1， n＝2‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 根据二元一次方程的定义可得 解得 故选A ‎6．（2018·菏泽市期中）已知 是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值是（    ）‎ A．1 B．3 C．-3 D．-1‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：将代入方程2x－ay＝3中得：‎ ‎2×1－a×（－1）＝3，‎ 解得a＝1‎ 故选A ‎7．（2019·益阳市期末）方程 的正整数解的个数是( )‎ A．1个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由2x+3y=10得： ‎ 令y=2，得到x=2，‎ 则方程2x+3y=10的正整数解个数是1个.‎ 故选：A ‎8．（2019·长沙市期末）方程组的解中x与y的值相等，则k等于(　　)‎ A．2 B．1 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：根据题意得：y=x，‎ 代入方程组得：，‎ 解得： ，‎ 故选B.‎ ‎9．（2019·辽阳市期中）将3x-2y=1变形，用含x的代数式表示y，正确的是（    ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵3x-2y=1，‎ ‎∴2y=3x-1，‎ ‎∴‎ 故选：B ‎10．（2018·大石桥市期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 选项A，有三个未知数，不是二元一次方程组；选项B，xy的次数是2，不是二元一次方程组；选项C，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；选项D，不是整式方程，选项D不是二元一次方程组．故选C.‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·宝鸡市期末）已知二元一次方程2x-3y=6，用关于x的代数式表示y，则y=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解：方程2x-3y=6，‎ 解得：y=，‎ 故答案为.‎ ‎12．（2019·洛阳市期中）若3－ =5是二元一次方程，则=______，=_____．‎ ‎【答案】2 1 ‎ ‎【详解】‎ 解：∵3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程，‎ ‎∴2m-3=1，2n-1=1，‎ ‎∴m=2，n=1.‎ 故答案为：2，1.‎ ‎13．（2018·渭南市期末）若方程4xm-n-5ym+n=6是二元一次方程，则m=______，n=______．‎ ‎【答案】1 0 ‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，得 解，得m=1，n=0．‎ 故答案是1，0．‎ ‎14．（2018·上饶市期末）写出一个解为的二元一次方程组__________．‎ ‎【答案】 （答案不唯一）‎ ‎【解析】‎ 最简单的方法就用，，即为，另外与是同解方程的都是答案.‎ ‎15．（2019·东方市期中）已知方程是关于二元一次方程，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ ‎|a−2|=1，且a−3≠0，‎ 解得：a=1，‎ 故答案为：1.‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2019·合肥市期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解适合方程x＋y＝6，求n的值．‎ ‎【答案】116‎ ‎【详解】‎ 解：方程组消去n得，-7x-8y=1， 联立得： ‎ 解得 把x=49，y=-43代入方程组，解得n=116．‎ ‎17．（2020·合肥市期末）已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值．‎ ‎【答案】m=5 n=1‎ ‎【详解】‎ 将代入方程组得，解得 .‎