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- 2021-10-26 发布
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1.3 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法
1.理解并掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题;(重点)
2.理解并掌握零次幂和负指数幂的运算性质.(难点)
一、情境导入
一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴?
二、合作探究
探究点一:同底数幂的除法
【类型一】 直接运用同底数幂的除法进行运算
计算:[来源:Z|xx|k.Com]
(1)(-xy)13÷(-xy)8;
(2)(x-2y)3÷(2y-x)2;
(3)(a2+1)7÷(a2+1)4÷(a2+1)2.
解析:利用同底数幂的除法法则即可进行计算,其中(1)应把(-xy)看作一个整体;(2)把(x-2y)看作一个整体,2y-x=-(x-2y);(3)把(a2+1)看作一个整体.
解:(1)(-xy)13÷(-xy)8=(-xy)13-8=(-xy)5=-x5y5;[来源:Z*xx*k.Com]
(2)(x-2y)3÷(2y-x)2=(x-2y)3÷(x-2y)2=x-2y;
(3)(a2+1)7÷(a2+1)4÷(a2+1)2=(a2+1)7-4-2=(a2+1)1=a2+1.
方法总结:计算同底数幂的除法时,先判断底数是否相同或可变形为相同,再根据法则计算.
【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算
已知am=4,an=2,a=3,求am-n-1的值.
解析:先逆用同底数幂的除法,对am-n-1进行变形,再代入数值进行计算.
解:∵am=4,an=2,a=3,∴am-n-1=am÷an÷a=4÷2÷3=.
方法总结:解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am-n-1=am÷an÷a.[来源:学科网ZXXK]
声音的强弱用分贝表示,通常人们讲话时的声音是50分贝,它表示声音的强度是105,汽车的声音是100分贝,表示声音的强度是1010,喷气式飞机的声音是150分贝,求:
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍?
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍?
解析:(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度,再利用“同底数幂相除,底数不变,指数相减”计算;(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度,再除以汽车声音的强度即可得到答案.
解:(1)因为1010÷105=1010-5=105,所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍;
(2)因为人的声音是50分贝,其声音的强度是105,汽车的声音是100分贝,其声音的强度为1010,所以喷气式飞机的声音是150分贝,其声音的强度为1015,所以1015÷1010=1015-10=105,所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍.
方法总结:本题主要考查同底数幂除法的实际应用,熟练掌握其运算性质是解题的关键.
探究点二:零指数幂和负整数指数幂
【类型一】 零指数幂
若(x-6)0=1成立,则x的取值范围是( )
A.x≥6 B.x≤6
C.x≠6 D.x=6
解析:∵(x-6)0=1成立,∴x-6≠0,解得x≠6.故选C.
方法总结:本题考查的是0指数幂成立的条件,非0的数的0次幂等于1,注意0指数幂的底数不能为0.
【类型二】 比较数的大小
若a=(-)-2,b=(-1)-1,c=(-)0,则a、b、c的大小关系是( )
A.a>b=c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
解析:∵a=(-)-2=(-)2=,b=(-1)-1=-1,c=(-)0=1,∴a>c>b.故选B.
方法总结:本题的关键是熟悉运算法则,利用计算结果比较大小.当底数是分数,指数为负整数时,只要把底数的分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数.
【类型三】 零指数幂与负整数指数幂中底数的取值范围
若(x-3)0-2(3x-6)-2有意义,则x的取值范围是( )
A.x>3 B.x≠3且x≠2
C.x≠3或x≠2 D.x<2
解析:根据题意,若(x-3)0有意义,则x-3≠0,即x≠3.(3x-6)-2有意义,则3x-6≠0,即x≠2,所以x≠3且x≠2.故选B.
方法总结:任意非0的数的0次幂为1,底数不能为0,负整数指数幂的底数不能为0.[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK]
【类型四】 含整数指数幂、零指数幂与绝对值的混合运算
计算:-22+(-)-2+(2015-π)0-|2-|.
解析:分别根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数,再根据实数的运算法则进行计算.
解:-22+(-)-2+(2015-π)0-|2-|=-4+4+1-2+=-1.
方法总结:熟练掌握有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键.
三、板书设计
1.同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
2.零次幂:
任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a0=1(a≠0).
3.负整数次幂:
任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂,等于这个数p次幂的倒数.即a-p=(a≠0,p是正整数).
从计算具体问题中的同底数幂的除法,逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.教学时要多举几个例子,让学生从中总结出规律,体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力,为以后的学习奠定基础
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