七年级数学上册第4章图形的初步认识4-6角2角的比较和运算习题课件新版华东师大版 30页

2. 角的比较和运算 1. 会比较角的大小，会计算角的和、差 .( 重点 ) 2. 能用尺规画一个角等于已知角 .( 重点 ) 3. 掌握角平分线的定义，会应用角平分线进行计算和推理 .( 重点、难点 ) 一、比较两个角的大小的方法 1. 度量法：用 _______ 分别量出角的度数，然后比较它们的大 小 . 2. 叠合法：把两个角叠合在一起比较大小 . 顶点与顶点重合， 其中一边重合，另一边在重合边的 ___ 侧 . 量角器 同 二、表示角的和、差关系 如图：写出图中所有的角，并且表示出它们的和差关系 . 图中共有三个角：∠ AOB ，∠ BOC 和 ∠ AOC. 它们之间的和差关系为： 和∠ AOC=____________ ， 差∠ AOB=∠AOC-______ ， ∠ BOC =∠AOC-______. ∠AOB+∠BOC ∠BOC ∠AOB 三、角的平分线 1. 定义：从一个角的 _____ 引出的一条射线，把这个角分成两 个 _____ 的角，这条射线叫做这个角的平分线 . 2. 符号表示 如图， OC 是∠ AOB 的平分线， 则∠ AOC=∠COB=__∠AOB ， ∠ AOB=__∠AOC=__∠COB. 顶点 相等 2 2 四、画一个角等于已知角 已知：如图∠ AOB. 求作∠ A′O′B′ ，使∠ A′O′B′=∠AOB. 第一步 : 画射线 O′A′ ； 第二步 : 以点 __ 为圆心 , 以 _______ 为半径画弧 , 交 ___ 于点 C, 交 OB 于点 D ； O 适当长 OA 第三步 : 以点 ____ 为圆心 , 以 ___ 长为半径画弧 , 交 _______ 于点 C′ ； 第四步 : 以点 ____ 为圆心 , 以 ___ 长为半径画弧，交前一条弧于 点 D′ ； 第五步 : 经过点 D′ 画射线 O′B′,∠A′O′B′ 就是所要画的角 . O′ OC O′A′ C′ CD ( 打“√”或“ ×”) (1) 两个锐角的和一定是锐角 .( ) (2) 如果两个角都是钝角，那么这两个角相等 .( ) (3) 平分一个角的射线叫做角的平分线 .( ) (4) 小于直角的角是锐角 .( ) (5) 大于直角的角是钝角 .( ) × × × √ × 知识点 1 角的比较 【 例 1】 如图所示，∠ AOF 是一个平角， ∠ AOM 是一个直角 . 根据图示，比较∠ AOB ， ∠ AOC ，∠ AOM ，∠ AOD ，∠ AOE ，∠ AOF 的 大小，并找出图中的两个锐角、两个钝角 . 【 解题探究 】 1. 比较两个角的大小，有几种方法？本题中比较角的大小应选择哪一种？ 提示： 比较两个角的大小，有度量法、叠合法两种方法；本题要比较的角有一个共同的边，可以选择叠合法比较它们的大小 . 2. 怎样比较本题中角的大小？ 提示： 由图可知这些角有一个公共的边 OA ，而 OB 在∠ AOC 的内部， OC 在∠ AOM 的内部， OM 在∠ AOD 的内部， OD 在∠ AOE 的内部， OE 在∠ AOF 的内部 . 所以∠ AOB ＜∠ AOC ＜∠ AOM ＜∠ AOD ＜∠ AOE ＜∠ AOF. 3. 什么样的角叫锐角？什么样的角叫钝角？本题中有哪些角是锐角，有哪些角是钝角？ 提示： 小于直角的角叫做锐角，大于直角且小于平角的角叫做钝角 . 而∠ AOM 为直角，∠ AOF 为平角，所以∠ AOB ，∠ AOC 是锐角，∠ AOD ，∠ AOE 是钝角 . 【 总结提升 】 用叠合法比较角的大小的三种情况 (1) 如果 EF 与 BC 重合，那么两个角相等 . 如图 1 ，记作∠ DEF=∠ABC. (2) 如果 EF 落在∠ ABC 的内部，那么∠ DEF 小于∠ ABC ，如图 2 ，记作∠ DEF ＜∠ ABC. (3) 如果 EF 落在∠ ABC 的外部，那么∠ DEF 大于∠ ABC. 如图 3 ，记作∠ DEF ＞∠ ABC. 知识点 2 角的平分线及相关计算 【 例 2 】 如图所示，已知 OC 是∠ AOB 的平分线， OE 是∠ BOD 的平分线，如果∠ AOB=40 ° , ∠ BOD 是直角，那么∠ COE 是多少度？ 【 教你解题 】 【 总结提升 】 角的平分线应用的三种形式 角的平分线的定义在使用中根据解题的需要， (1) 可以写作两角相等的形式， (2) 可以写作一个角是另一个角的 2 倍的形式， (3) 可以写作一个角是另一个角一半的形式 . 题组一： 角的比较 1.(2012· 滨州中考 ) 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角 ( ) A.65° B.75° C.85° D.95° 【 解析 】 选 B. 分清一副三角尺各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案 . 75° 角，用 45° 和 30° 的组合即可 . 【 归纳整合 】 一副三角尺的角有 30° ， 45° ， 60° ， 90° 四个角度，用它们的和或差可以画出下列度数的角： 15° ， 30° ， 45° ， 60° ， 75° ， 90° ， 105° ， 120° ， 135° ， 150° ， 165° ， 180°. 它们都是 15° 的倍数 . 2. 在∠ AOB 的内部任取一点 C ，作射线 OC ，那么有 ( ) A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC>∠BOC C.∠AOC>∠AOB D.∠AOB>∠AOC 【 解析 】 选 D. 射线 OC 在∠ AOB 的内部，那么∠ AOC 在∠ AOB 的内部，且有一公共边 OA ，所以存在∠ AOB ＞∠ AOC. 3. 比较大小： 32.5°______ 32°5′( 填“＞”“ =” 或“＜” ). 【 解析 】 因为 32.5°=32°30′ ，而 32°30′ ＞ 32°5′ ， 所以 32.5° ＞ 32°5′. 答案： ＞ 4. 如图 ,∠ABC 是平角 , 过点 B 任作一条射线 BD, 将∠ ABC 分成∠ DBA 与∠ DBC. (1) 当∠ DBA 是 ______ 角时 , ∠DBA<∠DBC; (2) 当∠ DBA 是 ______ 角时 ,∠DBA>∠DBC; (3) 当∠ DBA 是 ______ 角时 , ∠DBA=∠DBC. 【 解析 】 当∠ DBA 是锐角时，∠ DBC 是钝角，则∠ DBA<∠DBC ；当∠ DBA 是钝角时，∠ DBC 是锐角，则∠ DBA ＞∠ DBC ；当∠ DBA 是直角时 ,∠DBC 是直角，则∠ DBA=∠DBC. 答案： (1) 锐 (2) 钝 (3) 直 5. 把一副三角尺如图所示拼在一起 . (1) 写出图中∠ A ，∠ B ，∠ BCD ，∠ D ，∠ AED 的度数 . (2) 用“＜”将上述各角连结起来 . 【 解析 】 (1)∠A=30° ，∠ B=90° ，∠ BCD=150° ，∠ D=45° ，∠ AED=135°. (2)∠A ＜∠ D ＜∠ B ＜∠ AED ＜∠ BCD. 题组二： 角的平分线及相关计算 1. 如图所示 ,OC 是∠ AOB 的平分线 , 则下列结论中正确的个数有 ( ) (1)∠AOC=∠BOC; (2)∠AOB=2∠AOC=2∠BOC; (3) (4)∠AOB=∠AOC+∠BOC ； (5)∠BOC=∠AOB-∠AOC. A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 【 解析 】 选 A. 因为 OC 是∠ AOB 的平分线，所以∠ AOC ＝∠ BOC= ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC. 当 OC 在∠ AOB 内部时，∠ AOB=∠AOC+∠BOC ，∠ BOC=∠AOB-∠AOC 就一定成立 . 故选 A. 2. 如图，∠ AOB=130° ，射线 OC 是∠ AOB 内部任意一条射线， 射线 OD ， OE 分别是∠ AOC ，∠ BOC 的平分线，下列叙述正确的 是 ( ) A.∠DOE 的度数不能确定 B.∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD= ∠DOE=65° C.∠BOE=2∠COD D. 【 解析 】 选 B. 因为射线 OD ， OE 分别是∠ AOC ，∠ BOC 的平分线，所以∠ AOD=∠COD ，∠ EOC=∠BOE ， 又因为∠ BOE+∠EOC+∠COD+∠AOD=∠AOB=130° ， 所以 3. 如图， OC 平分∠ AOB ，若∠ AOC=25° ，则∠ AOB=_____ 度 . 【 解析 】 因为∠ AOC=25° ， OC 平分∠ AOB ， 所以∠ AOB=2∠AOC=50°. 答案： 50 4. 如图所示，点 O 是直线 AB 上的点， OC 平分∠ AOD ，∠ BOD=30° ，则∠ AOC=______ 度 . 【 解析 】 因为∠ BOD=30° ， 所以∠ AOD=180°-∠BOD=180°-30°=150° ， 因为 OC 平分∠ AOD ， 所以 答案： 75 5. 如图所示，∠ AOB=90° ， OE 是∠ AOB 的 平分线， OD 是∠ BOC 的平分线，若 ∠ EOD ＝ 60° ，求∠ BOC 的度数 . 【 解析 】 因为 OE 平分∠ AOB ，且 ∠ AOB=90° ，所以 又因为∠ BOD ＋∠ BOE ＝∠ DOE ＝ 60° ，所以∠ BOD ＝ 15°. 又因为 OD 平分∠ BOC ，所以∠ BOC ＝ 2∠BOD ＝ 30°. 【 想一想错在哪？ 】 已知∠ AOB=60° ，其角平分线为 OM ，∠ BOC=20° ，其角平分线为 ON ，求∠ MON 的度数 . 提示： 本题应分两种情况讨论，一是∠ BOC 在∠ AOB 的内部，二是∠ BOC 在∠ AOB 的外部 .