八年级下数学课件：18-2-1 矩形——矩形的性质 （共25张PPT）1_人教新课标 25页

矩形的性质 概念:两组对边分别平行的四边行是平行四边形.性质：两组对边分别平行;即:AD∥BC;AB∥CD对边相等;即:AB=CD;AD=BC对角相等;即:∠DAB=∠BCD;∠ABC=∠CDA对角线互相平分;即AO=CO;BO=DO复习：平行四边形的边,角,对角线都有哪些性质呢? 下图中有你认识的图形吗？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（也叫长方形）矩形的定义：★矩形具有平行四边形的一切性质！ 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状。试一试（1）随着∠a的变化,两条对角线的长度怎样变化的？ααα随着∠a的变化，一条对角线在变长，一条在变短。（2)当∠a是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠a是钝角时呢？当∠a是锐角时，过∠a的顶点的那条对角线比另一条长；当∠a是钝角时，过∠a的顶点的那条对角线比另一条短（3)当∠a是直角时，平行四边形变成矩形，此时其他内角是什么角？两条对角线的长度有什么关系？其他内角都是直角，两条对角线相等α 矩形的对角线相等，四个角都是直角。猜想矩形特殊性质：探索新知:矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 命题1:矩形的四个角都是直角；已知：四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°DCBA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=90°∴∠A=∠C=90°∠B+∠C=180°∴∠B=180－∠C=90°∴∠D=∠B=90°即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 已知：四边形ABCD是矩形求证：AC=BDABCD证明：在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°又∵AB=DC，BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC=BD命题2:矩形的对角线相等； 边对角线角ABCDO矩形的性质：矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分； 思考：矩形ABCD是轴对称图形吗？它的对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？对称中心是？ABCDEFGH. 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请探讨OC与BD的关系 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知△ABC中∠ACB=90°，AD=BD求证：CD=AB证明：延长CD到E使DE=CD，连结AE、BE.ABCD∵AD=BD，DE=CD∴四边形ACBE是平行四边形E又∵∠ACB=90°∴ACBE是矩形∴CE=AB（）由于CD=CE所以CD=AB? ODCBA相等的线段：AB=CDAD=BCAC=BDOA=OC=OB=OD=AC=BD相等的角：∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∠AOB=∠DOC∠AOD=∠BOC∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB等腰三角形有：△OAB△OBC△OCD△OAD直角三角形有：Rt△ABCRt△BCDRt△CDARt△DAB全等三角形有：Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌Rt△DAB△OAB≌△OCD△OAD≌△OCB已知四边形ABCD是矩形 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？OABCD公平,因为OA=OC=OB=OD生活链接---投圈游戏 例:如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？方法小结:如果矩形两对角线的夹角是60°或120°,则其中必有等边三角形.∴AC与BD相等且互相平分∴OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴OA=AB=4(㎝)∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=8(㎝)解：∵四边形ABCD是矩形DCBAo 已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点0，∠AOD=120°，AB=4cm，（1）求矩形对角线的长。（2）求BC边的长。ADBCO解:(1)∵AC、BD为矩形ABCD的对角线（矩形的对角线相等且相互平分）∵OA=OB又∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴AC=BD=2OA=8cm.∴AB=OA=OB=4cm即矩形对角线的长度是8cm。（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）试一试 已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点0，∠AOD=120°，AB=4cm，（1）求矩形对角线的长。（2）求BC边的长。ADBCO解:在矩形ABCD中，∠ABC=90°AB=4cm，AC=8cm根据勾股定理得：(2)答：矩形对角线的长度为8cm，BC的长为。 例2如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？ADBC∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm，∴AC=BD=13cm（矩形的对角线相等）∴AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)=86－4×13=34(cm)即矩形ABCD的周长等于34cm。Ｏ解：∵AC、BD是矩形ABCD的对角线 1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A对角线相等B对边相等C对角相等D对角线互相平分AD练习2、下面性质中，矩形不一定具有的是（）（A）对角线相等（B）四个角相等（C）是轴对称图形（D）对角线垂直 3、已知:四边形ABCD是矩形（1）.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝_______㎝OB=_______㎝（2）.若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD=_____cmAB=_____cmODCBA5104练习 DCBA┓4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，BD是斜边AC上的中线(1)若BD=3㎝则AC＝㎝(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝㎝，BD＝㎝.6510练习 小结：矩形：有一个角是直角的特殊平行四边形。矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分。矩形具有平行四边形的所有性质；另外：矩形的四个内角都是直角。矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； 1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）（A）对角线相等（B）对边相等（C）对角相等（D）对角线互相平分2、下面性质中，矩形不一定具有的是（）（A）对角线相等（B）四个角相等（C）是轴对称图形（D）对角线垂直作业： 3.已知△ABC是Rt△，∠ABC=90o，BD是斜边AC上的中线(1)若BD=3㎝则AC＝________㎝(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝_____㎝，BD＝_________㎝.4、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠BOC=2∠AOB，若AC=6cm,试求AB的长。 再见！