八年级下数学课件2-6-2 菱形的判定_湘教版 18页

第2章　四边形 2.6.2 菱形的判定 第2章　四边形 2.6　菱形 1．经过操作、思考、讨论，归纳总结出菱形的判定定理1(四条 边都相等的四边形是菱形)，并能应用． 2．通过画图、自学阅读、探究，能总结出菱形的判定定理2(对 角线互相垂直的平行四边形是菱形)，并会用其解决问题． 目标一　能应用菱形的判定定理1证明 2.6　菱形 例1 教材例2针对训练 如图2－6－5，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F， EH⊥AB于点H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形． 图2－6－5 2.6　菱形 [解析] 思路一：可由四条边相等的四边形是菱形来证明．思路二：先 利用角平分线的性质证明EC＝EH，再利用等腰三角形的性质证明CF＝CE， 从而得CF＝EH，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边 形CFHE是平行四边形，最后由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明四 边形CFHE是菱形． 证明：方法一：如图， ∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2. ∵EH⊥AB于点H，∴∠AHE＝∠ACB＝90°. 又∵AE＝AE，∴△ACE≌△AHE，∴EC＝EH，AC＝AH. 又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△AFC≌△AFH，∴FC＝FH. ∵CD⊥AB于点D，∴∠2＋∠4＝∠1＋∠3＝90°. 又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4. ∵∠4＝∠5，∴∠5＝∠3，∴FC＝EC， ∴EC＝EH＝FH＝FC， ∴四边形CFHE是菱形． 2.6　菱形 方法二：如图， ∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠1＝∠2，EH＝EC. ∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4. ∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴EC＝CF，∴EH＝CF. ∵EH⊥AB，CD⊥AB，∴EH∥CF， ∴四边形CFHE是平行四边形． 又∵EH＝EC， ∴四边形CFHE是菱形． 2.6　菱形 【归纳总结】 菱形的判定方法 2.6　菱形 已知条件 需要条件 平行四边形 邻边相等 对角线互相垂直 四边形 四条边都相等 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 目标二　会应用菱形的判定定理2解题、证明 2.6　菱形 例2 教材例3针对训练 如图2－6－6，在▱ ABCD中，BE平分 ∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)若BD⊥EF，请判断四边形 EBFD是什么特殊四边形， 并证明你的结论． 图2－6－6 2.6　菱形 [解析] (1)由平行四边形ABCD可得出的条件有①AB＝CD，②∠A＝∠C， ③∠ABC＝∠ADC；已知BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，易证得 ∠ABE＝∠CDF④，综合①②④，即可由“ASA”判定所求的三角形全等； (2)由(1)的全等三角形，易证得DE＝BF，那么DE和BF平行且相等，由 此可判定四边形EBFD是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形 是菱形即可得出四边形EBFD的形状． 2.6　菱形 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)． (2)若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形． 证明：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF. 在▱ ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴DE∥BF，DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形． ∵BD⊥EF，∴四边形EBFD是菱形． 例3 教材补充例题 如图2－6－7，在四边形ABCD中，BD为一 条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点， 连接BE. (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC，若∠ADB＝30°， BC＝1，求AC的长． 图2－6－7 2.6　菱形 2.6　菱形 2.6　菱形 【归纳总结】 当题中出现对角线，并能顺利证明对角线互相 垂直或互相垂直平分时，常选用“对角线互相垂直的平行四边 形是菱形”或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证明四 边形是菱形． 知识点一　菱形的判定定理1 小结 2.6　菱形 四条边__________的四边形是菱形．都相等 知识点二　菱形的判定定理2 2.6　菱形 对角线互相________的平行四边形是菱形．垂直 反思 2.6　菱形 (1)学习了菱形的性质后，小彬说：“菱形的对角线互相垂直， 反过来，对角线互相垂直的四边形就是菱形．”你认为小彬的 推理正确吗？提出你的看法． (2)若菱形的两条对角线长分别为6和8，求菱形的面积． 解：S菱形＝6×8＝48. 上述解法正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程． 2.6　菱形