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- 2021-10-26 发布
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§11.1.4 函数的图象(3)
教学目标
1. 总结函数三种表示方法.
2. 了解三种表示方法的优缺点.
3.会根据具体情况选择适当方法.
教学重点
1.认清函数的不同表示方法,知道各自优缺点.
2.能按具体情况选用适当方法.
教学难点
函数表示方法的应用.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
我们在前几节课里已经看到或亲自动手用列表格.写式子和画图象的方法表示了一些函数.这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.
思考一下,从前面的例子看,你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点?在遇到具体问题时,该如何选择适当的表示方法呢?
这就是我们这节课要研究的内容.
Ⅱ.导入新课
从前面几节课所见到的或自己做的练习可以看出.列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系.解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系.至于图象法它则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系.
相比较而言,列表法不如解析式法全面,也不如图象法形象;而解析式法却不如列表法直观,不如图象法形象;图象法也不如列表法直观准确,不如解析式法全面.
从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点.
表示方法
全面性
准确性
直观性
形象性
列表法
×
∨
∨
×
解析式法
∨
∨
×
×
图象法
×
×
∨
∨
从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点.在遇到实际问题时,就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法,有时为了全面地认识问题,需要几种方法同时使用.
III 例题与练习
例1:一水库的水位在最近5小时内持续上涨,下表记录了这5小时的水位高度.
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10.05
10.10
10.15
10.20
10.25
…
1.由记录表推出这5小时中水位高度y(米)随时间t(时)变化的函数解析式,并画出函数图象.
2.据估计这种上涨的情况还会持续2小时,预测再过2小时水位高度将达到多少米?
分析:记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系.我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间的一般联系规律,由它写出函数解析式来,再画出函数图象,进而预测水位.
解:1.由表中观察到开始水位高10米,以后每隔1小时,水位升高0.05米,这样的规律可以表示为: y=0.05t+10(0≤t≤7)
这个函数的图象如下图所示:
2.再过2小时的水位高度,就是t=5+2=7时,y=0.05t+10的函数值,从解析式容易算出:y=0.05×7+10=10.35
从函数图象也能得出这个值数.
2小时后,预计水位高10.35米.
提出问题:
1.函数自变量t的取值范围:0≤t≤7是如何确定的?
2.2小时后的水位高是通过解析式求出的呢,还是从函数图象估算出的好?
3.函数的三种表示方法之间是否可以转化?
从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况,且估计这种上涨情况还会持续2小时,所以自变量t的取值范围取0≤t≤7,超出了这个范围,情况将难以预计.2小时后水位高通过解析式求准确,通过图象估算直接、方便.就这个题目来说,2小时后水位高本身就是一种估算,但为了准确而言,还是通过解析式求出较好.
从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化,因为题目中只给出了列表法,而我们通过分析求出解析式并画出了图象,所以可以相互转化.
练习:
1.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数.
2.用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数.
解析:1.因为n表示的是多边形的边数,所以,n是大于等于3的自然数.
n
3
4
5
6
…
m
180
360
540
720
…
由表可看出,三角形内角和为180°,边数每增加1条,内角和度数就增加180°.故此m、n函数关系可表示为:
m=(n-2)·180° (n≥3的自然数).
2.因为等边三角形的周长L是边长a的3倍.所以周长L与边长a的函数关系可表示为:
L=3a (a>0)
我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象.
列表:
a
…
1
2
3
4
…
L
…
3
6
9
12
…
描点、连线:
3、 甲车速度为20米/秒,乙车速度为25米/秒.现甲车在乙车前面500米,设x秒后两车之间的距离为y米.求y随x(0≤x≤100)变化的函数解析式,并画出函数图象.
解:由题意可知:x秒后两车行驶路程分别是:
甲车为:20x 乙车为:25x
两车行驶路程差为:25x-20x=5x
两车之间距离为:500-5x
所以:y随x变化的函数关系式为:
y=500-5x 0≤x≤100
用描点法画图:
x
…
10
20
30
40
y
…
450
400
350
300
x
50
60
70
80
…
y
250
200
150
100
…
Ⅳ.课堂小结
通过本节课学习,我们认识了函数的三种不同的表示方法,并归纳总结出三种表示方法的优缺点,学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题,进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化.
其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系,我们可以归纳如下:
图象特征 函数变化规律
由左至右曲线呈上升状态.y随x的增大而增大.
由左至右曲线呈下降状态.y随x的增大而减小.
曲线上的最高点是(a,b).x=a时,y有最大值b.
曲线上的最低点是(a,b).x=a时,y有最小值b.
Ⅴ.课后作业
1、 习题11.1─8、9、11、12题.
2、 《课堂感悟与探究》
VI板书设计
§11.1.3 函数图象
一、函数的三种表示方法
二、不同表示方法的优缺点
三、不同表示方法的具体选择
四、随堂练习
备课资料
甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发到B城旅游.甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象如图所示.根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息?
1.甲骑自行车从A城去B城用了8个小时.乙骑摩托车从A城去B城用了2个小时.
2.甲比乙早4个小时出发,晚2个小时到达.
3.甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了40千米,第二个2小时内行驶了20千米,然后停留了1个小时,又在1个小时内行驶了20千米,最后用2个小时行驶了20千米完成全程到达B城.
乙骑摩托车在2小时内行驶了100千米路程到达B城.
4.甲、乙在距A城60多千米的地方相遇一次.
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