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- 2021-10-26 发布
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叫做三角形
的中位线,一个三角形有 条中位
线.
连接三角形两边中点的线段
三
三角形的中位线有什么性质?
如图,EF是△ABC 的一条中位线.
(1)量一量DE,BC 的长是多少?你能作出什
么猜测?
(2)观察图形中的EF与BC,猜
测DE 与BC 位置关系吗?几何
画板验证一下.
C
A
B
D E
怎样将一个三角形纸片剪成两部
分,使分成的两部分能拼成一个
平行四边形?
(1)剪一个三角形,记为△ABC;
(2)沿中位线DE将
△ABC剪成两部分,
并将△ADE绕点E
顺时针旋转180°
得四边形BCFD.
A
B C
D E F
四边形BCFD是平行四边形吗?为什么?
四边形BCFD是平行四边形.
D E
B C
A
F
A
B C
D E F
∵DE=EF ,∠1=∠2 ,AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE
证明:如 图,延 长DE 到 F,使
EF=DE ,连 结CF.
∴AD=FC ,∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又AD=DB
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形还有另
外的证
法吗?
∴DF∥BC,DF=BC
又∵ 1
2
DE DF
1
2
DE BC
即DE∥BC
已知:在△ABC 中,DE是△ABC 的中位线.
求证:DE ∥ BC,且DE= BC .
1
2
1
2
A
B C
ED F
证法二:如图,延长DE至F,
使EF=DE,
连接CD、AF、CF,
∵AE=EC
∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AD FC
又D为AB中点,
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF= BC .1
2
C
ED F
B
A
证法三:过点C作AB的平行线
交DE的延长线于F,
∵CF∥AB,
∴∠A=∠ECF
又AE=EC,∠AED=∠CEF
∴△ADE≌ △CFE
∴ AD=FC
又DB=AD,
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴DE// BC 且DE=EF= BC .
1
2
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边
的一半.
C
A
B
D E
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC,
DE= BC .数量关系
位置关系
1
2
(1)证明平行;
(2)证明一条线段是另一条线
段的2倍或 .
A
B C
D E
三角形的中位线定理:三角形的中位线平
行于第三边,并且等于第三边的一半.
三角形的中位线定理的主要用途:
1
2
第三边
例 已知:如图9-33,在四边形ABCD中,AC=BD,E、
F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证:四边形EFGH是菱形.
证明:在△BAC中,
∵BE=EA,BF=FC,
∴ (三角形的中位线等于第三边的一半)
同理
∵AC=BD,
∴EF=FG=GH=HE.
四边形EFGH是菱形(四边相等的四边形是菱形)
ACEF
2
1
.
2
1
2
1
2
1 BDHEACGHBDEG ,,
课外例题 已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,
P为对角线BD的中点,M为DC的中点,N为AB的中
点.求证:△PMN是等腰三角形.
证明:在△ABD中,
∵N,P分别为AB,BD的中点,
∴NP= AD.
同理 PM= BC.
又∵AD=BC,
∴PN=PM.
∴△PMN是等腰三角形.
1
2
1
2
1、如图,MN 为△ABC 的中位线,
若∠ABC =61°,则∠AMN = ,
若MN =12 ,则BC = .
A
M
B C
N
61°
24
巩固新知
2、如图, △ABC 中, D ,E 分别为
AB,AC 的中点,当BC =10㎝时,则
DE = .
A
D
B
CE
5㎝
3、如图,已知△ABC中,AB = 3㎝,
BC=3.4㎝,AC=4㎝且D,E,F分别
为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF
的周长是 ㎝.
A
BC
D E
F
5.2
4、如下图:在Rt △ ABC中,
∠A=90°,D、E、F分别是各
边中点, AB=6cm,AC=8cm,
则△DEF的周长= cm .12
E
F
B
A C
D
知识总结:
1、定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
位线.
2、三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角
形的第三边,且等于第三边的一半.
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