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- 2021-10-26 发布
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7.5
三角形内角和定理
第七章 平行线的证明
第1课时 三角形内角和定理
学习目标
2.
会运用三角形内角和定理进行计算
.
(难点)
1
.
会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内
角和等于
180°
.
(重点)
我的形状最小,那我的内角和最小
.
我的形状最大,那我的内角和最大
.
不对,我有一个钝角,所以我的内角和才是最大的
.
一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧
.
导入新课
情境引入
我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于
180
°
.
与三角形的形状、大小无关,所以它们的说法都是错误的
.
思考:
除了度量以外,你还有什么办法可以验证三角形的内角和为
180
°呢
?
折叠
还可以用拼接的方法,你知道怎样操作吗?
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角
.
观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明
.
从上面的操作过程,你能发现证明的思路吗?
还有其他的拼接方法吗?
讲授新课
三角形的内角和定理的证明
一
探究:
在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起
.
验证结论
三角形三个内角的和等于
180
°
.
求证:
∠
A
+∠
B
+∠
C
=180°.
已知:
△
ABC.
证法
1
:过点
A
作
l
∥BC
,
∴∠
B
=∠1.
(
两直线平行
,
内错角相等
)
∠
C
=∠2.
(
两直线平行
,
内错角相等
)
∵∠2+∠1+∠
BAC
=180°
,
∴∠
B
+∠
C
+∠
BAC
=180°.
1
2
证法
2
:
延长
BC
到
D
,
过点
C
作
CE∥BA
,
∴
∠
A
=∠1 .
(
两直线平行,内错角相等
)
∠
B
=∠2.
(
两直线平行,同位角相等
)
又
∵∠
1+∠2+∠
ACB
=180°
,
∴∠
A
+∠
B
+∠
ACB
=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法
3
:过
D
作
DE
∥
AC
,
作
DF
∥
AB
.
∴ ∠
C
=∠
EDB
,
∠
B
=∠
FDC.
(
两直线平行,同位角相等
)
∠
A
+∠
AED
=180
°
,
∠
AED
+∠
EDF
=180
°,
(
两直线平行,同旁内角相补
)
∴
∠
A=
∠
EDF.
∵∠
EDB
+∠
EDF
+∠
FDC
=180°
,
∴∠
A
+∠
B
+∠
C
=180°.
想一想:
同学们还有其他的方法吗?
思考:
多种方法证明的核心是什么?
借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角
.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
知识要点
在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做
辅助线
.
在平面几何里,辅助线通常画成
虚线
.
思路总结
为了证明三个角的和为
180
°
,
转化为一个平角或同旁内角互补等,这种
转化思想
是数学中的常用方法
.
作辅助线
例
1
如图,在△
ABC
中, ∠
BAC
=40 °, ∠
B
=75 °,
AD
是△
ABC
的角平分线,求∠
ADB
的度数
.
A
B
C
D
解:由∠
BAC
=40 °,
AD
是△
ABC
的角平分线,得
∠
BAD
= ∠
BAC
=20 °.
在△
ABD
中,
∠
ADB
=180°-∠
B
-∠
BAD
=180°-75°-20°
=85°.
三角形的内角和定理的运用
二
【变式题】
如图,
CD
是
∠
ACB
的平分线,
DE
∥
BC
,
∠
A
=
50°
,
∠
B
=
70°
,求
∠
EDC
,
∠
BDC
的度数.
解:
∵∠
A
=
50°
,
∠
B
=
70°
,
∴∠
ACB
=
180°
-
∠
A
-
∠
B
=
60°.
∵
CD
是
∠
ACB
的平分线,
∴∠
BCD
=
∠
ACB
=
30°.
∵
DE
∥
BC
,
∴
∠
EDC
=
∠
BCD
=
30°
,
在
△
BDC
中,
∠
BDC
=
180°
-
∠
B
-
∠
BCD=
80°.
例
2
如图,
△
ABC
中,
D
在
BC
的延长线上,过
D
作
DE
⊥
AB
于
E
,交
AC
于
F
.
已知
∠
A
=
30
°,
∠
FCD
=
80°
,求
∠
D
.
解:
∵
DE
⊥
AB
,
∴∠
FEA
=
90°
.
∵
在
△
AEF
中,
∠
FEA
=
90°
,
∠
A
=
30°
,
∴
∠
AFE
=
180°
-
∠
FEA
-
∠
A
=
60°.
又
∵
∠
CFD
=
∠
AFE
,
∴
∠
CFD
=
60°.
∴
在
△
CDF
中,
∠
CFD
=
60°
,
∠
FCD
=
80°
,
∠
D
=
180°
-
∠
CFD
-
∠
FCD
=
40°.
基本图形
由三角形的内角和定理易得
∠
A
+∠
B
=
∠
C
+∠
D.
由三角形的内角和定理易得∠
1+∠2=
∠
3+∠4.
总结归纳
例
3
在△
ABC
中, ∠
A
的度数是∠
B
的度数的
3
倍,∠
C
比∠
B
大
15°
,求∠
A
,∠
B
,∠
C
的度数
.
解
:
设∠
B
为
x
°
,则∠
A
为
(3
x
)°
,
∠
C
为
(
x
+
15)°
, 从而有
3
x
+
x
+
(
x
+
15)
=
180.
解得
x
=
33.
所以
3
x
=
99
,
x
+
15
=
48.
答: ∠
A
, ∠
B
, ∠
C
的度数分别为
99°
,
33°
,
48°
.
几何问题借助方程来解
.
这是一个重要的数学思想
.
【变式题】
在
△
ABC
中,
∠
A
=
∠
B
=
∠
ACB
,
CD
是
△
ABC
的高,
CE
是
∠
ACB
的平分线,求
∠
DCE
的度数.
解析:根据已知条件用
∠
A
表示出
∠
B
和
∠
ACB
,利用三角形的内角和求出
∠
A
,再求出
∠
ACB
,
∠
ACD
,最后根据角平分线的定义求出
∠
ACE
即可求得
∠
DCE
的度数.
比例关系可考虑用方程思想求角度
.
解:
∵∠
A
=
∠
B
=
∠
ACB
,
设
∠
A
=
x
,
∴∠
B
=
2
x
,
∠
ACB
=
3
x
.
∵∠
A
+
∠
B
+
∠
ACB
=
180°
,
∴
x
+
2
x
+
3
x
=
180°
,得
x
=
30°
,
∴∠
A
=
30°
,
∠
ACB
=
90°.
∵
CD
是
△
ABC
的高,
∴∠
ADC
=
90°
,
∴∠
ACD
=
180°
-
90°
-
30°
=
60°.
∵
CE
是
∠
ACB
的平分线,
∴∠
ACE
=
×90°
=
45°
,
∴∠
DCE
=
∠
ACD
-
∠
ACE
=
60°
-
45°
=
15°.
②
在△
ABC
中,∠
A
:∠
B
:∠
C
=1:2:3
,则△
ABC
是
_________
三角形
.
练一练:
①
在△
ABC
中,∠
A
=35°
,∠
B
=43 °
,则∠
C
=
.
③
在△
ABC
中, ∠
A
= ∠
B
+10
°
, ∠
C
= ∠
A
+ 10
°
,
则 ∠
A
=
, ∠
B
=
,∠
C
=
.
102°
直角
60°
50°
70°
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
例
4
如图,
C
岛在
A
岛的北偏东
50°
方向,
B
岛在
A
岛的北偏东
80 °
方向,
C
岛在
B
岛的北偏西
40 °
方向
.
从
B
岛看
A
,
C
两岛的视角∠
ABC
是多少度?
从
C
岛看
A
、
B
两岛的视角
∠
ACB
是多少度?
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中
.
解:
∠
CAB
= ∠
BAD
- ∠
CAD
=80 °-50°=30°.
由
AD
//
BE
,
得
∠
BAD
+ ∠
ABE
=180 °.
所以
∠
ABE
=180 °-
∠
BAD=180°-80°
=100°,
∠
ABC
=
∠
ABE
-
∠
EBC
=100°
-40°=60°.
在
△
ABC
中
,
∠
ACB
=180 °-
∠
ABC
-
∠
CAB
=180°-60°-30°
=90°,
答:从
B
岛看
A,C
两岛的视角
∠
ABC
是
60 °,
从
C
岛看
A
,
B
两岛的视角∠
ACB
是
90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
【变式题】
如图,
B
岛在
A
岛的南偏西
40°
方向,
C
岛在
A
岛的南偏东
15°
方向,
C
岛在
B
岛的北偏东
80°
方向,求从
C
岛看
A
,
B
两岛的视角
∠
ACB
的度数
.
解:如图,
由题意得
BE
∥
AD
,∠
BAD
=40
°,
∠
CAD
=15
°,
∠
E
B
C
=
80
°,
∴∠
E
BA
=
∠
BAD
=40
°,
∠
BAC
=40°+15°=55°
,
∴
∠
C
BA
=∠
E
B
C-
∠
E
BA
=80
°
-40
°
=40
°,
∴∠
ACB
=180°-∠
BAC
-∠
ABC
=180°-55°-40°=85°.
D
E
当堂练习
1.
求
出下列各图中的
x
值.
x
=70
x
=60
x
=30
x
=50
2.
如图,则
∠
1+∠2+∠3+∠4=___________ .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
(
280 °
3.
如图,四边形
ABCD
中,点
E
在
BC
上
,
∠
A
+∠
ADE
=180°,∠
B
=78°,∠
C
=60°,求∠
EDC
的度数.
解:∵∠
A
+∠
ADE
=180°,
∴
AB
∥
DE
,
∴∠
CED
=∠
B
=78°.
又∵∠
C
=60°,
∴∠
EDC
=180°
-
(∠
CED
+∠
C
)
=180°-(78°+60°)
=42°.
4.
如图,在△
ABC
中,∠
B
=42°,∠
C
=78°,
AD
平分∠
BAC
.求∠
ADC
的度数
.
解:∵∠
B
=42°,∠
C
=78°,
∴∠
BAC
=180°-∠
B
-∠
C
=60°
.
∵
AD
平分∠
BAC
,
∴∠
C
AD
= ∠
BAC
=30°,
∴∠
ADC
=
180
°
-
∠
B
-
∠
C
AD
=72°
.
5.
如图,在△
ABC
中,
BP
平分∠
ABC
,
CP
平分∠
ACB
,若∠
BAC
=60°,求∠
BPC
的度数.
解:∵△
ABC
中,∠
A
=60°,
∴∠
ABC
+∠
ACB
=120°.
∵
BP
平分∠
ABC
,
CP
平分∠
ACB
,
∴∠
PBC
+∠
PCB
= (∠
ABC
+∠
ACB
)=60°.
∵∠
PBC
+∠
PCB
+∠
BPC
=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
拓 展
【变式题】
你能直接写出
∠
BPC
与
∠
A
之间的数量关系吗?
解:∵
BP
平分∠
ABC
,
CP
平分∠
ACB
,
∴∠
PBC
+∠
PCB
= (∠
ABC
+∠
ACB
)=60°.
∵∠
PBC
+∠
PCB
+∠
BPC
=180°,
∴∠
BPC
=180°- (∠
ABC
+∠
ACB
)
=1
8
0°
-
(
180
°
-
∠
A
)
=90
°
+
∠
A
.
课堂小结
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于
180 °