2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧用三角形中位线试题 （新版）青岛版 10页

巧用三角形中位线 ‎1. 三角形中位线定义 连结三角形两边中点的线段叫中位线。‎ 注意：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。‎ ‎（2）三角形有三条中位线。‎ ‎2. 定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。‎ 如果EF为△ABC的中位线，则EF∥BC且EF=BC。‎ 注意：位置关系——平行 数量关系——等于第三边的一半 ‎3. 三角形中位线定理的应用：‎ ‎（1）证明角相等关系；‎ ‎（2）证明线段的倍分以及相等关系；‎ ‎（3）证明线段平行关系。‎ 例题1 如图，自△ABC的顶点A，向∠B和∠C的平分线作垂线，垂足分别为D、E。‎ 求证：DE∥BC。‎ 10‎ 解析：欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明三线合一易证D是AG的中点，同理E为AH的中点，故，ED是△AHG的中位线，当然有DE∥BC。‎ 答案：证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，‎ ‎∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，‎ 又∵BD⊥AD，‎ ‎∴∠ADB=∠BDG=90º ‎∴△ABG为等腰三角形 ‎∴AD=DG，同理可证，AE=GE，‎ ‎∴D，E分别为AG，AH的中点， ‎ ‎∴ED∥BC 点拨：本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一，但最终还是利用中位线的性质得出结论。‎ 例题2 如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EF，交BD于M点。‎ 求证：（1）BM=BD；（2）ME=MF。‎ 解析：（1）由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO。又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=BD。（2）由问题(1)中的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。‎ 答案：证明：（1）连结AC，交BD于O点，‎ 10‎ ‎∵E、F分别为AB、BC中点，‎ ‎∴EF∥AC，‎ ‎∴BM=MO= BO 又∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴BO=OD=BD，AO=OC=AC，‎ ‎∴BM=BO=BD；‎ ‎（2）∵M是BO的中点，E、F分别是AB、BC的中点。‎ ‎∴ME=AO，MF=OC，又∵AO＝OC，∴ME＝MF。‎ 点拨：问题（1）运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。‎ 三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。‎ 例题 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点，求证：∠ATF=∠BSF。‎ 解析：连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥AD，EH=AD，FH∥BC，FH=BC，然后求出EH=FH 10‎ ‎，根据等边对等角可得∠EFH=∠FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ATF=∠FEH，两直线平行，内错角相等可得∠BSF=∠EFH，然后等量代换即可得证。‎ 答案：证明：如图，连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，‎ ‎∵E、F分别是CD、AB的中点，‎ ‎∴EH、FH分别是△ACD和△ABC的中位线，‎ ‎∴EH∥AD，EH=AD，FH∥BC，FH=BC ‎∵AD=BC，‎ ‎∴EH=FH，‎ ‎∴∠EFH=∠FEH，‎ 又∵EH∥AD，FH∥BC，‎ ‎∴∠ATF=∠FEH，∠BSF=∠EFH，‎ ‎∴∠ATF=∠BSF。‎ 点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1.（宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为‎12m，由此他就知道了A、B间的距离。有关他这次探究活动的描述错误的是（　　）‎ A.‎‎ ‎AB‎=‎24m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2‎ ‎2.（泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）‎ 10‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎3.（泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连结DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F。若AB=6，则BF的长为（　　）‎ A. 6 B. ‎7 ‎ C. 8 D. 10‎ ‎4. （福州模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连结OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（　　）‎ A. 6 B. ‎7 ‎ C. 8 D. 12‎ ‎5.（邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B‎1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B‎1C1D1的面积为（　　）‎ A. 20 B. ‎40 ‎ C. 36 D. 10‎ 二、填空题 ‎6. （怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=　_________　。‎ ‎7.（邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。∠A=30°，AB=8，则DE的长度是_________。‎ 10‎ ‎8.（沈阳）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影。假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_________。‎ ‎9.（天桥区一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为_________。‎ ‎10.（海门市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点。若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为_________。‎ 三、解答题 ‎11.（南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F。‎ ‎（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？‎ 10‎ ‎12.（鞍山一模）（1）如图1所示，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）‎ ‎（2）如图2所示，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度。‎ 10‎ 一、选择题 ‎1. D 解析：∵M、N分别是AC，BC的中点，‎ ‎∴MN∥AB，MN=AB，‎ ‎∴AB=2MN=2×12=‎24m，‎ ‎△CMN∽△CAB，‎ ‎∵M是AC的中点，‎ ‎∴CM=MA，‎ ‎∴CM：MA=1：1，‎ 故描述错误的是D选项。‎ ‎2. C 解析：由等边△ABC得∠C=60°，‎ 由三角形中位线的性质得DE∥BC，‎ ‎∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，‎ ‎3. C 解析：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，‎ ‎∴CD=AB=3。‎ 又CE=CD，‎ ‎∴CE=1，‎ ‎∴ED=CE+CD=4。‎ 又∵BF∥DE，点D是AB的中点，‎ ‎∴ED是△AFB的中位线，‎ ‎∴BF=2ED=8。‎ ‎4.B 解析：∵BD，CE是△ABC的中线，‎ ‎∴ED∥BC且ED=BC，‎ ‎∵F是BO的中点，G是CO的中点，‎ ‎∴FG∥BC且FG=BC，‎ ‎∴ED=FG=BC=2，‎ 同理GD=EF=AO=1.5，‎ ‎∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7。‎ ‎5. A 解：∵A1B‎1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，AC=8，BD=10，‎ ‎∴A1D1=B‎1C1=BD=5，A1B1=C1D1=AC=4，A1D1∥BD∥B‎1C1，A1B1∥AC∥C1D1，‎ ‎∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，‎ ‎∴四边形A1B‎1‎C1D1是矩形，‎ ‎∴SA1B‎1C1D1=5×4=20。‎ 10‎ 二、填空题 ‎6. 1：4 解析：∵D、E是边AB、AC上的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC且DE=BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴S△ADE：S△ABC=（1：2）2=1：4。‎ ‎7. 2 解析：∵D为AB的中点，AB=8，‎ ‎∴AD=4，‎ ‎∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，‎ ‎∴DE=AD=2。‎ ‎8. 解析：∵D、E分别是BC、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴ED∥AB，且DE=AB，‎ ‎∴△CDE∽△CBA，‎ ‎∴==，‎ ‎∴S△CDE=S△CBA。‎ 同理，S△FPM=S△FDE=S△CBA，‎ ‎∴S△FPM+S△CDE=S△CBA，‎ 则=。‎ ‎9. 16 解析：∵菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2，‎ ‎∴BC=2EF=2×2=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周长为4BC=4×4=16。‎ ‎10. 64° 解析：∵D，E分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴DE是三角形ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴∠AED=∠ACB，‎ ‎∵∠AFC=90°，E为AC的中点，‎ ‎∴EF=AC，AE=CE，‎ ‎∴EF=CE，‎ ‎∴∠EFC=∠ECF，‎ ‎∴∠ECF=∠EFC=∠ACB=26°，‎ ‎∴∠FAE的度数为90°﹣26°=64°，‎ 10‎ 三、解答题 ‎11. 解：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，‎ 又∵EF∥AB，‎ ‎∴四边形DBFE是平行四边形；‎ ‎（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形。‎ 理由如下：∵D是AB的中点，‎ ‎∴BD=AB，‎ ‎∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BD=DE，‎ 又∵四边形DBFE是平行四边形，‎ ‎∴四边形DBFE是菱形。‎ ‎12.（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH。‎ ‎∵E、F分别是BC、AD的中点，‎ ‎∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，‎ ‎∵∠BME=∠CNE，∠BME=∠HEF，∠CNE=∠HFE，∴∠HEF=∠HFE。‎ ‎∴HE=HF，‎ ‎∴AB=CD；‎ ‎（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，‎ ‎∴EH∥AB，EH=AB，HO∥DC，HO=DC。‎ ‎∵AB=CD，‎ ‎∴HO=HE，‎ ‎∴∠HOE=∠HEO，‎ ‎∵∠OEC=60°，‎ ‎∴∠HEO=∠AGO=60°，‎ ‎∴△OEH是等边三角形，‎ ‎∵AB=DC=5，‎ ‎∴OE=。‎ 10‎