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- 2021-10-27 发布
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13.1.2
线段的垂直平分线的性质
第十三章 轴对称
第
2
课时
线段垂直平分线的有关作图
学习目标
1
.
能用尺规作已知线段的垂直平分线.
(
难点)
2
.
进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言,理解作图的依据.
3
.
能够
运用尺规作图的方法解决简单的作图问题.(重点)
导入新课
情境引入
如图,
A
,
B
是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方?
A
B
讲授新课
线段垂直平分线的画法
一
互动探究
问题
1
:
有时我们感觉一(两)个平面图形是轴对称的,如何验证呢?
A
B
C
A
′
B
′
C
′
通过折叠,如果这
(两)
个图形能够互相重合,则这(两)个图形是轴对称的
.
问题
2
:
不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?
尺规作图
如图,点
A
和点
B
关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?
A
B
分析:
我们只要连接点
A
和点
B
,
作出线段
AB
的垂直平分线,就可得到点
A
和点
B
的对称轴
.
为此作出到点
A,B
的距离相等的两点,即线段
AB
的垂直平分线上的两点,从而作出线段
AB
的垂直平分线
.
A
B
C
D
作法:
(
1
)
分别以点
A
,
B
为圆心,以大
于
AB
的长为半径作弧,两弧交于
C
,
D
两点
.
(
2
)
作直线
CD
.
CD
即为所求
.
特别说明:
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图,我们也可以用这种方法确定线段的中点
.
引例
如图,
A
,
B
是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站
.
使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方?
A
B
分析:
增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长,应在线段
AB
的垂直平分线上,又要在公路边上,所以找到
AB
垂直平分线与公路的交点便是
.
公共汽车站
例
1
如图,已知点
A
、点
B
以及直线
l
.
(1)
用尺规作图的方法在直线
l
上求作一点
P
,使
PA
=
PB
.(
保留作图痕迹,不要求写出作法
)
;
(2)
在
(1)
中所作的图中,若
AM
=
PN
,
BN
=
PM
,求证:
∠
MAP
=
∠
NPB
.
M
N
A
B
l
典例精析
解:
(1)
如图所示:
(2)
在
△
AMP
和
△
BNP
中,
∵AM=PN
,
AP
=
BP
,
PM
=
BN
,
∴△
AMP
≌
△
PNB
(SSS)
,
∴∠
MAP
=
∠
NPB
.
M
N
A
B
l
P
例
2
如图,某地有两所大学和两条交叉的公路.图中点
M
,
N
表示大学,
OA
,
OB
表示公路,现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到两条公路的距离也相同,你能确定出仓库
P
应该建在什么位置吗?请在图中画出你的设计.
(
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹
)
O
N
M
A
B
方法总结:到角两边距离相等的点在角的平分线上,到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上
.
解:如图所示:
O
N
M
A
B
P
作轴对称图形的对称轴
二
想一想:
下图中的五角星有几条对称轴?如何作出这些对称轴呢?
A
B
作法:
(
1
)
找出五角星的一对
对称点
A
和
B
,连接
AB
.
(
2
)
作出线段
AB
的垂直平分线
l
.
则
l
就是这个五角星的一条对称轴.
l
用同样的方法,可以找出五条对称轴,所以五角星有五条对称轴.
方法总结:
对于轴对称图形,只要找到任意一组对称点,作出对称点所连线段的垂直平分线,即能得此图形的对称轴
.
例
3
如图,
△
ABC
和
△
A′B′C′
关于直线
l
对称,请用无刻度的直尺作出它们的对称轴
.
方法总结:
如果成轴对称的两个图形对称点连线段(或延长线)相交,那么交点必定在对称轴上
.
解:延长
BC
、
B'C
'
交于点
P
,延长
AC
,
A
'
C
'
交于点
Q
,连接
PQ
,则直线
PQ
即为所要求作的直线
l
.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
l
P
Q
练一练:
作出下列图形的一条对称轴
.
和同学比较一下,你们作出的对称轴一样吗?
1.
如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于 AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是( )
A.∠A的平分线
B.AC边的中线
C.BC边的高线
D.AB边的垂直平分线
D
当堂练习
2.
如图,已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P,且AP=2PC,现欲在线段AB上求作两点D,E,使其满足AD=DC=CE=EB,对于以下甲、乙两种作法:
甲:分别作∠ACP、∠BCP的平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;
乙:分别作AC、BC的垂直平分线,分别交AB于D、E,则D、E两点即为所求.
下列说法正确的是( )
A.甲、乙都正确
B.甲、乙都错误
C.甲正确,乙错误
D.甲错误,乙正确
D
3.
如图,与图形
A
成轴对称的是哪个图形?画出它的对称轴.
A
B
C
D
4.
如图,角是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
角是轴对称图形,角平分线所在的直线就是角的对称轴.
5.
如图,有
A
,
B
,
C
三个村庄,现准备要建一所希望小学,要求学校到三个村庄的距离相等,请你确定学校的位置
.
B
C
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处
.
A
课堂小结
线段的垂直
平分线的
有关作图
尺规作图
作对称轴的常见方法
属于基本作图之一,必须熟熟练掌握
(1)
将图形对折;
(2)
用尺规作图;
(3)
用刻度尺先取一对对称点连线的中点,然后作垂线