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- 2021-10-27 发布
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12.3 乘法公式
第12章 整式的乘除
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
2.两数和(差)的平方
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并
能够灵活应用.(重点)
2.理解完全平方公式的结构特征,灵活应用完全平方公式.(难点)
导入新课
情境引入
直接求:总面积=(a+b)(a+b)
间接求:总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么?
(a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方公式
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .m2+4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)= .p2-2p+1
(4) (m-2)2=(m-2)(m-2)= .m2-4m+4
根据上面的规律,你能直接下面式子的写出答案吗?
(a+b)2= .a2+2ab+b2
讲授新课
知识要点
完全平方公式
(a+b)2= .a2+2ab+b2
也就是说,两个数和的平方,等于这两数的平方和加上它们
的积的2倍.这个公式叫做两数和的平方公式.
简记为:
“首平方,尾平方,积的2
倍放中间”.
u 公式特征:
4.公式中的字母a,b可以表示数、单项式和多项式.
1.积为二次三项式;
2.积中两项为两数的平方和;
3.另一项是两数积的2倍;
a 2
b2
ab
ab
a b
a+b
a
+b
a
b
a 2
ab
ab
b2
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)2 a2 + 2ab + b2=
试一试
观察下图,用等式表示下图中图形面积的运算:
例1 计算:
(1)(2x+3y)2; 2(2)(2 ) .
2
ba
解:(1)(2x+3y)2
=(2x)2+2•2x•3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2;
2
2 2
2
2
(2 )
2
(2 ) 2 2 ( )
2 2
4 2 .
4
ba
b ba a
ba ab
(2)
典例精析
试一试 推导两数差的平方公式(a-b)2
2 2
2 2
2 2
( ) [ ( )]
2 ( ) ( )
2
a b a b
a a b b
a ab b
注意到a-b=a+(-b),
也可以利用两数和
的平方公式来计算
这样就得到了两数差的平方公式:
(a-b)2= .a2-2ab+b2
两数差的平方,等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
例2 计算:
(1)(3x-2y)3; 21(2)( 1) .
2
m
解:(1)(3x-2y)2
=(3x)2-2•3x•2y+(2y)2
=9x2-12xy+4y2;
2
2
2 2
2
2
2 2
2
1 1
2
1 1
2 2
1 1
4
1 1
2
1= -
2
1 11 2 1 ( )
2 2
11
4
(- )
( ) 2 ( ) 1 1
(- )
m
m m
m m
m
m
m m
m m
解法1
解法2
(1 )
(2)
;
例3 运用完全平方公式计算:
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2;
(4m)2 +2•(4m) •n +n2
+8mn +n2;
y2
(2) (y- )2.
2
1
=y2 -y +
1 .
4
解: (y- )2=1
2
+ ( )2
1
2
-2•y•
1
2
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2;
(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时,(a-b)2=a2-b2.
(1) 1022;
解: 1022 = (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992 = (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
1.运用完全平方公式计算:
解题小结:利用完全平方公式计算:
1.先选择公式;
3.化简.
2.准确代入公式;
当堂练习
2. 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
解: (1) 原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题小结:第(1)题选用平方差公式进行计算,需要分组.分组方
法是“符号相同的为一组,符号相反的为另一组”.第(2)题要把
其中两项看成一个整体,再按照完全平方公式进行计算.
(1) (6a+5b)2;
=36a2+60ab+25b2;
(2) (4x-3y)2 ;
=16x2-24xy+9y2;
(3) (2m-1)2 ;
=4m2-4m+1;
(4)(-2m-1)2 .
=4m2+4m+1.
3.运用完全平方公式计算:
4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解:a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37;
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解:∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②,得 4xy=48,
∴xy=12.
解题时常用结论:
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解:a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37;
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解:∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②,得 4xy=48
∴xy=12.
解题时常用结论:
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
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