浙教版数学八年级下册第1章《二次根式》同步练习 5页

二次根式 类型之一 二次根式被开方数中字母的取值范围 1．[2012·衢州]函 数 y＝ x－1的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为 ( D ) A B C D 图 1－1 2．[2013·娄底]使式子 2x＋1 x－1 有意义的 x 的取值范围是 ( A ) A．x≥－1 2 ，且 x≠1 B．x≠1 C．x≥－1 2 D．x>－1 2 ，且 x≠1 3．x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？ (1) 1 3 x＋2； (2) x2＋2； (3) x＋1 x－2 ； (4) x＋5 3－x . 解：(1)1 3 x＋2≥0，解得 x≥－6， ∴当 x≥－6 时， 1 3 x＋2有意义． (2)由 x2＋2≥0 可知，x 取任何实数时，x2＋2≥0 都成立， ∴当 x 取任意实数时， x2＋2都有意义． (3)由 x＋1≥0， x－2≠0， 得 x≥－1 且 x≠2， ∴当 x≥－1 且 x≠2 时， x＋1 x－2 有意义． (4)由 x＋5≥0， 3－x＞0， 得－5≤x＜3， ∴当－5≤x＜3 时， x＋5 3－x 有意义． 类型之二 二次根式的性质 4．[2011·大庆]对任意实数 a，下列等式一定成立的是 ( D ) A. a2＝a B. a2＝－a C. a2＝±a D. a2＝|a| 5．已知 a 为实数，那么 －a2等于 ( D ) A．a B．－a C．－1 D．0 6．已知 12－n是正整数，则实数 n 的最大值为 ( B ) A．12 B．11 C．8 D．3 7．若 （1－a）2＝1－a，则 a 的取值范围是 ( D ) A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【解析】 由题意，得 1－a≥0，∴a≤1. 类型之三 二次根式的非负性 8．[2013·广东]若实数 a、b 满足|a＋2|＋ b－4＝0，则a2 b ＝__1__． 9．[2012·张家界]已知(x－y＋3)2＋ 2－y＝0，则 x＋y＝__1__． 10．若 m 满足关系式 3x＋5y－2－m＋ 2x＋3y－m＝ x－199＋y· 199－x－y，你能确定 m 的值吗？请试一试． 解：由二次根式的被开方数的非负性，得 x－199＋y≥0， 199－x－y≥0， 即 x＋y≥199， x＋y≤199， ∴x＋y＝199， ∴ x－199＋y· 199－x－y＝0， ∴ 3x＋5y－2－m＋ 2x＋3y－m＝0. 再由二次根式的值的非负性，得 3x＋5y－2－m＝0， ① 2x＋3y－m＝0. ② 由①－②，得 x＋2y＝2， 解方程组 x＋y＝199， x＋2y＝2， 得 x＝396， y＝－197， ∴m＝2x＋3y＝2×396＋3×(－197)＝201. 类型之四 二次根式的运算 11．[2013·海南]下列各数中，与 3的积为有理数的是 ( C ) A. 2 B．3 2 C．2 3 D．2－ 3 12．[2013·临沂]计算 48－9 1 3 的结果是 ( B ) A．－ 3 B. 3 C．－11 3 3 D.11 3 3 13．化简二次根式 a －a＋2 a2 的结果是 ( B ) A. －a－2 B．－ －a－2 C. a－2 D．－ a－2 【解析】 若二次根式有意义，则－a＋2 a2 ≥0， 即－a－2≥0，解得 a≤－2， ∴原式＝ a －a －a－2＝－ －a－2. 14．计算：(1)[2013·温州] 8＋( 2－1)＋ 1 2 0 ； (2) 14 3 2 －3 1 2 － 1 4 8－3 2 3 ； (3)3 2 20×(－ 15)× －1 3 48 ； (4) 3 10 5ab c ×5 3 2ac b × －2 15bc a . 解：(1) 8＋( 2－1)＋ 1 2 0 ＝2 2＋ 2－1＋1＝3 2. (2)原式＝14× 6 2 －3 2 2 － 2 2 ＋ 6＝8 6－2 2. (3)3 2 20×(－ 15)× －1 3 48 ＝3 2 ×1×1 3 20×15×48 ＝1 2 22×52×32×42 ＝1 2 ×2×5×3×4＝60. (4) 3 10 5ab c ×5 3 2ac b × －2 15bc a ＝－ 3 10 ×5 3 ×2 5ab c ·2ac b ·15bc a ＝－ 52×6abc＝－5 6abc. 15 ． 阅 读 理 解 ： 我 们 约 定 |a b c d| ＝ ad － bc. 如 |2 3 4 5| ＝ 2×5 － 3×4 ＝ － 2. 计 算 ： . 解：原式＝(7＋4 3)×(7－4 3)－(3 5＋1)×(3 5＋1)＝49－48－45－1－6 5＝－45－ 6 5. 类型之五 二次根式的化简求值 16．已知 a＝2，则代数式 2 a－a＋ a a－ a 的值等于__－3__. 【解析】 原式＝2 a－ a（ a＋1） a（ a－1） ＝2 a－a＋2 a＋1 a－1 ，把 a＝2 代入， 则原式＝2 2－(2＋2 2＋1)＝－3. 17．[2013·遂宁]先化简，再求值： 2 a－1 ＋a2－4a＋4 a2－1 ÷a－2 a＋1 ，其中 a＝1＋ 2. 解：原式＝ 2 a－1 ＋ （a－2）2 （a＋1）（a－1） ·a＋1 a－2 ＝ 2 a－1 ＋a－2 a－1 ＝ a a－1 . 当 a＝1＋ 2时， a a－1 ＝ 1＋ 2 1＋ 2－1 ＝1＋ 2 2 ＝ 2＋2 2 . 类型之六 实数的大小比较 18．[2012·德州] 5－1 2 __＞__1 2 (填“＞”、“＜”或“＝”)． 19．设 a ＝ 3－ 2，b＝2－ 3，c＝ 5－2，则 a，b，c 的大小关系是 ( A ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【解析】 观察 a，b，c 三 个数的特点，可采用倒数法比较大小，或利用计算器计算比较大 小． 解法一：∵1 a ＝ 1 3－ 2 ＝ 3＋ 2， 1 b ＝ 1 2－ 3 ＝2＋ 3，1 c ＝ 1 5－2 ＝ 5＋2， 显然 2＞ 2， 5＞ 3，∴1 b ＞1 a ，1 c ＞1 b ， ∴b＜a，c＜b，即 a＞b＞c.故选 A. 解法二：利用计算器计算，得 a＝ 3－ 2≈0.32，b＝2－ 3≈0.27，c＝ 5－2≈0.24，∴a＞b＞c.故选 A. 类型之七 二次根式的应用 20．[2013·安徽]如图 1－2，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC，坡角α＝60°， 汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长 AB＝20 m，求改造后 的坡长 AE.(结果保留根号) 图 1－2 解：如图，过点 A 作 AF⊥CE 于点 F，在 Rt△ABF 中，AB＝20，α＝60°，BF＝10 m，由勾 股定理求得 AF＝10 3，在 Rt△AEF 中，β＝45°，由勾股定理得出 AE＝10 6(m)． 第 20 题答图 21．[2013·湛江]如图 1－3，我国渔政船在钓鱼岛海域 C 处测得钓鱼岛 A 在渔政船的北偏 西 30°的方向上，随后渔政船以 80 海里/小时的速度向北偏东 30°的方向航行，半小时后 到达 B 处，此时又测得钓鱼岛 A 在渔政船的北偏西 60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛 A 的距离 AB(结果保留 小数点后一位，其中 3≈1.732)． 图 1－3 解：由于 CD∥BE，所以∠EBC＋∠DCB＝180°. 因为∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，所以∠ABC＝90°. 在直角△ABC 中， BC＝80×1 2 ＝40， ∠A＝30°，AC＝2BC＝80， AB＝40 3≈69.3(海里)． 答：AB 的长约为 69.3 海里． 类型之八 二次根式规律探索型问题 22．(1)观察下列各式： 1＋1×2×3×4＝12＋3×1＋1， 1＋2×3×4×5＝22＋3×2＋1， 1＋3×4×5×6＝32＋3×3＋1， 猜测： 1＋2013×2014×2015×2016＝______________________________． (2)用计算器计算： 9×9＋19， 99×99＋199， 999×999＋1999，… 请你猜测 99…9×99…9＋199…9的结果为______． n 个 9 n 个 9 n 个 9 解：(1)1＋2013×2014×2015×2016 中令 2 013＝a，则有 1＋a(a＋1)(a＋2)(a＋3 )＝1＋ [a(a＋3)]·[(a＋1)(a＋2)]＝1＋(a2＋3a)(a2＋3a＋2)＝1＋2(a2＋3a)＋(a2＋3a)2＝(1＋3a ＋a2)2 . ∴ 1＋2013×2014×2015×2016 ＝ （20132＋3×2013＋1）2 ＝20132＋3×2013＋1. (2) 9×9＋19＝10， 99×99＋199＝100， 999×999＋1 999＝1 000， 原式＝ （10n－1）2＋10n＋（10n－1） ＝ 102n－2×10n＋1＋2×10n－1 ＝ 102n＝10n.