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- 2021-10-27 发布
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1.3 整数指数幂
第1章 分 式
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
1.3.3 整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则;(重点)
2.会用整数指数幂的运算法则进行计算.
(重点、难点)
学习目标
问题 正整数指数幂的运算法则有哪些?
am·an=am+n(m,n都是正整数);
(am)n=amn(m,n都是正整数);
(ab)n=anbn(n是正整数).
(a≠0,m,n都是
正整数,且m>n);
(b≠0,n是正整数).
-m m n
n
a a
a
n n
n
a a
b b
导入新课
回顾与思考
思考:之前我们已经学习了零指数幂和负指数幂的
运算,那么 am·an=am+n(m,n都是正整数)这条性质
能否扩大到m,n都是任意整数的情形?
3
3 5 3 52 3 5
5 2
11 = , ;a a a a a a
a a
解: 原式 即
计算:(1)a3·a-5; (2)a-3·a-5;(3)a0·a-5.
3 5 3 58 3 5
3 5 8
1 1 12 = , ;a a a a a
a a a
原式 即
0 5 0 55 0 5
5 5
1 13 =1 , .a a a a a
a a
原式 即
am · an=am+n(a≠0,m,n都是整数)
由此可以得出:
讲授新课
整数指数幂的运算一
0
0
0 0
m n m n
m n mn
n n n
a a a a m n
a a a m n
ab a b a b n
( , , 都是整数),
( ) ( , , 都是整数),
( ) ( , , 是整数).
①
③
②
引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推
广到全体整数.也就说前面提到的运算性质也推
广到整数指数幂.
实际上,对于a≠0,m,n都是整数,有
.
m
m n m n m n
n
a a a a a
a
( )
1 1= .
n
n n n n n n
n
a aa b a b a b
b b
( ) ( ) ( )
因此,同底数幂相除和运算法则被包含在公式①中.
而对于a≠0,b≠0,n是整数,有
因此,分式的乘方的运算法则被包含在公式③中.
例1 设a≠0,b≠0,计算下列各式:
(1)a7 · a-3; (2)(a-3)-2; (3)a3b(a-1b)-2.
解:(1) a7·a-3
(2)(a-3)-2
= a7+(-3)
= a(-3)×(-2)
= a4;
= a6 ;
(3) a3b(a-1b)-2 = a3b·a2b-2
= a3+2b1+(-2) = a5b-1
=
5a
b
注意:最后结果一
般不保留负指数,
应写成分式形式.
典例精析
计算:
23
2 5
2
1 2 3 2 2 2 2 3
(1) ; (2) ;
(3) ( ) ; (4) ( ) .
ba a
a
a b a b a b
解: 2 5 2 5 7
7
1(1) ;a a a a
a
43 6
2
2 4 62 ( ) ;b b a
a a b
( )
做一做
解:
6
1 2 3 3 6
3(3) ( ) ;ba b a b
a
2 2 2 2 3
2 2 6 6
8
8 8
8
( 4 ) ( )
.
a b a b
a b a b
ba b
a
1 2 3 2 2 2 2 3(3) ( ) ; (4) ( ) .a b a b a b
例2 计算下列各式:
-33 -2
-1
2 21 2 .3
x y x
yx y
( ) ; ( )
3 -2
-1
2: 1 3
x y
x y 解 ( )
3-(-1) -2-12
3x y
4 -32
3x y
4
3
2
3
x
y
;
-322 x
y
( )
3
2
y
x
3
3(2 )
y
x
3
3 .
8
y
x
计算:
(1)(x3y-2)2; (2)x2y-2·(x-2y)3;
例3
解析:先进行幂的乘方,再进行幂的乘除,
最后将整数指数幂化成正整数指数幂.
解:(1)原式=x6y-4
(2)原式=x2y-2·x-6y3=x-4y
提示:计算结果一般需化为正整数幂的形式.
计算:
(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3;
(4)(3×10-5)3÷(3×10-6)2.
例3
(4)原式=(27×10-15)÷(9×10-
12)=3×10-3
解:(3)原式=9x4y-4÷x-6y3=
9x4y-4·x6y-3=9x10y-7
例4 已知a-m=3,bn=2,则(a-mb-2n)-2=____.
解析:(a-mb-2n)-2=(a-m)-2·b4n
=(a-m)-2(bn)4
=3-2×24
=
方法总结:把要求的代数式逆用幂的运算法则,
用已知的式子来表示是解题的关键.
16 .
9
16
9
整数指数幂运算的实际应用二
例5 某房间空气中每立方米含3×106个病菌,为了试
验某种杀菌剂的效果,科学家们进行实验,发现1毫升
杀菌剂可以杀死2×105个这种病菌,问要将长10m,
宽8m,高3m的房间内的病菌全部都杀死,需要多少
杀菌剂?
解:(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)
=(720×106)÷(2×105)
=360×10=3.6×103(毫升).
(2) 23 1 ________;a a
1. 设a≠0,b≠0,计算下列各式:
(4)a-5(a2b-1)3=_________;
(1) 3a a _______; 4a
a
12( ) _______;a
(3)
2a
3ab
当堂练习
2. 计算下列各式:
-1 4
2
51
4
x y
x y
( ) ;
3
3
51 =
4
y
x
解: 原式 ;
-3-2
42 .
3
y
x
( )
12 62 =27 .x y原式
2 7
2 43 .x y
x y
(- )
( )
(- )
14 7
6 3
8 4= x y x y
x y
解:原式 ﹣ ﹣
am · an=am+n(a≠0,m,n都是整数),
(am)n=amn(a≠0,m,n都是整数),
(ab)n=anbn(a≠0,b≠0,n是整数).
整数指数幂的运算公式:
1.在应用各公式时,底数必须是相同的,指数可以是任意整数.
2.注意对于负指数和零指数时,a≠0,b≠0的条件.
注意:
课堂小结
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