八年级下册数学同步练习1-2 第3课时 勾股定理的逆定理2 湘教版 8页

‎1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）‎ 第3课时 勾股定理的逆定理 一、选择——基础知识运用 ‎1．在△ABC中，AB=，BC=，AC=，则（　　）‎ A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．∠A=∠B ‎2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）‎ A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°‎ C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 ‎3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）‎ A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3[来源:学&科&网]‎ C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=3‎ ‎4．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。其中直角三角形有（　　）个。‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）‎ A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=‎ C．（b+a）（b-a）=c2 ‎ D．∠A：∠B：∠C=5：3：2‎ 二、解答——知识提高运用 ‎6．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积。‎ ‎7．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状。‎ ‎8．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积。‎ ‎9．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。‎ ‎（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？‎ ‎（2）求这个零件的面积。‎ ‎10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由。[来源:学科网]‎ ‎11．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？。‎ ‎12．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°‎ 方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？‎ 参考答案 一、选择——基础知识运用[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】∵AB2=（）2=2，BC2=（）2=5，AC2=（）2=3，[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎∴AB2+AC2=BC2，‎ ‎∴BC边是斜边，‎ ‎∴∠A=90°。‎ 故选A．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B。‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】A、因为1+2=3，所以三条线段不能组成三角形，一定不能组成直角三角形；‎ B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；‎ C、因为22+42≠52，所以三条线段不能组成直角三角形；‎ D、因为42+32=52，所以三条线段能组成直角三角形。‎ 故选：D。‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】①因为12+12=（）2三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；‎ ‎②因为92+402=412三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；‎ ‎③设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，则三角分别为30°，60°，90°，故是直角三角形；‎ ‎④因为符合直角三角形的判定，故是直角三角形。‎ 所以有4个直角三角形。‎ 故选：A。‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；‎ B、设a=20k，则b=15k，c=12k，‎ ‎∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，‎ 故不能判定是直角三角形；‎ C、∵（b+a）（b-a）=c2，‎ ‎∴b2-a2=c2，‎ 即a2+c2=b2，‎ 故是直角三角形，正确；‎ D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，‎ ‎∴∠A=×180°=90°，‎ 故是直角三角形，正确．‎ 故选：B。‎ 二、解答——知识提高运用 ‎6．【答案】120cm2‎ ‎【解析】设该三角形的三边是5k，12k，13k．‎ 因为（5k）2+（12k）2=（13k）2，‎ 所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．‎ 根据题意，得5k+12k+13k=60，‎ 解得k=2，‎ 则5k=10，12k=24，‎ 则该直角三角形的面积是120。‎ 故答案为：120cm2‎ ‎7．【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴b2-4ac=16-4b=0‎ 解得：b=4，‎ ‎∵a=3，c=5，‎ ‎∴32+42=52，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．。‎ ‎8．【答案】连接BD，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴△BCD为直角三角形，‎ ‎∵BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，‎ ‎∵BD＞0，[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎∴BD=，‎ 在△ABD中，‎ ‎∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，‎ ‎∴AB2+BD2=AD2，‎ ‎∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6．‎ 故四边形ABCD的面积是6。‎ ‎9．【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，‎ ‎∴AB2+AD2=BD2，‎ BD2+BC2=DC2，‎ ‎∴△ABD、△BDC是直角三角形，‎ ‎∴∠A=90°，∠DBC=90°，‎ 故这个零件符合要求。‎ ‎（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积 ‎=3×4÷2+5×12÷2‎ ‎=6+30‎ ‎=36．‎ 故这个零件的面积是36。‎ ‎10．【答案】能检查。‎ 作法：如图所示，‎ ‎（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B。‎ ‎（2）连接AB得△PAB。‎ ‎（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角。‎ 理由：∵PA=3cm，PB=4cm，PA2+PB2=32+42=52．‎ 若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，‎ 根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角。‎ ‎11．【答案】龙梅走的路程：×4×60=120（米），‎ 玉荣走的路程：×4×60=160（米），‎ ‎∵1202+1602=2002，‎ ‎∴她们走的方向成直角，‎ 以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（+）=200÷ = =171（秒）；‎ 答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171秒后能相遇．‎ ‎12．【答案】BM=8×2=16海里，‎ BP=15×2=30海里，‎ 在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，‎ BM2+BP2=PM2，‎ ‎∴∠MBP=90°，‎ ‎180°-90°-60°=30°，‎ 故乙船沿南偏东30°方向航行。‎