八年级上数学课件八年级上册数学课件《全等三角形》 人教新课标 (8)_人教新课标 28页

知识回顾---全等三角形 1、定义--- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、性质--- 全等三角形的对应边、对应角相等。 3、一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生了变化， 但是它的形状和大小并没有改变。即：平移、翻折、 旋转前后的两个图形全等。 寻找对应元素的规律： 知识回顾---全等三角形 1、有公共边的，公共边是对应边； 2、有公共角的，公共角是对应角； 3、有对顶角的，对顶角是对应角； 4、两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对 应边； 5、两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对 应角； 知识回顾---SSS 1、三边对应相等的两个三角形全等.---SSS 2、数学语言表达： B A C D E F 在△ABC与△DEF中 AB=DE AC=DF BC=EF ∴△ABC≌ △DEF（SSS） 牛刀小试 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， 求证：△AEB ≌ △ ADC。 C A B DE 证明：∵BD=CE ∴ BD-ED=CE-ED， 即BE=CD。 在AEB和ADC中， AB=AC AE=AD BE=CD ∴ △AEB ≌ △ ADC (sss) 知识回顾---SAS 1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等---SAS 2、数学语言表达： A C′ B′ ′ A C B 证明:在△ABC与△A B C 中′ ′ ′ AB=A B ∠A=∠A AC=A C ′′ ′ ′′ ∴△ABC≌ △ABC（SAS） 牛刀小试 如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能 判断BC=AD吗？说明理由。 A B C D 证明: 在△ABC与△BAD中 AC=BD ∠CAB=∠DBA AB=BA ∴△ABC≌△DEF（SAS） 知识回顾---ASA 1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等---ASA 2、数学语言表达： ∠A=∠D （已知 ） AB=DE（已知 ） ∠B=∠E（已知 ） 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌ △DEF（ASA） A B C D E F 牛刀小试 如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 交于点O，AB = AC，∠B = ∠C. 求证：BD = CE A B C D E O 证明 ：在△ADC和△AEB中 ∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ADC≌ △AEB（ASA） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC（已知） ∴AB-AD=AC-AE即BD=CE（等式性质） 知识回顾---AAS 1、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 全等---AAS 2、数学语言表达 ∠A=∠D （已知） ∠B=∠E（已知 ） BC=EF（已知 ） 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌ △DEF（AAS） A B C D E F 牛刀小试 已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D 求证：AC=AD C A D B 1 2 证明：在△ABD和△ABC中 ∠1=∠2 （已知） ∠D=∠C（已知） AB=AB（公共边） ∴△ABD≌ △ABC （AAS） ∴AC=AD （全等三角形对应 边相等） 知识回顾---HL 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等---HL 2、数学语言表达： ∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△ 中CBA  AB= BA  BC= CB  ∴Rt△ABC≌ (HL)C ′B ′A ′Rt △ A B C A ′ B′ C ′ 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC, 求证： BD=AC. A B D C证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中    A B B A B C A D ∴ Rt△ABC≌ Rt△BAD (HL) ∴BD=AC 牛刀小试 知识总结： 一般三角形 全等的条件： 1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件：HL. 包括直角三角形 不包括其它形 状的三角形 解题中 常用的4 种方法 方法总结---证明两个三角形全等的基本思路 1、已知两边 找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) 2、已知一边一角 已知一边和它的邻角 找是否有直角 (HL) 已知一边和它的对角 找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边 (HL) 3、已知两角 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 16 一、挖掘“隐含条件”判全等 1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则 △ABC≌△DCB吗?说说理由 A D B C 图（1） 2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与 BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若 ∠B=20°,CD=5cm，则 ∠C= ,BE= .说说理由. B C O D E A 图（2） 3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD， ∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= . 说说理由. A D B C O 图（3） 20° 5cm 3cm 学习提示：公共边，公共角， 对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！ 17 4、如图，已知AD平分∠BAC， 要使△ABD≌ △ACD， • 根据“SAS”需要添加条件 ； • 根据“ASA”需要添加条 件 ； • 根据“AAS”需要添加条 件 ； A B C D AB=AC ∠BDA=∠CDA ∠B=∠C 友情提示：添加条件的题目.首先要 找到已具备的条件,这些条件有些是 题目已知条件 ,有些是图中隐含条件. 二.添条件判全等 18 三、熟练转化“间接条件” 判全等 5如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， △AFD与△ CEB全等吗？为什么？ A D B C F E 7.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己 做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量， 就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予 说明。 6.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？ 为什么？ AC E B D 19 5.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， △AFD与△ CEB全等吗？为什么？ 解：∵AE=CF(已知) A D B C F E ∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等) 即AF=CE 在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌ △CEB ∠AFD=∠CEB(已知) DF=BE(已知) AF=CE(已证) (SAS) 20 6.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ AC E B D 解：∵ ∠CAE=∠BAD(已知) ∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE (等量减等量，差相等) 即∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌ △ADE ∠BAC=∠DAE(已证) AC=AE(已知) ∠B=∠D(已知) (AAS) 21 7.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同 学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC， 不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用 所学的知识给予说明。 解: 连接AC ∴△ADC≌ △ABC(SSS) ∴ ∠ABC=∠ADC (全等三角形的对应角相等) 在△ABC和△ADC中， BC=DC(已知) AC=AC(公共边) AB=AD(已知) 方法总结 证明两个三角形全等的基本思路： （1）：已知两边 找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) (2):已知一边一角 已知一边和它的邻角 找是否有直角 (HL) 已知一边和它的对角 找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边 (HL) (3):已知两角 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 23 8 . 测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物 树木Ａ，视线 ＡＢ与河岸垂直，然后该人沿河岸 步行１０步（每步约0.75M）到O处，进行标记， 再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20 步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则 河的宽度为 米。15 A B O D C 实际应用 24 8 8 120'20' 40' 40' F E D C B A 9.如图, ΔABC与ΔDEF是否全等?为什么? 已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直 线上求证：BE=AD E D C A B 变式：以上条件不变，将 △ABC绕点C旋转一定角度， 以上的结论海成立吗？ 证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA 在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌ △BCE (SAS) ∴ BE=AD 拓展延伸 课堂总结 学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角” 交流平台 本节课你还有不理解的地方吗？ 祝同学们学习进步 再 见