八年级上数学课件- 13-1-1 等腰三角形 课件（共22张PPT）_人教新课标 22页

13.3.1 等腰三角形 1 u经历探究、发现等腰三角形性质的过程 2 课题导入 灵活运用 u理解并掌握等腰三角形的性质 u能运用等腰三角形的性质解决问题 u能体会运用过程中的化归思想和方程思想 u等腰三角形的性质的灵活运用 3 u等腰三角形性质的探究与推导 4 课堂小结探索论证 问题情境 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上， 从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板 底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 等腰三角形 你知道什么样的三角形是等腰三角形吗? 温故知新 A B C 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边 , 底边与腰的夹角叫做底角. 两腰所夹的角叫做顶角, 腰 腰 底边 顶角 底角 回顾 温故知新 在△ ABC中，AB =AC，则△ ABC是等腰三角形 并剪去绿色部分 ，再把它展开, 得到的△ABC有什么特点? A B C AB=AC 等腰三角形 实践操作 请同学们把准备好的长方形纸片按图中虚线对折， 刚才剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ A B C D 通过观察，请找出其中重合的线段和角， 填入下表： 重合的线段 重合的角 AB = AC BD = CD AD = AD ∠B =∠C ∠ADB =∠ADC ∠BAD =∠CAD 观察猜想 等腰△ABC是轴对称图形 等腰△ABC还有哪些性质？ 相等的角: ① ∠B = ∠C ② ∠BAD =∠CAD ③ ∠ADC =∠ADB=900 相等的边： ④ BD = CD → 两个底角相等 → AD为顶角∠BAC的平分线 → AD为底边BC 上的高 → AD为底边BC 上的中线 等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（可简记为“三线合一”） 通过刚才的操作与观察，我们得出以下结论： 等腰三角形的两个底角相等 已知：△ABC中，AB=AC 求证：B=C ，△ ABC的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合. 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？ 推理与论证 A B CD 等腰三角形的“三线合一” 证明：作顶角∠ BAD的平分线AD，则有∠1＝∠2 AB=AC ∠ 1= ∠ 2 AD=AD ∴△BAD ≌ △CAD (SAS) ∴∠ B = ∠C ，BD=CD, ∠ BDA = ∠CDA=90 ° 已知： △ ABC中，AB =AC. 求证： ∠B = ∠C，△ ABC的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合. A B C 1 2 作顶角的平分线 D 在△BAD和△CAD中， 证明： 作底边BC上的中线AD，则BD=CD AB=AC BD=CD AD=AD ∴△BAD ≌ △CAD (SSS) ∴∠ B= ∠C, ∠ BAD = ∠CAD, ∠ BDA = ∠CDA=90 ° A B CD 作底边上的中线 在△BAD和△CAD中， 已知： △ ABC中，AB =AC. 求证： ∠B = ∠C，△ ABC的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合. 证明： 作底边BC上的高线AD，则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º AB=AC AD=AD ∴Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL) ∴ ∠ B = ∠C, ∠ BAD = ∠CAD, BD=CD A B CD 作底边上的高线 在Rt△BAD和Rt△CAD中 已知： △ ABC中，AB =AC. 求证： ∠B = ∠C，△ ABC的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合. 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 　 性质1 (等边对等角) A B C 数学符号语言 在△ABC中 ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C 　 性质2 A B C 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合 （等腰三角形的“三线合一”） D 等腰三角形的性质 数学符号语言 在△ABC中， (1)∵AB=AC ， AD⊥BC ∴∠ =∠ ， = ； (2)∵AB=AC ， BD=CD ∴ ⊥ ， ∠ =∠ ； (3)∵ AB=AC ， ∠BAD=∠CAD ∴ ⊥ ， = . A B CD BAD CAD BD CD BAD CAD AD BC AD BC BD CD 知一线得二线 “三线合一”可以帮助我 们解决线段的垂直、相等 以及角的相等问题. 等腰三角形的“三线合一” 性质2 D 如图，作△ABC 底边上的中线AD D D 如图，作顶角 的平分线AD A B C A B C A B C 等腰三角形常见辅助线 △ ABC中，AB=AC 归纳小结 如图，作△ABC 底边上的高AD 　　 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上， 从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板 底边中点，就说房梁是水平的，你现在知道为什么吗? 解决问题 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 1、图中有哪几个等腰三角形？ A B C D △ABC ， △ABD ，△BDC 2、有哪些相等的角？ ∠ABC=∠ACB=∠BDC ， ∠ A=∠ABD 3、这两组相等的角之间还有什么关系？ ∠BDC=2∠ A ∠ABC+ ∠ACB+ ∠A=180 ° 例题讲解 1. 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 解：∵AB = AC，BD = BC= AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD （等边对等角) 设∠A=x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得x=36° 在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72° 例题讲解 则∠BDC =∠A+∠ABD =2x, 从而∠ABC = ∠C = ∠BDC =2x, 1、等腰三角形一个底角为80°,它的顶角为______ 2、等腰三角形一个角为80°,它的另外两个角为 __________________ 3、等腰三角形一个外角为110°,它的顶角为__________ 20° 80 °, 20°或50 °, 50° 随堂演练 70 ° 或40° 4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的 垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠AED＝( ) A．80° B．60° C．50° D．40° C 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线, ∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB于F. (1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数 (2)求证：EF＝ED 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB ∴ EF＝ED (1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线 ∴∠BAD＝∠CAD=25 ° ∴∠BAC＝2∠BAD＝50° ∵AB＝AC ∴∠C＝∠ABC ＝ (180°－∠ BAC ) ÷2 ＝ (180°－ 50°) ÷2 ＝65° (2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线 ∴ED⊥BC （1）等腰三角形是轴对称图形 （2）等腰三角形的两个底角相等 （简称 “等边对等角”） （3）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 2、本节课学习了数学思想方法: 分类讨论、方程思想、转化思想. 1、本节课主要教学内容是等腰三角形的性质: