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  • 2021-10-27 发布

人教版八年级数学上册第十三章13.3等腰三角形

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第十三章 轴对称 13.3等腰三角形 第4课时 1.探索含30°角的直角三角形的性质.(重点) 2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算.(难点) 学习目标 导入新课 问题引入 问题1 如图,将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起, 你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之 间的数量关系吗? 分离 拼接 A CB 问题2 将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折, 如图所示,你有什么发现? 讲授新课 u性质: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么 它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图,△ADC是△ABC的轴对称图形, 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°, 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB.1 2 你还能用其他方 法证明吗? 含30°角的直角三角形的性质 证法1 证明:在△ABC 中,∵ ∠C =90°,∠A =30°, ∴ ∠B =60°. 延长BC 到D,使BD =AB,连接AD, 则△ABD 是等边三角形. 又∵AC⊥BD, A B C D 证明方法: 倍长法 已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°. 求证:BC = AB.2 1 ∴BC = BD.   1 2 ∴BC = AB.   1 2 E A B C 证明2: 在BA上截取BE=BC,连接EC. ∵ ∠B= 60° ,BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形, ∴ ∠BEC= 60°,BE=EC. ∵ ∠A= 30°, ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC, ∴ AE=BE=BC, ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴ BC = AB.   1 2 证明方法: 截半法 知识要点 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半. u应用格式: ∵ 在Rt△ABC 中,   ∠C =90°,∠A =30°,   A B C ∴ BC = AB.   1 2 √ 判断下列说法是否正确: 1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边 的一半. 2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍. 例1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°, CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是(  ) A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 典例精析 注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要 分清线段所在的直角三角形. D 解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC= 90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm, 在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D. 例2 如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于 C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(  ) A.3 B.2 C.1.5 D.1 解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP= ∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP= ∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP, PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C. E C 方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构 造含30°角的直角三角形. 例3 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC 的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平 分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由. 解: 1 . 2 CD DB 理由如下:∵DE⊥AB, ∴∠AED=∠BED=90°. ∵DE是∠ADB的平分线, ∴∠ADE=∠BDE. 又∵DE=DE, ∴△AED≌△BED(ASA), 在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°, ∴AD=BD,∠DAE=∠B. ∵∠BAD=∠CAD= ∠BAC,1 2 ∴∠BAD=∠CAD=∠B. ∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°, ∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°. ∴CD= AD= BD,即CD= DB. 1 2 1 2 1 2 方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线 段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时,要联想此性质. 想一想: 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边? 它们所对的锐角分别是多少度? 例4 如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的 中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm, ∠A =30°,立柱BC、DE 要多长? A B C D E A B C D E 解:∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °, ∴BC= AB, DE= AD.1 2 1 2 ∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).1 2 1 2 又AD= AB,1 2 ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).1 2 1 2 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m. 例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上 的高. A CB D 15 ° 15 ° 20 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°, ) ) 1 2 1 2∴CD= AC= ×20=10. 方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构 造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作 高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30° 角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题. 当堂练习 1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下 部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( ) A.6米 B.9米 C.12米 D.15米 2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种 植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售 价a元,则购买这种草皮至少需要( ) A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元 B B 4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .5 5.如图,Rt△ABC中,∠A= 30°,AB+BC=12cm,则AB=___. AC B 8 3.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是高,∠A =30°, AB =4.则BD = . A B C D 1 第3题图 第5题图 6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的 垂直平分线,BE=5,则求AC的长. 解:连接AE, ∵DE是AB的垂直平分线, ∴BE=AE, ∴∠EAB=∠B=15°, ∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°. ∵∠C=90°, ∴AC= AE= BE=2.5.1 2 1 2 7.在 △ABC中 ,AB=AC,∠BAC=120° ,D是 BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:BE=3EA. 证明:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点,∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°, ∴∠ADE=30°,∴AD=2AE. ∴AB=4AE,∴BE=3AE. 8.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为 BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P, BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ. 拓展提升 ∴△ADC≌△BEA. 证明:∵△ABC为等边三角形, ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°, ∵CD=AE, ∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°, ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD, ∴BP=2PQ. ∴∠PBQ=30°, ∴∠BQP=90°, 课堂小结 内 容 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半 使 用 要 点 含30° 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质 找准30 °的角所对的直角边,点明斜边 注 意 前提条件:直角三角形中