- 614.63 KB
- 2021-10-27 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第十三章
轴对称
13.3等腰三角形
第4课时
1.探索含30°角的直角三角形的性质.(重点)
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的
证明和计算.(难点)
学习目标
导入新课 问题引入
问题1 如图,将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起,
你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之
间的数量关系吗?
分离 拼接
A
CB
问题2 将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折,
如图所示,你有什么发现?
讲授新课
u性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B C D
如图,△ADC是△ABC的轴对称图形,
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°,
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.1
2
你还能用其他方
法证明吗?
含30°角的直角三角形的性质
证法1
证明:在△ABC 中,∵ ∠C =90°,∠A
=30°, ∴ ∠B =60°.
延长BC 到D,使BD =AB,连接AD,
则△ABD 是等边三角形.
又∵AC⊥BD,
A
B C D
证明方法:
倍长法
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°.
求证:BC = AB.2
1
∴BC = BD.
1
2
∴BC = AB.
1
2
E
A
B C
证明2: 在BA上截取BE=BC,连接EC.
∵ ∠B= 60° ,BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形,
∴ ∠BEC= 60°,BE=EC.
∵ ∠A= 30°,
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC,
∴ AE=BE=BC,
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = AB.
1
2
证明方法:
截半法
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那
么它所对的直角边等于斜边的一半.
u应用格式:
∵ 在Rt△ABC 中,
∠C =90°,∠A =30°,
A
B C
∴ BC = AB.
1
2
√
判断下列说法是否正确:
1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边
的一半.
2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.
例1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是( )
A.3cm B.6cm
C.9cm D.12cm
典例精析
注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要
分清线段所在的直角三角形.
D
解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=
90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm,
在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
例2 如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于
C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于( )
A.3 B.2
C.1.5 D.1
解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=
∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=
∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP,
PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.
E
C
方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂
直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构
造含30°角的直角三角形.
例3 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC
的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平
分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由.
解:
1 .
2
CD DB
理由如下:∵DE⊥AB,
∴∠AED=∠BED=90°.
∵DE是∠ADB的平分线,
∴∠ADE=∠BDE.
又∵DE=DE,
∴△AED≌△BED(ASA),
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,
∴AD=BD,∠DAE=∠B.
∵∠BAD=∠CAD= ∠BAC,1
2
∴∠BAD=∠CAD=∠B.
∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,
∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.
∴CD= AD= BD,即CD= DB.
1
2
1
2
1
2
方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线
段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探
究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
想一想: 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边?
它们所对的锐角分别是多少度?
例4 如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的
中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm,
∠A =30°,立柱BC、DE 要多长?
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解:∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °,
∴BC= AB, DE= AD.1
2
1
2
∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).1
2
1
2
又AD= AB,1
2
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).1
2
1
2
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上
的高.
A
CB
D
15 ° 15 °
20
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°,
) )
1
2
1
2∴CD= AC= ×20=10.
方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构
造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作
高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°
角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
当堂练习
1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下
部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( )
A.6米 B.9米
C.12米 D.15米
2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种
植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售
价a元,则购买这种草皮至少需要( )
A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
B
B
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .5
5.如图,Rt△ABC中,∠A= 30°,AB+BC=12cm,则AB=___.
AC
B
8
3.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是高,∠A =30°,
AB =4.则BD = .
A
B
C
D
1
第3题图
第5题图
6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的
垂直平分线,BE=5,则求AC的长.
解:连接AE,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴BE=AE,
∴∠EAB=∠B=15°,
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°.
∵∠C=90°,
∴AC= AE= BE=2.5.1
2
1
2
7.在 △ABC中 ,AB=AC,∠BAC=120° ,D是
BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:BE=3EA.
证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点,∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,
∴∠ADE=30°,∴AD=2AE.
∴AB=4AE,∴BE=3AE.
8.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为
BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,
BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
拓展提升
∴△ADC≌△BEA.
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°,
∵CD=AE,
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°,
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD,
∴BP=2PQ.
∴∠PBQ=30°,
∴∠BQP=90°,
课堂小结
内 容
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半
使 用
要 点
含30°
角
的
直
角
三
角
形
的
性
质
找准30 °的角所对的直角边,点明斜边
注 意 前提条件:直角三角形中
相关文档
- 八年级数学上册第1章分式1-1分式第2021-10-2723页
- 八年级数学上册第十四章整式的乘法2021-10-2714页
- 八年级数学上册第七章平行线的证明2021-10-2713页
- 八年级数学上册第五章二元一次方程2021-10-2722页
- 八年级数学上册第十一章《三角形》2021-10-2717页
- 2020年秋人教版八年级数学上册第152021-10-2719页
- 八年级数学上册第二章实数2-2平方2021-10-2728页
- 八年级数学上册第一章勾股定理说课2021-10-272页
- 八年级数学上册第二章实数2-2平方2021-10-275页
- 八年级数学上册13-3等腰三角形13-32021-10-2724页