精品人教版八年级数学上册第十三章13.1轴对称 88页

第十三章 轴对称 13.1轴对称 第1课时 1.通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形. 2.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.（重点） 3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的 区别与联系，探索轴对称现象共同特征.（重点、难 点） 学习目标 导入新课 情境引入 它们有什么共同的特点？ 讲授新课 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这 条直线就是它的对称轴. 轴对称 图形 对称轴 a m 轴对称和轴对称图形 做一做 下列哪些是属于轴对称图形？ 你能举出一些轴对称图形的例子吗？ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的 字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出 它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称 图形，那么，你只需坐在座位上报就可以了.其他同学认真听， 如果报错了，及时提醒. 全班总动员 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 做一做：找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个 图形的对称轴最多. 想一想：下面的每对图形有什么共同特点？ A′A B C B′ C′对称轴 对称轴 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是 它的对称轴. 例 下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？ B DC A 典例精析 知识要点 比较归纳 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 联系 一个图形具有 的特殊形状 两个全等图形的特 殊的位置关系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化. 这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？ 观察与思考 1.动画（1）中的两个三角形有什么关系？ 2.动画（2）中的三角形是个什么图形？ （1） （2） 轴对称的性质 思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， 点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′， BB′，CC′与直线MN有什么关系？ A B C A′ B′ C′ N M AA′⊥MN， BB′⊥MN， CC′⊥MN. 如图，MN⊥AA′， AP=A′P. 直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识要点 u线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条 线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线. 图形轴对称的性质 一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？ 请你自己找一些轴对称图形来检验吧！ 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对 对称点所连线段的垂直平分线. 知识要点 轴对称图形的性质 A B A ′ B ′ M N 如图，MN垂直平分AA ′, MN垂直平分BB ′. 例1 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的 四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°， 则∠BCD的度数是(　　) A．130° B．150° C．40° D．65° 典例精析 方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度 时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度 数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解. A 例2 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中 阴影部分的面积为(　　) A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于 正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm， ∴S阴影＝42÷2＝8(cm2).故选B. B 方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中 求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对 称变换，将其转换为规则图形后再进行计算. 当堂练习 1.观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形？ √ √ √ √ √ √ √ 2.找出下面每个轴对称图形的对称轴. 3.找出下文中成轴对称的文字： 一； 三； 个； 八； 十； 来； 苦； 天； 中. 一叶孤舟，坐着两三个骚客，启用四桨五帆， 经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟.十 年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五 经四书，考了三番两次，今天一定要中. 4.如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以 下结论中错误的是（　　） A．AB∥DF B．∠B=∠E C．AB=DE D．AD的连线被MN垂直平分 A 5.如图，Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=50°，将其折叠，使 点A落在边CB上A′处，折痕为 CD，则∠A′DB的度数为_______.10° 6.（1）整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？ （2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？ （3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？ 拓展提升： 8.如图，O为△ABC内部一点，OB＝ 3 ，P、R为O 分别以直线AB、BC为对称轴的对称点． (1)请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长 度等于6？并完整说明PR的长度为何在此时等于 6的理由． 解：如图，∠ABC＝90°时，PR＝6. 证明如下：连接PB、RB， ∵P、R为O分别以直线AB、BC为 对称轴的对称点， ∴PB＝OB＝3，RB＝OB＝3. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBR＝ ∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°， ∴∠PBR＝180°，即P、B、R三点共线， ∴PR＝PB+RB＝3+3=6； (2)承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角 度时，PR的长度小于6还是大于6？并完整说 明你判断的理由． 解：PR的长度小于6，理由如下： ∠ABC≠90°，则点P、B、R三点不在 同一直线上，∴PB＋BR＞PR. ∵PB＋BR＝2OB＝2×3＝6， ∴PR＜6. 课堂小结 轴对称 轴 对 称 轴对称 图 形 定义 性质 定 义 性质 轴 对 称 与 轴对称图形 联 系 区别 线段的垂直平分线 第十三章 轴对称 13.1轴对称 第2课时 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． (重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际 问题．（难点） 学习目标 导入新课 问题引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、 B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于 何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 讲授新课 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请 你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发 现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的 数量关系． A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 线段垂直平分线的性质 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂 直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周 长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 典例精析 C 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋ CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝ 35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段 之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线， 点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB 于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长 是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. A B C D E K 已知：直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法：（1）任意取一点K，使点K和 点C在AB的两旁. （2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧， 交AB于点D和点E. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. （3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为 半径作弧，两弧相交于点F. 1 2 F （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 2 DE（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ 想一想： 例3 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线 交于P.求证：PA=PB=PC. B A C M N M' N' P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的 垂直平分线上 解析： 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB. 同理 PB=PC. ∴PA=PB=PC. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定购物 中心的位置，使得它到三个 小区的距离相等吗？ 例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD 的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的 延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝ ∠ECF，再根据E是CD的中点可得出 △ADE≌△FCE，根据全等三角形的性 质即可解答． (2)先根据线段垂直平分线的性质得出 出AB＝BF，再结合（1）即可解答． 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF. ∵E是CD的中点，∴DE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE， ∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF. ∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB＝BF＝BC＋CF. ∵AD＝CF， ∴AB＝BC＋AD. 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂 直平分线上呢？ P A B 合作探究 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直 平分线上． 线段垂直平分线的判定 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A BC 知识要点 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上． u应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 　这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　与A，B 的距离相等 的点都在直线l上，所以 直线l 可以看成与A、B 两点 的距离相等的所有 点的集合. P A BC l u应用格式： ∵　AB =AC，MB =MC， ∴　直线AM 是线段BC 的垂直 平分线． A B C D M 这是判断一条直 线是线段的垂直 平分线的方法. 例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE. ∴ OE是CD的垂直平分线. 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. 例6 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交 于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确 定购物中心的位置， 使得它到三个小区的 距离相等吗？ 当堂练习 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的 是（　　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC, 则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 4.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA ＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）.① ② ③ 3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB， EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共 有　　　　种.无数 5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交 AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长 是 cm. A B C D E 16 6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O，∴ AO=BO. 7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系． 解：AD垂直平分EF. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°. 又∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF， ∴AE＝AF，DE＝DF. ∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直 平分线段EF. A B CD E F 8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂 足为点O. (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明 它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得 出相等的线段； (2)由条件可证明△AOC≌△AOD， 可得AO平分∠DAC，根据角平分线 的性质可得OE＝OF. 拓展提升： 解：(1)∵AB、CD互相垂直平分， ∴OC＝OD，AO＝OB， 且AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下： 在△AOC和△AOD中， ∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD， ∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵OE⊥AC，OF⊥AD， ∴OE＝OF. 课堂小结 线段的 垂直平 分的性 质和判 定 性 质 到线段的两个端点距离相等 的点在线段的垂直平分线上 内 容 判 定 内 容 作 用 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等 作 用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂 直平分线上 第十三章 轴对称 13.1轴对称 第3课时 1．能用尺规作已知线段的垂直平分线．(难点） 2．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理 解作图的依据． 3．能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问 题．（重点） 学习目标 导入新课 情境引入 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边 增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一 样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 讲授新课 互动探究 问题1：有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的， 如何验证呢？ A B C A ′ B ′ C ′ 通过折叠，如果这 （两）个图形能够 互相重合，则这 （两）个图形是轴 对称的. 问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对 称轴吗？ 线段垂直平分线的画法 尺规作图 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能 作出这条直线吗？ A B 分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂 直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作 出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直 平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线. A B C D 作法：（1）分别以点A，B为圆心， 以大于 AB的长为半径作 弧，两弧交于C，D两点. 1 2 （2）作直线CD. CD即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图， 我们也可以用这种方法确定线段的中点. 引例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要 满足到两个小区的路程一样 长，应在线段AB的垂直平 分线上，又要在公路边上， 所以找到AB垂直平分线与 公路的交点便是. 公共汽车站 例1 如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝ PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证： ∠MAP＝∠NPB. M N A B l 典例精析 解：(1)如图所示： (2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB. M N A B l P 例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图 中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修 建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同， 到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建 在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹) O N M A B O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上， 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： P 想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些 对称轴呢？ A B 作法：（1）找出五角星的一对 对称点A和B，连接AB． （2）作出线段AB的垂直平分线 l．则l就是这个五角星的一条对 称轴． l 用同样的方法，可以找出五条对 称轴，所以五角星有五条对称 轴． 作轴对称图形的对称轴 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称 点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图 形的对称轴. 例3 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无 刻度的直尺作出它们的对称轴. A B C A ′ B ′ C ′ l 方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线） 相交，那么交点必定在对称轴上. 解：延长BC、B'C'交于点P， 延长AC，A'C'交于点Q，连接 PQ，则直线PQ即为所要求作 的直线l. P Q 练一练：作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一 下，你们作出的对称轴一样吗？ 1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大 于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E， 则直线DE是（　　） A．∠A的平分线 B．AC边的中线 C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线 1 2 D 当堂练习 2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC， 现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB， 对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、 E即为所求； 乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、 E两点即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 D 3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的 对称轴． A B C D 4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？ 角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的 对称轴. 5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所 希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请 你确定学校的位置. B C 学校在连接任意两点的两条 线段的垂直平分线的交点处. A 6.如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4 个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在 如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组 成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴． 拓展提升： 课堂小结 线段的垂直 平分线的 有关作图 尺 规 作 图 作对称轴的 常 见 方 法 属于基本作图之一，必须熟熟练掌握 (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连 线的中点，然后作垂线