八年级数学上册第十三章轴对称13-3等腰三角形13-3-2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定作业课件新版 人教版 19页

第十三章　轴对称 13．3　等腰三角形 13.3.2　等边三角形 第 1 课时　等边三角形的性质和判定 1 ．等边三角形的两条高线相交所成的钝角的度数是 ( ) A ． 105° B ． 120° C ． 135° D ． 150° 2 ． ( 福建中考 ) 如图，等边三角形 ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， 点 E 在线段 AD 上，∠ EBC ＝ 45° ，则∠ ACE 等于 ( ) A ． 15° B ． 30° C ． 45° D ． 60° B A 3 ． (2019 · 镇江 ) 如图，直线 a ∥ b ，△ ABC 的顶点 C 在直线 b 上， 边 AB 与直线 b 相交于点 D . 若△ BCD 是等边三角形，∠ A ＝ 20° ， 则∠ 1 ＝ ____°. 4 ．如图，已知 P ， Q 是△ ABC 的 BC 边上的两点， BP ＝ PQ ＝ QC ＝ AP ＝ AQ ，则∠ BAC 的度数为 ______. 40 120° 5 ．如图，在等边△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 BC ， AB 上， 且 BD ＝ AE ， AD 与 CE 交于点 F . (1) 求证： AD ＝ CE ； (2) 求∠ DFC 的度数． 解： (1)∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ BAC ， 又∵ BD ＝ AE ，∴△ ABD ≌△ CAE (SAS) ，∴ AD ＝ CE 　 (2)∵△ ABD ≌△ CAE ，∴∠ BAD ＝∠ ACE ， ∴∠ DFC ＝∠ FAC ＋∠ ACF ＝∠ FAC ＋∠ BAD ＝∠ BAC ＝ 60° 6 ．下列三角形： ① 有两个角等于 60 ° ； ② 有一个角等于 60 ° 的等腰三角形； ③ 三个外角 ( 每个顶点处各取一个外角 ) 都相等的三角形； ④ 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有 ( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④ D 7 ．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D ， E ， F 为各边中点， 则图中等边三角形的个数是 ( ) A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 D 8 ．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作， 小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢， 然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆 OA ＝ OB ＝ 18 cm ， 若衣架收拢时，∠ AOB ＝ 60° ，如图②， 则此时 A ， B 两点之间的距离是 ___ cm. 18 9 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 120° ， CD 平分∠ ACB ， AE ∥ DC ， 交 BC 的延长线于点 E ，试说明△ ACE 是等边三角形． 10 ．已知∠ AOB ＝ 30° ，点 P 在∠ AOB 内部， P 1 与 P 关于 OB 对称， P 2 与 P 关于 OA 对称，则 P 1 ， O ， P 2 三点所构成的三角形是 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 11 ． ( 玉林中考 ) 如图，∠ AOB ＝ 60° ， OA ＝ OB ，动点 C 从点 O 出发， 沿射线 OB 方向移动，以 AC 为边在右侧作等边△ ACD ，连接 BD ， 则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．平行、相交或垂直 D A 12 ．如图，△ ABC 为等边三角形， AD 平分∠ BAC ， △ ADE 是等边三角形，下列结论： ① AD ⊥ BC ；② EF ＝ FD ；③ BE ＝ BD ；④∠ ABE ＝ 60°. 其中正确的有 ___________ ． ( 填序号 ) ①②③④ 13 ．如图，△ ABC 是等边三角形， D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边 三角形 CDE ，使点 E ， A 在直线 DC 的同侧，连接 AE . 求证： AE ∥ BC . 解：∵△ ABC 和△ EDC 是等边三角形，∴∠ BCA ＝∠ DCE ＝ 60° ， ∴∠ BCD ＝∠ ACE . 在△ DBC 和△ EAC 中， BC ＝ AC ，∠ BCD ＝∠ ACE ， DC ＝ EC ，∴△ DBC ≌△ EAC (SAS) ，∴∠ DBC ＝∠ EAC ， 又∵∠ DBC ＝∠ ACB ＝ 60° ，∴∠ ACB ＝∠ EAC ，∴ AE ∥ BC 14 ．如图， △ ABC 和 △ BDE 均为等边三角形，点 E 在线段 AD 上， 求证： BD ＋ CD ＝ AD . 解：证 △ ABE ≌△ CBD (SAS) ， ∴ AE ＝ CD ， 又 ∵ BD ＝ ED ， ∴ AD ＝ AE ＋ ED ＝ BD ＋ CD 15 ．如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是△ ABC 的角平分线， E 是 AC 延长线上一点，且 CE ＝ CD ， AD ＝ DE . (1) 求证：△ ABC 是等边三角形； (2) 如果把 AD 改为△ ABC 的中线或高 ( 其他条件不变 ) ， 请判断 (1) 中结论是否依然成立？ ( 不要求证明 ) 解： (1) ∵ CE ＝ CD ， ∴∠ E ＝ ∠ CDE ， ∴∠ ACB ＝ 2 ∠ E . 又 ∵ AD ＝ DE ， ∴∠ E ＝ ∠ DAC . ∵ AD 是 △ ABC 的角平分线， ∴∠ BAC ＝ 2 ∠ DAC ＝ 2 ∠ E ， ∴∠ ACB ＝ ∠ BAC ， ∴ BA ＝ BC ，又 ∵ AB ＝ AC ， ∴ AB ＝ BC ＝ AC ， ∴△ ABC 是等边三角形　 (2) 当 AD 为 △ ABC 的中线或高时，结论依然成立 16 ．如图，△ ABC 是边长为 3 的等边三角形，△ BDC 是等腰三角形， 且∠ BDC ＝ 120°. 以点 D 为顶点作一个 60° 角， 使其两边分别交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，连接 MN . (1) 求证： MN ＝ BM ＋ NC ； (2) 求△ AMN 的周长． 解： (1)∵△ BDC 是等腰三角形，且∠ BDC ＝ 120° ，∴∠ BCD ＝∠ DBC ＝ 30°.∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC ＝∠ BCA ＝ 60° ，∴∠ DBA ＝∠ DCA ＝ 90° ，延长 AB 至 F ，使 BF ＝ CN ，连接 DF ，由 SAS 可证△ BDF ≌△ CDN ，∴∠ BDF ＝∠ CDN ， DF ＝ DN ，∵∠ MDN ＝ 60° ，∴∠ FDM ＝∠ BDM ＋∠ CDN ＝ 60° ，由 SAS 可证△ DMN ≌△ DMF ，∴ MN ＝ MF ＝ MB ＋ BF ＝ MB ＋ CN 　 (2) 由 (1) 知 MN ＝ MB ＋ CN ，∴△ AMN 的周长为 AM ＋ AN ＋ MN ＝ AM ＋ MB ＋ AN ＋ CN ＝ AB ＋ AC ＝ 6