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- 2021-11-01 发布
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第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线(1)
1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定
理;
2.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展自己
的推理证明意识和能力.
用心想一想
如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边
建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建
在什么位置?
A
B
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗?
已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C,
且AC=BC, P是MN上任意一点.
求证: PA=PB. A C B
P
M
N
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
分析:要想证明PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在
的三角形是否全等. 也就是想办法证明△APC≌ △BPC.
而△APC≌ △BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可
推知其能满足三角形全等公理(SAS). 故结论可证.
你能写出它的证明过程吗?
证明:∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌ △BPC(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
A C B
P
M
N
如果点P与
点C重合,
那么结论显
然成立.
几何语言描述
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A C B
P
M
N
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点距离相等).
深入思考:你能写出“定理 线段垂直
平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”
的逆命题吗?
逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗? 如果是, 请你证明它.
思
考
分
析
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以
先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另
一个结论正确.
A B
P
试一试:你能自己写出这两个证明过程吗?
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
方法一:
过点P作PC⊥AB,垂足为C
∵PC⊥AB
∴△APC和△BPC都是Rt△
∵PC=PC,PA=PB
∴Rt△APC≌ Rt△BPC (HL)
∴AC=BC (全等三角形的对应边相等)
∴ P在AB的垂直平分线上
A C B
P
方法二:
把线段AB的中点记为C,连接PC
∵C为AB的中点
∴AC=BC
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌ △BPC(SSS)
∴∠PCA=∠PCB=90°
∴PC⊥AB 即P在AB的垂直平分线上
A C B
P
.
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段
的垂直平分线上.
几何语言描述:
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点,在
这条线段的垂直平分线上)
这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的
根据之一.
A B
P
练一练
已知:如图,在 △ABC 中,AB = AC,O 是△ABC
内一点, 且 OB = OC.
求证:直线 AO 垂直平分线段BC.
你还有其他
证明方法吗?
证明:
∵ AB = AC,
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到一条线段两个
端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理,点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条
直线).
1. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,
如果EC=7cm, 那么ED= cm;
如果∠ECD=60 °, 那么∠EDC= ° .
E
D
A B
C
7
60
2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D,
交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长.
B
A
E
D
C
分析提示:这是一道计算题,题目中出现了
线段垂直平分线,你首先应该想到我们刚刚学习
的有关线段垂直平分线的性质,得出相关的结论,
再结合已知的三角形的周长,将两个条件有机结
合,进行转化,得出最后的结果.
试一试:你能独立完成这道题目吗?
解:∵DE为AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长等于50
∴BE+EC+BC=50
即:AE+EC+BC=50
∴AC+BC=50
∵AC=27
∴BC=23
2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D,
交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长.
B
A
E
D
C
3. 已知:如图,AB=AC,BD=CD,P是AD上一点.
求证:PB=PC
P
B
D
C
A
解:∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
线段垂直平分线的定理
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离相等.
线段垂直平分线的逆定理
逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线
段的垂直平分线上.
习题1.7,第1、2题.作 业
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