人教版八年级数学上册第十二章全等三角形角平分线的性质教学课件 23页

第十二章 全等三角形 人教版 八年级数学上册 角平分线的性质 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 导入新课 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还 能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道 理吗? A B C(E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实 现该仪器的功能吗？ A B O 尺规作角平分线一 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法， 并说明作图方法与仪器的关系. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶 点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎 样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图 中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ A B M C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是 最基本的尺规作 图,大家一定要 掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在 ∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 1 2 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点 作这条直线的垂线的方法. AB O C 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长. 将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写 出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点 猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质二 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上， PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可 以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表 示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程. 方法归纳 u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. u应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线， 且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B CD E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上， PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则 PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°， AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP 平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. D 14 PDBC PD PB DB PC PB DB BC DB AD DB AB              （3）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 1 2PDBS  由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离 是 . A B C D3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所 示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M C O A 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C EA D解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. F 1 14 2 2 7, 2 2ABCS AC       方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角 形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是 常用的方法． E D CB A 6 8 10 5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和 △AED的周长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的 点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的 交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 7 .如图所示，D是∠ A C G的平分线上的一点． DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分 线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.      , , DFDE CDCD 