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- 2021-11-01 发布
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复习课件
第十七章 勾股定理
知识框架
勾股定理
直角三角形边
长的数量关系
勾股定理
的逆定理
直角三角
形的判定
互逆定理
要点梳理
1.如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边
为c,那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用
2.勾股定理的应用条件
一、勾股定理
3.勾股定理表达式的常见变形:
a2=c2-b2, b2=c2-a2,
2 2 2 2 2 2, ,c a b a c b b c a
A
BC
c
a
b
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足
a2 +b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.
满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
2.勾股数
3.原命题与逆命题
如果两个命题的题设、结论正好相反,那么把其中
一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题.
A
BC
c
a
b
例1 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
AC=20,BC=15.
(1)求AB的长;
(2)求BD的长.
解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
(2)方法一:∵S△ABC= AC•BC= AB•CD,
∴20×15=25CD,
∴CD=12.
∴在Rt△BCD中,
2 2 2 220 15 25;AB AC BC
1
2
1
2
2 2 2 215 12 9.BD BC CD
考点一 勾股定理及其应用
考点讲练
方法二:设BD=x,则AD=25-x.
2 2 2 2 2 2, ,AC AD CD BC BD CD
2 2 2 2 ,AC AD BC BD
22 2 220 25 15 , 50 =450x x x 即 ,
解得x=9.∴BD=9.
方法总结
对于本题类似的模型,若已知两直角边求斜边上的
高常需结合面积的两种表示法起来考查,若是同本
题(2)中两直角三角形共一边的情况,还可利用勾
股定理列方程求解.
针对训练
1.Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为
( )
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
A
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边
长的正方形的面积为___________.
2.如图,∠C=∠ABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,
则AD的长为______.
13或5
13
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a +b=14cm,
c=10cm,求△ABC的面积.
解:∵a+b=14,
∴(a+b)2=196.
又∵a2+b2=c2=100,
∴2ab=196-(a2+b2)=96,
∴ ab=24.1
2
例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有
趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是
一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生
的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸
边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的
深度和这根芦苇的长度各是多少?
解:如图,设水池的水深AC为x尺,
则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺,
在直角三角形ABC中,BC=5尺
由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1,
2x=24,
∴ x=12, x+1=13.
答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺.
D
BC
A
例3 如图所示,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,
沿长方体的表面爬到对角顶点C1处,问怎样走路线最
短?最短路线长为多少?
解析:蚂蚁由A点沿长方体的表面
爬行到C1点,有三种方式:
①沿ABB1A1和A1 B1C1D1面;②沿ABB1A1和BCC1B1面;
③沿AA1D1D和A1B1C1D1面,把三种方式分别展成平
面图形如下:
解:在Rt△ABC1中, 2 2 2 2 2
1 1 4 3 25AC AB BC ,
1 5.AC
在Rt△ACC1中, 2 2 2 2 2
1 1 6 1 37AC AC CC ,
1 37.AC
在Rt△AB1C1中, 2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 2 29AC AB B C ,
1 29.AC
5 29 37 < < ,
∴沿路径走路径最短,最短路径长为5.
化折为直:长方体中求两点之间的最短距离,展开方
法有多种,一般沿最长棱展开,距离最短.
方法总结
针对训练
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上,它们
的底部在地面的水平距离是3米,则梯子可以到
达建筑物的高度是______米.4
在Rt△ABO中,OA=2米,DC=OB=1.4米,
∴AB2=22-1.42=2.04.
∵4-2.6=1.4,1.42=1.96,
2.04>1.96,
答:卡车可以通过,但要小心.
解:如图,过半圆直径的中点O,作直径的垂线交下
底边于点D,取点C,使CD=1.4米,过C作OD的平
行线交半圆直径于B点,交半圆于A点.
6.如图,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方
是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆
卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家
具的卡车能否通过这个通道?
7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相
距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经
过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
(1)此时快艇航行了多少米(即AB 的长)?
北
东
O
A
B
60°
45°
C
= 500 500 3AB AC BC ( )米.
2 21000 500 500 3( ).OC 米
解:根据题意得∠AOC=30°,
∠COB=45°,AO=1000米.
∴AC=500米,BC=OC.
在Rt△AOC中,由勾股定理得
∴BC=OC= 500 3 ,米
在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距
1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过
若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
(2)距离哨所多少米(即OB的长) ?
北
东
O
A
B
60°
45°
C
2 2
2 2
500 3 500 3
500 6( ).
OB OC OB
米
解:在Rt△BOC中,由勾股定理得
例4 在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b, ,
2c-b=12,求△ABC的面积. 3 4 5
a b c
解:由题意可设a=3k,则b=4k,c=5k,
∵2c-b=12,
∴10k-4k=12,
∴k=2,
∴a=6,b=8,c=10,
∵62+82=102,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形,
∴△ABC的面积为 ×6×8=24.1
2
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例5 B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方
向以每小时8 n mile的速度前进,乙船沿南偏东某个
角度以每小时15 n mile的速度前进,2 h后,甲船到
M岛,乙船到P岛,两岛相距34 n mile,你知道乙船
是沿哪个方向航行的吗?
解:甲船航行的距离为BM= 16(n mile),
乙船航行的距离为BP= 30(n mile).
∵162+302=1156,342=1156,
∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形,∴∠MBP=90° ,
∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的.
8.下列各组数中,是勾股数的为( )
A.1,2,3 B.4,5,6
C.3,4,5 D.7,8,9
9.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的
格点上,可以判定三角形是直角三角形的有
________.
针对训练
(2)(4)
C
10.如图,在四边形ABCD中,AB=20cm,BC=15cm,
CD=7cm,AD=24cm,∠ABC=90°.猜想∠A与∠C
关系并加以证明.
解:猜想∠A+∠C=180°.
连接AC.
∵∠ABC=90°,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得
∵AD2+DC2=625=252=AC2,
∴△ADC是直角三角形,且∠D=90°,
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°,
∴∠DAB+∠BCD=180°,
即∠A+∠C=180°.
2 2 2 2AC= 20 15AB BC = =25,
考点三 勾股定理与折叠问题
例6 如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,
将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求
△ABE的面积.
解:∵长方形折叠,使点B与点D重合,
∴ED=BE.
设AE=xcm,则ED=BE=(9-x)cm,
在Rt△ABE中,
AB2+AE2=BE2,
∴32+x2=(9-x)2,
解得x=4.
∴△ABE的面积为3×4× =6(cm2).1
2
方法总结
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求
第三边的问题;如果只知一边和另两边的关系时,
也可用勾股定理求出未知边,这时往往要列出方程
求解.
针对训练
11.如图,有一张直角三角形纸片,
两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,
将△ABC折叠,使点B与点A重合,
折痕是DE,则CD的长
为 . 1.75cm
考点四 本章解题思想方法
方程思想
例7 如图,在△ABC中,AB=17,BC=9,AC=10,
AD⊥BC于D.试求△ABC的面积.
解:在Rt△ABD和Rt△ACD中,
AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,
设DC=x,则BD=9+x,
故172-(9+x)2=102-x2,
解得x=6.
∴AD2= AC2−CD2 = 64,∴AD=8.
∴S△ABC= ×9×8=36.1
2
解:当高AD在△ABC内部时,如图①.
在Rt△ABD中,由勾股定理,
得BD2=AB2-AD2=202-122=162,
∴BD=16.
在Rt△ACD中,由勾股定理,
得CD2=AC2-AD2=152-122=81,
∴CD=9.∴BC=BD+CD=25,
∴△ABC的周长为25+20+15=60.
例8 在△ABC中,AB=20,AC=15,AD为BC边上的高,
且AD=12,求△ABC的周长.
分类讨论思想
题中未给出图形,作高构造直角三角形时,易漏掉钝
角三角形的情况.如在本例题中,易只考虑高AD在
△ABC内的情形,忽视高AD在△ABC外的情形.
当高AD在△ABC外部时,如图②.
同理可得 BD=16,CD=9.
∴BC=BD-CD=7,
∴△ABC的周长为7+20+15=42.
综上所述,△ABC的周长为42或60.
方法总结
例9 有一圆柱体高为8cm,底面圆的半径为2cm,如
图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛,QA1=3cm,在BB1
上的点P处有一只苍蝇,PB=2cm.求蜘蛛爬行的最
短路径长(π取3).
解:如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP.
则PM=8-3-2=3(cm),
QM=A1B1= ×2×π×2=6(cm),
在Rt△QMP中,由勾股定理得
答:蜘蛛爬行的最短路径长是 cm.
1
2
2 2 3 5cm.PQ QM PM
转化思想
3 5
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