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  • 2021-11-01 发布

八年级下数学课件:第十七章 勾股定理 复习(共27张PPT)_人教新课标

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复习课件 第十七章 勾股定理 知识框架 勾股定理  直角三角形边 长的数量关系   勾股定理 的逆定理   直角三角 形的判定   互逆定理 要点梳理 1.如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边 为c,那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2.勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3.勾股定理表达式的常见变形: a2=c2-b2, b2=c2-a2, 2 2 2 2 2 2, ,c a b a c b b c a      A BC c a b 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 a2 +b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数. 2.勾股数 3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反,那么把其中 一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题. A BC c a b 例1 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D, AC=20,BC=15. (1)求AB的长; (2)求BD的长. 解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, (2)方法一:∵S△ABC= AC•BC= AB•CD, ∴20×15=25CD, ∴CD=12. ∴在Rt△BCD中, 2 2 2 220 15 25;AB AC BC      1 2 1 2 2 2 2 215 12 9.BD BC CD     考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 方法二:设BD=x,则AD=25-x. 2 2 2 2 2 2, ,AC AD CD BC BD CD    2 2 2 2 ,AC AD BC BD     22 2 220 25 15 , 50 =450x x x     即 , 解得x=9.∴BD=9. 方法总结 对于本题类似的模型,若已知两直角边求斜边上的 高常需结合面积的两种表示法起来考查,若是同本 题(2)中两直角三角形共一边的情况,还可利用勾 股定理列方程求解. 针对训练 1.Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为 (  ) A.8 B.4 C.6 D.无法计算 A 3.一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边 长的正方形的面积为___________. 2.如图,∠C=∠ABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12, 则AD的长为______. 13或5 13 4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a +b=14cm, c=10cm,求△ABC的面积. 解:∵a+b=14, ∴(a+b)2=196. 又∵a2+b2=c2=100, ∴2ab=196-(a2+b2)=96, ∴ ab=24.1 2 例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有 趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是 一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生 的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸 边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少? 解:如图,设水池的水深AC为x尺, 则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺, 在直角三角形ABC中,BC=5尺 由勾股定理得BC2+AC2=AB2, 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1, 2x=24, ∴ x=12, x+1=13. 答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺. D BC A 例3 如图所示,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发, 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处,问怎样走路线最 短?最短路线长为多少? 解析:蚂蚁由A点沿长方体的表面 爬行到C1点,有三种方式: ①沿ABB1A1和A1 B1C1D1面;②沿ABB1A1和BCC1B1面; ③沿AA1D1D和A1B1C1D1面,把三种方式分别展成平 面图形如下: 解:在Rt△ABC1中, 2 2 2 2 2 1 1 4 3 25AC AB BC     , 1 5.AC  在Rt△ACC1中, 2 2 2 2 2 1 1 6 1 37AC AC CC     , 1 37.AC  在Rt△AB1C1中, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 2 29AC AB B C     , 1 29.AC  5 29 37 < < , ∴沿路径走路径最短,最短路径长为5. 化折为直:长方体中求两点之间的最短距离,展开方 法有多种,一般沿最长棱展开,距离最短. 方法总结 针对训练 5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上,它们 的底部在地面的水平距离是3米,则梯子可以到 达建筑物的高度是______米.4 在Rt△ABO中,OA=2米,DC=OB=1.4米, ∴AB2=22-1.42=2.04. ∵4-2.6=1.4,1.42=1.96, 2.04>1.96, 答:卡车可以通过,但要小心. 解:如图,过半圆直径的中点O,作直径的垂线交下 底边于点D,取点C,使CD=1.4米,过C作OD的平 行线交半圆直径于B点,交半圆于A点. 6.如图,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方 是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆 卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家 具的卡车能否通过这个通道? 7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相 距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经 过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处. (1)此时快艇航行了多少米(即AB 的长)? 北 东 O A B 60° 45° C = 500 500 3AB AC BC   ( )米. 2 21000 500 500 3( ).OC    米 解:根据题意得∠AOC=30°, ∠COB=45°,AO=1000米. ∴AC=500米,BC=OC. 在Rt△AOC中,由勾股定理得 ∴BC=OC= 500 3 ,米 在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距 1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过 若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处. (2)距离哨所多少米(即OB的长) ? 北 东 O A B 60° 45° C    2 2 2 2 500 3 500 3 500 6( ). OB OC OB     米 解:在Rt△BOC中,由勾股定理得 例4 在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b, , 2c-b=12,求△ABC的面积. 3 4 5 a b c  解:由题意可设a=3k,则b=4k,c=5k, ∵2c-b=12, ∴10k-4k=12, ∴k=2, ∴a=6,b=8,c=10, ∵62+82=102, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC为直角三角形, ∴△ABC的面积为 ×6×8=24.1 2 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 例5 B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方 向以每小时8 n mile的速度前进,乙船沿南偏东某个 角度以每小时15 n mile的速度前进,2 h后,甲船到 M岛,乙船到P岛,两岛相距34 n mile,你知道乙船 是沿哪个方向航行的吗? 解:甲船航行的距离为BM= 16(n mile), 乙船航行的距离为BP= 30(n mile). ∵162+302=1156,342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形,∴∠MBP=90° , ∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的. 8.下列各组数中,是勾股数的为(  ) A.1,2,3 B.4,5,6 C.3,4,5 D.7,8,9 9.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的 格点上,可以判定三角形是直角三角形的有 ________. 针对训练 (2)(4) C 10.如图,在四边形ABCD中,AB=20cm,BC=15cm, CD=7cm,AD=24cm,∠ABC=90°.猜想∠A与∠C 关系并加以证明. 解:猜想∠A+∠C=180°. 连接AC. ∵∠ABC=90°, ∴在Rt△ABC中,由勾股定理得 ∵AD2+DC2=625=252=AC2, ∴△ADC是直角三角形,且∠D=90°, ∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°, ∴∠DAB+∠BCD=180°, 即∠A+∠C=180°. 2 2 2 2AC= 20 15AB BC = =25, 考点三 勾股定理与折叠问题 例6 如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm, 将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求 △ABE的面积. 解:∵长方形折叠,使点B与点D重合, ∴ED=BE. 设AE=xcm,则ED=BE=(9-x)cm, 在Rt△ABE中, AB2+AE2=BE2, ∴32+x2=(9-x)2, 解得x=4. ∴△ABE的面积为3×4× =6(cm2).1 2 方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求 第三边的问题;如果只知一边和另两边的关系时, 也可用勾股定理求出未知边,这时往往要列出方程 求解. 针对训练 11.如图,有一张直角三角形纸片, 两直角边AC=6 cm,BC=8 cm, 将△ABC折叠,使点B与点A重合, 折痕是DE,则CD的长 为 . 1.75cm 考点四 本章解题思想方法 方程思想 例7 如图,在△ABC中,AB=17,BC=9,AC=10, AD⊥BC于D.试求△ABC的面积. 解:在Rt△ABD和Rt△ACD中, AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2, 设DC=x,则BD=9+x, 故172-(9+x)2=102-x2, 解得x=6. ∴AD2= AC2−CD2 = 64,∴AD=8. ∴S△ABC= ×9×8=36.1 2 解:当高AD在△ABC内部时,如图①. 在Rt△ABD中,由勾股定理, 得BD2=AB2-AD2=202-122=162, ∴BD=16. 在Rt△ACD中,由勾股定理, 得CD2=AC2-AD2=152-122=81, ∴CD=9.∴BC=BD+CD=25, ∴△ABC的周长为25+20+15=60. 例8 在△ABC中,AB=20,AC=15,AD为BC边上的高, 且AD=12,求△ABC的周长. 分类讨论思想 题中未给出图形,作高构造直角三角形时,易漏掉钝 角三角形的情况.如在本例题中,易只考虑高AD在 △ABC内的情形,忽视高AD在△ABC外的情形. 当高AD在△ABC外部时,如图②. 同理可得 BD=16,CD=9. ∴BC=BD-CD=7, ∴△ABC的周长为7+20+15=42. 综上所述,△ABC的周长为42或60. 方法总结 例9 有一圆柱体高为8cm,底面圆的半径为2cm,如 图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛,QA1=3cm,在BB1 上的点P处有一只苍蝇,PB=2cm.求蜘蛛爬行的最 短路径长(π取3). 解:如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm), QM=A1B1= ×2×π×2=6(cm), 在Rt△QMP中,由勾股定理得 答:蜘蛛爬行的最短路径长是 cm. 1 2 2 2 3 5cm.PQ QM PM   转化思想 3 5 谢 谢