2020春八年级数学下册第20章平行四边形的判定20-4正方形的判定习题课件华东师大版 35页

§20.4 正方形的判定 阅读相关内容 , 回答下列问题 : (1) 有一个角是 _____ 的 _____ 为正方形； (2) 有一组邻边 _____ 的 _____ 是正方形 . (3) 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形的关系 : 直角 菱形 相等 矩形 正方形 【 预习思考 】 正方形的对角线和菱形的对角线有何异同 ? 能根据菱形的对角线判定正方形吗 ? 提示： 正方形的对角线除垂直、平分、平分一组对角外还相等 , 菱形的对角线不相等；如果菱形的对角线相等 , 则菱形是正方形 . 正方形的判定 【 例 1】 如图 , 在△ ABC 中 ,∠BAC=90°, AB=AC, 点 D 是 BC 的中点 ,DE⊥AB,DF⊥AC 垂足分别为 E,F. 求证 : 四边形 DEAF 是正方形 . 【 解题探究 】 1. 四边形 DEAF 具备哪些条件 ? 这些条件能判定四边形 DEAF 为什么四边形 ? 答 : 根据已知条件 , 四边形 DEAF 有 3 个角是直角 , 根据这些条件可以判定四边形 DEAF 为矩形 . 2. 要证明四边形 DEAF 是正方形还缺少什么条件 ? 答 : 根据有一组邻边相等的矩形是正方形的判定定理 , 再证明一组邻边相等即可 . 3.(1) 证明矩形 : ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠AED =90°, ∠AFD =90°. ∵ ∠BAC =90°,∴ 四边形 AEDF 是矩形； (2) 证明正方形 : 在△ BDE 和△ CDF 中 , ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC. 又∵ D 是 BC 的中点 ,∴BD=DC, ∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF. ∴ 四边形 AEDF 是正方形 . 【 互动探究 】 把例题中条件 AB=AC 去掉 , 四边形 AEDF 还是正方形吗 ? 还需要添 加什么条件才能保证四边形 AEDF 是正方形 ? 提示： 去掉条件 AB=AC, 四边形 AEDF 不一定是正方形；要保证 四边形 AEDF 是正方形 , 必须保证 AD 平分∠ BAC. 【 规律总结 】 【 跟踪训练 】 1. 已知四边形 ABCD 中 ,∠A=∠B=∠C=90°, 添加一个条件 , 可推 出该四边形是正方形 , 这个条件可以是 ( ) (A)∠D=90° (B)AB=CD (C)AD=BC (D)BC=CD 【 解析 】 选 D. 由∠ A=∠B=∠C=90° 可判定为矩形 , 因此再添加条件 : 一组邻边相等 , 即可判定为正方形 , 故选 D. 2. 已知四边形 ABCD 是菱形 , 当满足条件 ______ 时 , 它成为正方形 ( 填上你认为正确的一个条件即可 ). 【 解析 】 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形 . 答案： ∠ A=90° 或 AC=BD( 答案不唯一 ) 3. 如图 , 正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O, 过点 D 作 DP∥OC, 且 DP=OC, 连结 CP, 试判断四 边形 CODP 的形状，并证明 . 【 解析 】 四边形 CODP 为正方形 . 理由 : 由正方形的性质 , 得 OD=OC, 且 OD⊥OC. ∵DP∥OC, 且 DP=OC, ∴ 四边形 CODP 为平行四边形 , ∵OD⊥OC,∴ 四边形 CODP 为矩形 , ∵DP=OC=OD,∴ 矩形 CODP 为正方形 . 【 变式备选 】 如果上面 T3 中的正方形变为菱形 , 结论应变为什么 ? 【 解析 】 四边形 CODP 为矩形 . 理由 : ∵DP∥OC, 且 DP=OC, ∴ 四边形 CODP 为平行四边形 . ∵ 菱形的对角线互相垂直 , ∴∠DOC=90°, ∴ 四边形 CODP 为矩形 . 正方形的性质与判定的应用 【 例 2】(8 分 ) 如图 ,△ABC 是等腰直角三角 形 ,∠BAC=90°, 点 P 、 Q 分别是 AB 、 AC 上的 动点 , 且满足 BP=AQ,D 是 BC 的中点 . (1) 求证 :△PDQ 是等腰直角三角形； (2) 当点 P 运动到什么位置时 , 四边形 APDQ 是正方形 , 说明理由 . 【 规范解答 】 (1) 连结 AD, ∵△ABC 是等腰直角三角形 ,D 是 BC 的中点 , ∴AD⊥BC, AD = BD = DC ,∠DAQ= ∠B . ………………………… 1 分 又∵ BP=AQ,∴△BPD≌ △AQD , ∴PD=QD,∠ADQ= ∠BDP . …………………………………… 2 分 ∵∠ BDP+∠ADP=90°, ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°, ∴△PDQ 为等腰直角三角形； ……………………………… 4 分 (2) 当 P 点运动到 AB 的中点时 , 四边形 APDQ 是正方形 . …………… 5 分 理由 : 由 (1) 知△ ABD 为等腰直角三角形 . 当 P 点运动到 AB 的中点时 ,DP⊥AB, 即∠ APD=90°. 又∵∠ BAC=90°,∠PDQ=90°, ∴ 四边形 APDQ 为 矩形 , ……………………………………… 7 分 又 ∴四边形 APDQ 是 正方形 . ………………… 8 分 易错提醒 : 由∠ BAC= 90°, 可以先证矩形再证正方形 . 【 互动探究 】 把例题中等腰直角三角形变为等腰三角形 , 结论 (1) 还成立吗 ? 提示： 不成立 . 【 规律总结 】 判定正方形的三个思路 (1) 先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等和有一个角为直角； (2) 先证四边形是矩形，再证一组邻边相等或对角线垂直； (3) 先证四边形是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等 . 总之，判定一个四边形是正方形，应同时具备判定矩形和菱形的条件 . 【 跟踪训练 】 4. 如图 , 把一个长方形纸片对折两次 , 然后剪 下一个角 . 为了得到一个正方形 , 剪刀与折痕 所成的角的度数应为 ( ) (A)60° (B)30° (C)45° (D)90° 【 解析 】 选 C. 因为正方形是轴对称图形 , 所以剪刀与折痕所成的角的度数为 45° 时 , 剪下的图形为正方形 . 5. 爸爸交给小明一个任务 : 要求他在一块不规则木板上锯出一个边长为 0.5 m 的正方形木板 , 小明手中的度量工具是米尺和直角尺 ( 可度量直角 ), 爸爸怎样用米尺和直角尺检验小明锯出的正方形木板是否准确 ? 【 解析 】 方法一 : 先量出四条边的长 , 看是否都为 0.5 m, 再用 直角尺量出一个角的度数 , 看这个角是否为 90°, 如果边长都 是 0.5 m, 角是 90°, 说明小明锯出的木板是满足条件的正方形 . 方法二 : 先量出四条边的长 , 看是否都为 0.5 m, 再量出对角线 长 , 看是否相等 , 如果边长都是 0.5 m, 且对角线长相等 , 则说明 锯出的木板是满足条件的正方形 . 方法三 : 先用直角尺量出四个角的度数 , 再用米尺量出两条邻 边的长度 . 如果四个角都是直角 , 两条邻边的长度相等且为 0.5 m, 则说明锯出的木板是满足条件的正方形 . 1. 下列命题中 , 真命题是 ( ) (A) 两条对角线相等的四边形是矩形 (B) 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 (C) 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 (D) 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【 解析 】 选 D. 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法 , 选项 D 是正确的 . 2. 如图 , 已知四边形 ABCD 是平行四边形 , 下列结论中不正确的 是 ( ) (A) 当 AB=BC 时 , 它是菱形 (B) 当 AC⊥BD 时 , 它是菱形 (C) 当∠ ABC=90° 时 , 它是矩形 (D) 当 AC=BD 时 , 它是正方形 【 解析 】 选 D. 邻边相等的平行四边形是菱形 ,A 正确；对角线垂直的平行四边形是菱形 ,B 正确；有一个角为直角的平行四边形是矩形 ,C 正确；对角线相等的平行四边形是矩形 , 不是正方形 ,D 错误 . 3.(2012· 南充中考 ) 如图 , 四边形 ABCD 中 , ∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD, 若四边形 ABCD 的面积是 24 cm 2 , 则 AC 的长是 ______cm. 【 解析 】 作 AM⊥BC 于 M,AN⊥CD 交 CD 延长线于 N, 则∠ AMB=∠AND=∠AMC=90°. ∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°, ∵∠ADN+∠ADC=180°,∴∠ADN=∠B. ∵AD=AB,∴△ABM≌△ADN, ∴AM=AN,S 四边形 ABCD =S 四边形 AMCN . ∵∠AMC=∠AND=90°,∠BCD=90°, ∴ 四边形 AMCN 是正方形 . ∵ 四边形 ABCD 的面积是 24 cm 2 , ∴ 正方形 AMCN 的面积是 24 cm 2 , 答案： 4. 已知正方形 ABCD, 以 CD 为边作等边△ CDE, 则∠ AED 的度数 是 _______. 【 解析 】 如图 1, 当点 E 在正方形 ABCD 外时 , 在△ ADE 中 , AD=DE,∠ADE=90°+60°=150°, 所以 如图 2, 当点 E 在正方形 ABCD 内时 , 在△ ADE 中 ,AD=DE,∠ADE=90° － 60°=30°, 所以 答案： 15° 或 75° 5. 如图所示 , 点 D 是线段 AB 的中点 , 点 C 是线 段 AB 的垂直平分线上的任意一点 ,DE⊥AC 于点 E,DF⊥BC 于点 F. (1) 求证 :CE=CF ； (2) 点 C 运动到什么位置时 , 四边形 CEDF 成为正方形 ? 说明理由 . 【 解析 】 (1)∵CD 垂直平分 AB, ∴△ADC≌△BDC. ∴∠DCA=∠DCB. ∵DE⊥AC,DF⊥BC, 在 Rt△DEC 和 Rt△DFC 中 ,∠DCE=∠DCF,∠DEC=∠DFC=90°, DC=DC. ∴Rt△DEC≌Rt△DFC. ∴CE=CF. (2) 当 时 , 四边形 CEDF 为正方形 . 证明 : 当 时 , ∴DA=DC,DC=DB, ∴△ADC 和△ BDC 均为等腰直角三角形 . ∴∠A=∠ACD=∠B=∠DCB=45°. ∴∠ECF=45°+45°=90°. ∵DE⊥AC,DF⊥BC, ∴ 四边形 CEDF 为矩形 , ∵CE=CF, ∴ 四边形 CEDF 为正方形 .