2020八年级数学下册 专题突破讲练 平行四边形性质专题试题 （新版）青岛版 10页

平行四边形性质专题 一、平行四边形的性质 ‎1. 平行四边形的性质 平行四边形对边相等，如：AD＝CB，AB＝CD；‎ 平行四边形对角相等，如：∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD；‎ 平行四边形对角线互相平分，如：AO＝CO，BO＝DO。‎ ‎2. 扩展性质 平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四个小三角形，如：＝＝；‎ 平行四边形对角线把平行四边形分成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差，如：（c表示周长）；‎ 平行四边形对角线的一半和大于任意一边长，如：；‎ 过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分。‎ 二、平行四边形的面积法使用 ‎① 如图 也就是，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。‎ ‎② 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。‎ 如图：平行四边形ABCD与平行四边形EBCF有公共边BC，则。‎ 10‎ 拓展知识：两条平行线间的距离处处相等。‎ 总结：‎ ‎（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。‎ ‎（2）平行四边形中对角线是常用辅助线。‎ 例题1 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（　　）‎ A. 4 B. ‎3 ‎ C. D. 2‎ 解析：根据平行四边形性质得出AB＝DC，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出DE＝DC＝AB，得出AD＝2DE即可。‎ 答案：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，‎ ‎∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，‎ ‎∵AD＝2AB＝2CD，CD＝DE，∴AD＝2DE，∴AE＝DE＝3，∴DC＝AB＝DE＝3，故选B。‎ 点拨：本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE＝AE＝DC。‎ 例题2 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F。下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF。其中正确的是（　　）‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①③④‎ 解析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又因为AE平分∠B 10‎ AD，可得∠BAE＝∠DAE，所以可得∠BAE＝∠BEA，得AB＝BE，由AB＝AE，得到△ABE是等边三角形，则∠ABE＝∠EAD＝60°，所以△ABC≌△EAD（SAS）；因为△FCD与△ABD等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），所以S△FCD＝S△ABD，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC＝S△DEC，所以S△ABE＝S△CEF。‎ 答案：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAD＝∠AEB，‎ 又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AB＝AE，‎ ‎∴△ABE是等边三角形；②正确；‎ ‎∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵AB＝AE，BC＝AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；‎ ‎∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确。‎ ‎∵AD与AF不一定相等，∴③不一定正确；‎ ‎∵BE不一定等于CE，∴④不一定正确。‎ 故选C。‎ 点拨：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质。此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析。‎ 平行四边形的面积问题 例题 如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC、CE，使AB＝AC。‎ ‎（1）求证：△BAD≌△ACE；‎ ‎（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积。‎ 解析：（1）根据平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定方法得出即可；（2）首先根据勾股定理得出BG＝x，进而利用BG－DG＝BD求出AG的长，进而得出平行四边形ABDE的面积。‎ 答案：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE＝BD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠B，‎ 在△DBA和△EAC中，，‎ ‎∴△DBA≌△EAC（SAS）；‎ ‎（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G。设AG＝x，‎ 在Rt△AGD中，∵∠ADC＝45°，∴AG＝DG＝x，‎ 在Rt△AGB中，∵∠B＝30°，∴BG＝x，又∵BD＝10。∴BG－DG＝BD，即x−x 10‎ ‎＝10，解得AG＝x＝＝5＋5，∴S平行四边形ABDE＝BD•AG＝10×（5＋5）＝50＋50。‎ 平行四边形中的折叠 例题 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边DC、AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B、C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG、B′G。‎ 求证：（1）∠1＝∠2； （2）DG＝B′G。‎ 解析：（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2＝∠FEC，由折叠得出∠1＝∠FEC＝∠2，即可得出答案；（2）求出EG＝B′G，推出∠DEG＝∠EGF，由折叠求出∠B′FG＝∠EGF，求出DE＝B′F，再证△DEG≌△B′FG即可。‎ 答案：证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2＝∠FEC，‎ 由折叠得：∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2；‎ ‎（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝GF，∵AB∥DC，‎ ‎∴∠DEG＝∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠＝∠，‎ ‎∵DE＝BF＝B′F，∴DE＝B′F，‎ 在△DEG和△中，‎ ‎∴△DEG≌△B′FG（SAS），∴DG＝B′G。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（　　）‎ A. 18 B. ‎28 ‎ C. 36 D. 46 ‎ ‎2. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　）‎ 10‎ A. 2 B. ‎3 ‎ C. 4 D. 5‎ ‎*3. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。则下列结论：①AG平分∠DAB，②CH＝DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH＝S四边形ABCH。其中正确的有（　　）‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎**4. 如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　）‎ A. 3：4 B.:‎2‎ C. :2 D. 2: ‎ ‎**5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G。若使EF＝AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（　　）‎ A. ∠ABC＝60° B. AB：BC＝1：‎4 ‎ C. AB：BC＝5：2 D. AB：BC＝5：8‎ ‎**6. 如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE。‎ 则四个结论一定正确的是（　　）‎ 10‎ A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②③④‎ 二、填空题 ‎*7. 如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是　　　　　　　　　　。‎ ‎**8. 在平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线分对边DC为‎3cm和‎5cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为　　　　　　　　　　　　　　　。‎ ‎**9. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 。‎ 三、解答题 ‎*10. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F。‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BFE；‎ ‎（2）若DF平分∠ADC，连接CE。试判断CE和DF的位置关系，并说明理由。‎ ‎**11. ‎ 10‎ 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝32°。分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF。‎ ‎（1）求证：△ABE≌△FDA；‎ ‎（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数。‎ ‎**12.（黑龙江）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F。若点P在BC边上（如图1），此时PD＝0，可得结论：PD＋PE＋PF＝AB。‎ 请直接应用上述信息解决下列问题：‎ 当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。‎ 10‎ ‎1. C 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∵△OCD的周长为23，∴OD＋OC＝23－5＝18，∵BD＝2DO，AC＝2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD＋AC＝2（DO＋OC）＝36，故选C。‎ ‎2. B 解析：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5。∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC＝2.5。∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC。∴OD＝AB＝1.5，∴ED＝2OD＝3。故选B。‎ ‎3. D 解析：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，故①正确；∵AG平分∠DAB，∴∠DAH＝∠BAH，∵CD∥AB，∴∠DHA＝∠BAH，∴∠DAH＝∠DHA，∴AD＝DH，∴△ADH是等腰三角形，故③正确；故选D。‎ ‎4. D 解析：如图，连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC＝S△DFA＝S平行四边形ABCD，即AF·DP＝CE·DQ，∴AF·DP＝CE·DQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠DAB＝60°，∴∠CBN＝∠DAB＝60°，∴∠BFN＝∠BCM＝30°，∵AB：BC＝3：2，∴设AB＝‎3a，BC＝‎2a，∵AE：EB＝1：2，F是BC的中点，∴BF＝a，BE＝‎2a，BN＝a，BM＝a，由勾股定理得：FN＝a，CM＝a，AF＝＝a，CE＝＝‎2‎a，‎ ‎∴a•DP＝‎2‎a•DQ，∴DP：DQ＝2：。故选D。‎ ‎5. D 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠AEB＝∠CBE，又BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，同理可得：DC＝DF，∴AE＝DF，∴AE－EF＝DF－EF，即AF＝DE，当EF＝AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，∴AF＝DE＝（AD－EF）＝1.5x，∴AE＝AB＝AF＋EF＝2.5x，∴AB：BC＝2.5：4＝5：8。故选D。‎ ‎6. B 解析：如图，∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，∵AD＝BC，AB＝DC，∴FD＝BC，BE＝DC，∵∠ABC＝∠ADC，∠FDA＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠FAE＝∠FDC 10‎ ‎，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误。故选B。‎ ‎7. S1＝S2 解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中；∵AB＝CD BD＝DB DA＝CB，∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2。‎ ‎8. ‎22cm或‎26cm 解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵AE是∠DAB的平分线，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝ED，∵∠DAB的平分线分对边DC为‎3cm和‎5cm两部分，如果DE＝‎3cm，则AD＝BC＝‎3cm，AB＝CD＝‎8cm，∴平行四边形ABCD的周长为‎22cm；如果DE＝‎5cm，则AD＝BC＝‎5cm，AB＝CD＝‎8cm，∴平行四边形ABCD的周长为‎26cm；∴ABCD的周长为‎22cm或‎26cm。‎ ‎9. 解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2，∴BE＝BD＝1。如图2，连接BB′。根据折叠的性质知，∠AEB＝∠AEB′＝45°，BE＝B′E。∴∠BEB′＝90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′＝BE＝。又∵BE＝DE，B′E⊥BD，∴DB′＝BB′＝。故答案是：。‎ ‎10.（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1＝∠2。∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE。∵在△ADE与△BFE中，‎ 10‎ ‎，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF。理由如下：如图，连接CE。由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE＝FE，即点E是DF的中点，∠1＝∠2。∵DF平分∠ADC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴CD＝CF，∴CE⊥DF。‎ ‎11.（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝DC，又∵DF＝DC，∴AB＝DF。同理EB＝AD。在平行四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，又∵∠EBC＝∠CDF，∴∠ABE＝360°－∠ABC－∠EBC，∠ADF＝360°－∠ADC－∠CDF，∴∠ABE＝∠FDA。∴△ABE≌△FDA（SAS）。（2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB＝∠FAD。∵∠EBG＝∠EAB＋∠AEB，∴∠EBG＝∠FAD＋∠EAB，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°。∵∠BAD＝32°，∴∠EAF－∠DAB＝90°－32°＝58°。∴∠EBG＝58°。‎ ‎12. 证明：如图2，过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB，∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE＝PF，∠EPM＝∠ANM＝∠C，∠EMP＝∠B，∵AB＝AC，∴∠EMP＝∠EPM，∴PE＝EM，∴PE＋PF＝AE＋EM＝AM。∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB＝PD。∴PD＋PE＋PF＝MB＋AM＝AB，即PD＋PE＋PF＝AB。图3结论：PE＋PF－PD＝AB。‎ 10‎