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  • 2021-11-01 发布

2020八年级数学上册第14章勾股定理的应用第2课时勾股定理在数学中的应用作业

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‎ [14.2 第2课时 勾股定理在数学中的应用]‎ ‎          ‎ 一、选择题 图K-42-1‎ ‎1.如图K-42-1,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是(  )‎ A.19 B.‎13 C.31 D.35‎ ‎2.如果直角三角形的斜边长为‎20 cm,两条直角边长之比为3∶4,那么这个直角三角形的周长为(  )‎ A.‎27 cm B.‎‎30 cm C.‎40 cm D.‎‎48 cm ‎3.如图K-42-2是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=‎6 cm,BC=‎8 cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为(  )‎ A.‎4 cm B.‎5 cm ‎ C.‎6 cm D.‎‎10 cm 图K-42-2‎ ‎4.如图K-42-3,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C).若线段AD的长为正整数,则符合条件的点D共有(  )‎ ‎   ‎ 10‎ 图K-42-3‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ‎5.如图K-42-4,在5×5的正方形网格中,从在格点上的点A,B,C,D中任取三点,所构成的三角形是直角三角形的个数是(  )‎ 图K-42-4‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ 二、填空题 ‎6.2016·烟台如图K-42-5,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连结OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为________.‎ 图K-42-5‎ ‎7.如图K-42-6,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,连结AC,∠DAC=∠BAC.若BC=‎4 cm,AD=‎5 cm,则AB=________cm.‎ ‎   ‎ 图K-42-6‎ ‎8.如图K-42-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分线分别交DE于点E,D,若AC=6,BC=10,则DE的长为________.‎ 图K-42-7‎ 10‎ ‎9.如图K-42-8,正方形A1B1B‎2C1,正方形A2B2B‎3C2,正方形A3B3B‎4C3,…,正方形AnBnBn+1Cn按图放置,使点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,B4,…,Bn在射线OB上.若∠AOB=45°,OB1=1,图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2,S3,S4,…,Sn,则Sn=________.‎ ‎   ‎ 图K-42-8‎ 三、解答题 ‎10.如图K-42-9所示,阴影(半圆)部分的面积是多少?(π取3)‎ 图K-42-9‎ ‎11.如图K-42-10,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形并涂上阴影.‎ ‎(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;‎ ‎(2)在图②、图③中,分别画一个直角三角形,使它们的三边长都是无理数(两个三角形不全等). 图K-42-10‎ 10‎ ‎12.如图K-42-11,在Rt△ABC中,∠C=90°.如果以此直角三角形三边为边,分别作三个等边三角形(如图K-42-11),其面积分别为S1,S2,S3,那么S1,S2,S3之间有什么关系?‎ 图K-42-11‎ ‎13.如图K-42-12,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.‎ 求证:AB=BC.‎ 图K-42-12‎ ‎14.把一张长方形纸片ABCD按如图K-42-13所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=‎3 cm,BC=‎5 cm,求重叠部分△DEF的面积. 10‎ 图K-42-13‎ ‎15.如图K-42-14,已知D,F分别是△ABC的边BC上两点,E是边AC上一点,∠BFE=∠FEA,AB=13,AD=12,BD=5,AE=10,DF=4.‎ ‎(1)求证:AD⊥BC;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ 图K-42-14‎ ‎          ‎ 探究题如图K-42-15,在等腰三角形ABC中,AB=AC,其底边长为‎8 cm,腰长为‎5 cm,一动点P在底边上从点B出发向点C以‎0.25 cm/s的速度移动,请你探究:当点P运动多长时间时,点P与顶点A的连线PA与腰垂直.‎ 图K-42-15‎ 10‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1.A ‎2.[解析] D 设两条直角边长分别为3x cm,4x cm,根据勾股定理,得(3x)2+(4x)2=202,解得x=4,则两条直角边的长分别为‎12 cm,‎16 cm,所以这个直角三角形的周长为‎48 cm.‎ ‎3.B ‎4.[解析] C 如图,过点A作AE⊥BC于点E.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴EC=BE=BC=4,‎ ‎∴AE===3.‎ ‎∵D是线段BC上的动点(不含端点B,C),‎ ‎∴3≤AD<5.‎ ‎∵线段AD的长为正整数,‎ ‎∴AD=3或4,‎ 当AD=3时,点D就在点E的位置,‎ 当AD=4时,点D在点E的两侧各有一个位置,‎ ‎∴符合条件的点D共有3个.故选C.‎ ‎5.[解析] C 从点A,B,C,D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能,其中只有△ABD,△ADC,△ABC是直角三角形.‎ ‎6.[答案] 10‎ ‎[解析] ∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴OC⊥AB.‎ 在Rt△OBC中,OC===.‎ ‎∵以O为圆心,OC长为半径画弧交数轴于点M,‎ ‎∴OM=OC=,‎ ‎∴点M对应的实数为.‎ ‎7.8 8.14‎ ‎9.[答案] 22n-3‎ ‎[解析] ∵OB1=1,△OB‎1A1是等腰直角三角形,‎ ‎∴A1B1=1.‎ ‎∵四边形A1B1B‎2C1是正方形,∴A‎1C1=1.‎ ‎∵△A‎1C1A2是等腰直角三角形,‎ ‎∴S1=×1×1=.‎ 同理A‎2C2=2,A‎3C3=22,A‎4C4=23,…,AnCn=2n-1,‎ ‎∴Sn=×2n-1×2n-1=22n—3.‎ ‎10.解:(1)(2)题答案直角三角形的斜边长为=10,‎ 那么阴影部分的面积为×π×≈37.5.‎ ‎11.解:(1)(2)题答案如图,答案不唯一.‎ ‎12.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,‎ ‎∴AB2=AC2+BC2.‎ 根据等边三角形面积计算公式得S3=AB2,‎ 10‎ S1=AC2,S2=BC2,‎ ‎∴S1+S2=(AC2+BC2)=AB2=S3,‎ 故S1+S2=S3.‎ ‎13.证明:连结AC.‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴AB2+BC2=AC2.‎ ‎∵CD⊥AD,‎ ‎∴AD2+CD2=AC2.‎ 又∵AD2+CD2=2AB2,‎ ‎∴AB2+BC2=2AB2,‎ 即BC2=AB2.‎ ‎∵CB>0,AB>0,‎ ‎∴AB=BC.‎ ‎14.解:由长方形纸片的折叠可得A′D=AB,A′E=AE.‎ 在Rt△A′DE中,‎ 由勾股定理,得A′D2+A′E2=DE2,AE+DE=AD.‎ 设DE=x,‎ 则A′E=AD-DE=5-x.‎ 则32+(5-x)2=x2,‎ 解得x=3.4,‎ 即DE=3.4,‎ 所以S△DEF=DE·AB=×3.4×3=5.1(cm2).‎ 即重叠部分△DEF的面积是‎5.1 cm2.‎ 10‎ ‎15.解:(1)证明:∵AB=13,AD=12,BD=5,‎ ‎∴AB2=BD2+AD2,‎ ‎∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎(2)∵∠BFE=∠FEA,‎ ‎∴∠CFE=∠CEF,‎ ‎∴CF=CE.‎ 设CE=CF=x.‎ ‎∵∠ADC=90°,‎ ‎∴AD2+CD2=AC2,‎ 即122+(x+4)2=(10+x)2,‎ 解得x=5,‎ ‎∴BC=5+4+5=14,‎ ‎∴S△ABC=BC·AD=84.‎ ‎[素养提升]‎ 解:过点A作AD⊥BC于点D.‎ ‎∵AB=AC,BC=‎8 cm,‎ ‎∴BD=CD=BC=‎4 cm.‎ 由勾股定理,得AD==3(cm).‎ 分两种情况:(1)如图①,当点P运动t秒后有PA⊥AC时,‎ ‎∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2,‎ ‎∴PD2+32=(PD+4)2-52,∴PD=‎2.25 cm,‎ ‎∴BP=4-2.25=1.75,‎ 10‎ ‎∴0.25t=1.75,解得t=7.‎ ‎(2)当点P运动t秒后有PA⊥AB时,如图②,同理可得PD=2.25,∴BP=4+2.25=6.25,‎ ‎∴0.25t=6.25,解得t=25.‎ 综上所述,当点P运动的时间为7 s或25 s时,点P与顶点A的连线与腰垂直.‎ 10‎