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- 2021-11-01 发布
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[14.2 第2课时 勾股定理在数学中的应用]
一、选择题
图K-42-1
1.如图K-42-1,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是( )
A.19 B.13 C.31 D.35
2.如果直角三角形的斜边长为20 cm,两条直角边长之比为3∶4,那么这个直角三角形的周长为( )
A.27 cm B.30 cm
C.40 cm D.48 cm
3.如图K-42-2是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为( )
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
图K-42-2
4.如图K-42-3,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C).若线段AD的长为正整数,则符合条件的点D共有( )
10
图K-42-3
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
5.如图K-42-4,在5×5的正方形网格中,从在格点上的点A,B,C,D中任取三点,所构成的三角形是直角三角形的个数是( )
图K-42-4
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
6.2016·烟台如图K-42-5,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连结OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为________.
图K-42-5
7.如图K-42-6,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,连结AC,∠DAC=∠BAC.若BC=4 cm,AD=5 cm,则AB=________cm.
图K-42-6
8.如图K-42-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分线分别交DE于点E,D,若AC=6,BC=10,则DE的长为________.
图K-42-7
10
9.如图K-42-8,正方形A1B1B2C1,正方形A2B2B3C2,正方形A3B3B4C3,…,正方形AnBnBn+1Cn按图放置,使点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,B4,…,Bn在射线OB上.若∠AOB=45°,OB1=1,图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2,S3,S4,…,Sn,则Sn=________.
图K-42-8
三、解答题
10.如图K-42-9所示,阴影(半圆)部分的面积是多少?(π取3)
图K-42-9
11.如图K-42-10,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形并涂上阴影.
(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图②、图③中,分别画一个直角三角形,使它们的三边长都是无理数(两个三角形不全等).
图K-42-10
10
12.如图K-42-11,在Rt△ABC中,∠C=90°.如果以此直角三角形三边为边,分别作三个等边三角形(如图K-42-11),其面积分别为S1,S2,S3,那么S1,S2,S3之间有什么关系?
图K-42-11
13.如图K-42-12,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
求证:AB=BC.
图K-42-12
14.把一张长方形纸片ABCD按如图K-42-13所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,BC=5 cm,求重叠部分△DEF的面积.
10
图K-42-13
15.如图K-42-14,已知D,F分别是△ABC的边BC上两点,E是边AC上一点,∠BFE=∠FEA,AB=13,AD=12,BD=5,AE=10,DF=4.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求△ABC的面积.
图K-42-14
探究题如图K-42-15,在等腰三角形ABC中,AB=AC,其底边长为8 cm,腰长为5 cm,一动点P在底边上从点B出发向点C以0.25 cm/s的速度移动,请你探究:当点P运动多长时间时,点P与顶点A的连线PA与腰垂直.
图K-42-15
10
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1.A
2.[解析] D 设两条直角边长分别为3x cm,4x cm,根据勾股定理,得(3x)2+(4x)2=202,解得x=4,则两条直角边的长分别为12 cm,16 cm,所以这个直角三角形的周长为48 cm.
3.B
4.[解析] C 如图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB=AC,
∴EC=BE=BC=4,
∴AE===3.
∵D是线段BC上的动点(不含端点B,C),
∴3≤AD<5.
∵线段AD的长为正整数,
∴AD=3或4,
当AD=3时,点D就在点E的位置,
当AD=4时,点D在点E的两侧各有一个位置,
∴符合条件的点D共有3个.故选C.
5.[解析] C 从点A,B,C,D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能,其中只有△ABD,△ADC,△ABC是直角三角形.
6.[答案]
10
[解析] ∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴OC⊥AB.
在Rt△OBC中,OC===.
∵以O为圆心,OC长为半径画弧交数轴于点M,
∴OM=OC=,
∴点M对应的实数为.
7.8 8.14
9.[答案] 22n-3
[解析] ∵OB1=1,△OB1A1是等腰直角三角形,
∴A1B1=1.
∵四边形A1B1B2C1是正方形,∴A1C1=1.
∵△A1C1A2是等腰直角三角形,
∴S1=×1×1=.
同理A2C2=2,A3C3=22,A4C4=23,…,AnCn=2n-1,
∴Sn=×2n-1×2n-1=22n—3.
10.解:(1)(2)题答案直角三角形的斜边长为=10,
那么阴影部分的面积为×π×≈37.5.
11.解:(1)(2)题答案如图,答案不唯一.
12.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴AB2=AC2+BC2.
根据等边三角形面积计算公式得S3=AB2,
10
S1=AC2,S2=BC2,
∴S1+S2=(AC2+BC2)=AB2=S3,
故S1+S2=S3.
13.证明:连结AC.
∵∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD,
∴AD2+CD2=AC2.
又∵AD2+CD2=2AB2,
∴AB2+BC2=2AB2,
即BC2=AB2.
∵CB>0,AB>0,
∴AB=BC.
14.解:由长方形纸片的折叠可得A′D=AB,A′E=AE.
在Rt△A′DE中,
由勾股定理,得A′D2+A′E2=DE2,AE+DE=AD.
设DE=x,
则A′E=AD-DE=5-x.
则32+(5-x)2=x2,
解得x=3.4,
即DE=3.4,
所以S△DEF=DE·AB=×3.4×3=5.1(cm2).
即重叠部分△DEF的面积是5.1 cm2.
10
15.解:(1)证明:∵AB=13,AD=12,BD=5,
∴AB2=BD2+AD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
(2)∵∠BFE=∠FEA,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CF=CE.
设CE=CF=x.
∵∠ADC=90°,
∴AD2+CD2=AC2,
即122+(x+4)2=(10+x)2,
解得x=5,
∴BC=5+4+5=14,
∴S△ABC=BC·AD=84.
[素养提升]
解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,BC=8 cm,
∴BD=CD=BC=4 cm.
由勾股定理,得AD==3(cm).
分两种情况:(1)如图①,当点P运动t秒后有PA⊥AC时,
∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2,
∴PD2+32=(PD+4)2-52,∴PD=2.25 cm,
∴BP=4-2.25=1.75,
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∴0.25t=1.75,解得t=7.
(2)当点P运动t秒后有PA⊥AB时,如图②,同理可得PD=2.25,∴BP=4+2.25=6.25,
∴0.25t=6.25,解得t=25.
综上所述,当点P运动的时间为7 s或25 s时,点P与顶点A的连线与腰垂直.
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