2020春八年级数学下册第20章平行四边形的判定20-5等腰梯形的判定习题课件华东师大版 36页

§20.5 等腰梯形的判定 等腰梯形的判定方法 (1)_____ 相等的梯形是等腰梯形； (2)___________________ 相等的梯形是等腰梯形； (3)_______ 相等的梯形是等腰梯形 . 两腰 在同一底上的两个角 对角线 【 预习思考 】 1. 两角相等的梯形是等腰梯形吗 ? 提示： 不一定 . 还可以是直角梯形 . 2. 在证明等腰梯形时 , 只要保证一组对边相等就可以吗 ? 提示： 不可以 . 还要保证另一组对边平行且不相等 . 等腰梯形的判定 【 例 1】(2011· 郴州中考 ) 在梯形 ABCD 中 , AD∥BC, 且 AD=DC, 对角线 BD 平分∠ ABC. 求证 : 梯形 ABCD 是一个等腰梯形 . 【 解题探究 】 1. 证明等腰梯形的一般方法 :(1) 两腰 相等的梯形是等腰梯形； (2) 在同一底上的两个角 相等的梯形是等腰梯形； (3) 对角线 相等的梯形是等腰梯形 . 2. 根据已知条件 , 要证明梯形 ABCD 是一个等腰梯形 , 应用什么方法 ? 答 : 根据已知条件 , 要证明梯形 ABCD 是一个等腰梯形 , 可以根据两腰相等的梯形是等腰梯形的方法证明 . 3.∵AD∥BC,∴∠CBD= ∠ADB , ∵BD 是∠ ABC 平分线 , ∴∠CBD= ∠ABD ,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD. ∵AD=DC,∴AB=DC, ∴ 梯形 ABCD 是一个等腰梯形 . 【 互动探究 】 如果梯形的一条对角线平分一底角 , 梯形中一定会出现等腰三角形吗 ? 提示： 一定 . 【 规律总结 】 等腰梯形判定的三种方法 (1) 根据定义 : 两腰相等的梯形→等腰梯形 . (2) 根据底角 : 在同一底上的两个角相等的梯形→等腰梯形 . (3) 根据对角线 : 对角线相等的梯形→等腰梯形 . 【 跟踪训练 】 1. 下列命题中 , 真命题是 ( ) (A) 有一组对边平行 , 另一组对边相等的四边形是等腰梯形 (B) 有一组对角互补的梯形是等腰梯形 (C) 有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 (D) 有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形 【 解析 】 选 B. 根据等腰梯形的判定方法 , 选项 B 可以判定等腰梯形 , 其余选项不能判定为等腰梯形 . 2. 在四边形 ABCD 中， AD∥BC, 但 AD≠BC, 若使它成为等腰梯形 , 则需添加的条件是 ______( 填一个正确的条件即可 ). 【 解析 】 根据等腰梯形的判定方法 , 添加条件 AB=DC 或∠ B=∠C 或 AC=BD 可以判定四边形 ABCD 为等腰梯形 . 答案： AB=DC 或∠ B=∠C 或 AC=BD( 答案不唯一 ) 3. 在 □ ABCD 中 ,AC 是一条对角线 ,∠B=∠CAD, 延长 BC 至点 E, 使 CE=BC, 连结 DE. 求证 : 四边形 ABED 是等腰梯形 . 【 证明 】 ∵ 在 □ ABCD 中 ,AD∥BC,AB=CD, ∴∠CAD=∠ACB. ∵∠B=∠CAD,∴∠ACB=∠B.∴AB=AC. ∵AB∥CD,∴∠B=∠DCE. 又∵ BC=CE,∴△ABC≌△DCE. ∴AC=DE=AB. ∵AD∥BE,∴ 四边形 ABED 为等腰梯形 . 【 变式备选 】 如图 , 梯形 ABCD 中 ,AD∥BC, 点 M 是 BC 的中点 , 且 MA=MD. 求证 : 四边形 ABCD 是等腰梯形 . 【 证明 】 ∵MA=MD,∴△MAD 是等腰三角形 . ∴∠DAM=∠ADM. ∵AD∥BC, ∴∠AMB=∠DAM,∠DMC=∠ADM. ∴∠AMB=∠DMC. ∵ 点 M 是 BC 的中点 ,∴BM=CM. ∴△AMB≌△DMC. ∴AB=DC. ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形 . 等腰梯形的判定及应用 【 例 2】(6 分 ) (2011· 茂名中考 ) 如图 , 在 等腰△ ABC 中 , 点 D,E 分别是两腰 AC,BC 上的 点 , 连接 AE,BD 相交于点 O,∠1 ＝∠ 2. (1) 求证 :OD ＝ OE ； (2) 求证 : 四边形 ABED 是等腰梯形 . 【 规范解答 】 (1) 如图 , ∵△ABC 是等腰三角形 , ∴AC ＝ BC , ∴∠BAD ＝ ∠ ABE , ……………………………… 1 分 又∵ AB ＝ BA,∠2 ＝∠ 1, ∴ △ABD ≌ △BAE ,∴BD ＝ AE, ………………………………… 2 分 又∵∠ 1 ＝∠ 2,∴ OA ＝ OB , ∴BD － OB ＝ AE － OA , 即 OD ＝ OE. ……………………………… 3 分 (2) 由 (1) 知 :OD ＝ OE, ∴∠OED ＝∠ ODE, ∴∠OED ＝ ( 180° －∠ DOE ), 同理 :∠1 ＝ ( 180° －∠ AOB ), ………………………… 4 分 又∵∠ DOE ＝∠ AOB, ∴∠1 ＝ ∠ OED ,∴DE∥AB, 易错提醒 : 证明线段 AD=BE 时 , 要选用正确方法 . ∵AD,BE 是等腰三角形两腰所在的线段 , ∴AD 与 BE 不平行 , ∴ 四边形 ABED 是梯形 , …………………………………… 5 分 又由 (1) 知 △ ABD ≌ △BAE , ∴ AD ＝ BE ∴ 梯形 ABED 是等腰梯形 . ………………………… 6 分 【 互动探究 】 平行于等腰三角形底边的直线截得的四边形一定是等腰梯形吗 ? 提示： 一定 . 【 规律总结 】 等腰三角形和等腰梯形的关系 平行线截等腰三角形 , 四边形一定是等腰梯形 , 等腰梯形两腰交一点 , 等腰三角形一定会出现 . 【 跟踪训练 】 4. 下列命题正确的是 ( ) (A) 梯形的对角线相等 (B) 等腰梯形的对角线相等且互相平分 (C) 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (D) 只有两个角相等的梯形是等腰梯形 【 解析 】 选 C. 等腰梯形的对角线相等 , 选项 A 错误；等腰梯形的对角线相等，但一定不互相平分 , 选项 B 错误；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 , 选项 C 正确；只有同一底上的两个角相等的梯形才是等腰梯形 , 选项 D 错误 . 5. 如图 ,DE∥BC, 则四边形 BCED 为 _____ ； 要使 BCED 为等腰梯形 , 对△ ABC 还应添加 条件 _________. 【 解析 】 因为 DE∥BC,∴ 四边形 BCED 为 梯形；要使 BCED 为等腰 梯形 , 对△ ABC 添加条件∠ B=∠C 或 AB=AC 即可 . 答案： 梯形 ∠ B=∠C 或 AB=AC 6. 如图所示 ,AD 是∠ BAC 的平分线 , DE∥AB,DE=AC,AD≠EC. 求证：四边形 ADCE 是等腰梯形 . 【 证明 】 ∵AB∥ED,∴∠BAD=∠ADE. 又∵ AD 是∠ BAC 的平分线 , ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CAD=∠ADE, ∴OA=OD. 又 ∵ AC=DE,∴AC-OA=DE-OD ， 即 OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC, 又∵∠ AOD=∠COE, ∴∠CAD=∠OCE ，∴ AD∥CE, 而 AD≠CE, 故四边形 ADCE 是梯形 . 又∵∠ CAD=∠ADE,AD=DA,AC=DE, ∴△DAC≌△ADE,∴DC=AE, ∴ 四边形 ADCE 是等腰梯形 . 1. 下列说法 :① 对角线相等的梯形是等腰梯形；②对角线互相垂直的矩形是正方形 . 其中 ( ) (A)① 正确 ,② 不正确 (B)①,② 都正确 (C)①,② 都不正确 (D)① 不正确 ,② 正确 【 解析 】 选 B. 根据等腰梯形和正方形的判断方法 , 命题① ,② 都正确 . 2. 在梯形中 , 若有两个角相等 , 那么它一定为 ( ) (A) 等腰梯形 (B) 直角梯形 (C) 一般梯形 (D) 直角或等腰梯形 【 解析 】 选 D. 两个角是底角时 , 梯形为等腰梯形；两个角是同一腰上的角时 , 梯形为直角梯形 . 3. 有一梯形的一个底角为 60°, 两底之差为一腰长 , 则这个梯形为 ______ 梯形 . 【 解析 】 如图 , 作 DE∥AB, 则四边形 ABED 为平行四边形 ,∴AB=DE ， EC=BC-BE=BC-AD=DC, 当∠ C=60° 时 ,△DEC 为等 边三角形 , 即 DC=DE=AB, 所以梯形 ABCD 为等腰梯形 . 当∠ B=60° 时，因为 DE∥AB, 所以∠ DEC=∠B=60° ， 所以△ DEC 为等边三角形 , 即 DC=DE=AB, 所以梯形 ABCD 为等腰梯形 . 答案： 等腰 4. 如图 , 在由六个全等的正三角形拼成的图形中 , 等腰梯形的 个数是 ________ 个 . 【 解析 】 ∵AB∥FC,AF 不平行 BC. 又∵ AF=BC,∴ 四边形 ABCF 是等腰梯形 . 同理四边形 BCDA, 四边形 CDEB, 四边形 DEFC, 四边形 EFAD, 四边形 FABE 也是等腰梯形 . 从而符合定义的共有 6 个 . 答案： 6 5. 如图所示 , 在△ ABC 中 ,AB=AC,BD,CE 分别为∠ ABC,∠ACB 的平分线 , 证明四边形 EBCD 为等腰梯形 . 【 证明 】 ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD,CE 分别平分∠ ABC,∠ACB, ∴∠DBC=∠ECB. 又∵ BC=BC, ∴△EBC≌△DCB. ∴BE=CD. ∴AB-BE=AC-CD, 即 AE=AD. ∴∠AED=∠ADE. ∴∠ABC=∠AED= ∴ED∥BC. 又∵ BE 与 CD 交于点 A. ∴BE 与 CD 不平行 . ∴ 四边形 EBCD 是等腰梯形 .