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- 2021-11-01 发布
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12.3 角的平分线的性质
教学目标
知识与技能
1.能够利用三角形全等,证明角平分线的性质和判定.
2.会用尺规作已知角的平分线.
3.能利用角平分线性质进行简单的推理,解决一些实际问题.
过程与方法
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
情感态度价值观
在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神
教学重点
角平分线画法、性质和判定.
教学难点
角的平分线的性质的探究
教学准备
平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等.
教学过程(师生活动)
设计理念
创设情境,导入新课
1.在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法,如何确定角的平分线?
2. 有一个简易平分角的仪器(如图),其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点,AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么?
复习旧知识,回忆角的平分线的定义
让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明.
要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由.
探索新知,建立模型
探究1.
(1)从上面对平分角的仪器的探究中,可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么?求作什么?
【已知:∠AOB
求作:∠AOB的平分线】
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
【以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.】
从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.
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(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
【分别以点M,N为圆心,大于二分之一MN长为半径画弧,两弧在角的内部交于点C.
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
【是】
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
【提示:利用全等的性质】
探究2.
(1)在已画好的角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于M、N, PM、PN的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离。量出它们的长度,你发现了什么?
【多媒体课件动态演示(可用“几何画板”制作),当拖动∠AOB平分线OC上的点P时,观察PM、PN(PM⊥OA,PN⊥OB)度量值的变化规律.
探究结果后可得到:PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN】
(2)你能归纳角的平分线的性质吗?
【角的平分线上的点到角的两边的距离相等】
(3)你能用三角形全等证明这个性质吗?
探究3.
那么若一个点到角两边的距离相等,这个点是否在这个角的平分线上呢?
培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.
让学生体验成功
在已有成功经验的基础上,继续探究与应用,提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验.
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如图,已知PD⊥OA,PE⊥OB,且PD =PE,那么P点在∠AOB的平分线上吗?为什么?
归纳:
角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
在说理的过程中加深对角平分线性质、判定定理的理解.
解析、应用与拓展
思考:
如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)?
问题1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1:20000是什么意思?
结论:
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点500米处.
2.图中1cm表示实际距离200m的意思.
作图如下:
第一步:作∠AOB的平分线OP.
发展学生应用数学的意识与能力
只要作法合理,均应给予肯定.
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第二步:在射线OP上截取OC=2.5cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了.
例题讲解:
如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析:点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离,也就是说要证:PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线,根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
巩固练习教材50页练习1,2
小结与作业
小结提高
我们学习了关于角平分线的两个性质:
①角平分线上的点到角的两边的距离相等;
②角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性.
与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等来得出线段相等.
通过小结归纳,完善学生对知识的梳理.
布置作业
1.必做题:
2.选做题:
本题是对所学内容的复习,又为下节课学习做准备.
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