2020春八年级数学下册第19章全等三角形单元复习习题课件华东师大版 46页

第 19 章 单元复习课 一、相关概念 1. 定义的概念理解 在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义 加以描述，作出明确的规定，也就是给它们下定义 . (1) 定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如： “一些”“大概”“差不多”等不能在定义中出现 . (2) 定义是几何推理的依据，要正确理解、熟练识记，为以后的 推理打好基础 . 比如： 若 AB⊥CD 于 O ，则∠ AOC ＝ 90°( 垂直定义 ). 反过来，若∠ AOC ＝ 90° ，则 AB⊥CD( 垂直定义 ). 定义既可以当性质用，也可以当判定用，是我们思考问题的出 发点和目标 . 2. 命题的概念理解 叙述一件事情的句子 ( 陈述句 ) ，如果要么是真的，要么是假 的，那么称这个陈述句是一个命题 . 即：命题是判断一件事情真 假的句子 . 各种形式的句子，只有构成为“是”或“不是”的形 式，才能称为命题 . 判定一个语句是否为命题，注意两条： (1) 命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句 ( 包括肯定句和 否定句 ). (2) 必须对某件事情作出肯定或者否定的判断 . 命题的组成：每个命题都是由条件和结论组成的 . 条件是已知事 项，结论是由已知事项推断出的事项 . 命题的特征：一般情况下，命题可以写成“如果 …… ，那 么 ……” 或“若 …… ，则 ……” 等形式 . 其中“如果”或“若” 引出的部分是条件，有时这些字样前面还有前提条件 . 这个前提 条件也属于条件，“那么”或“则”引出的部分是结论 . 对于条 件和结论不明显的命题，要经过分析，先把它改写成“如 果 …… ，那么 ……” 的形式，然后再确定条件和结论 . 命题的分类：命题分为真命题、假命题两类 . 3. 命题与逆命题 将命题“若 p ，则 q” 中的条件和结论互换，便可以得到一个新 的命题“若 q ，则 p” ，我们称这样的两个命题为互逆的命题， 其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题 . 4. 能够完全重合的两个图形叫做全等形 . 能够完全重合的两个三 角形叫做全等三角形 . 两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做 对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应 角 . 夹边就是三角形中相邻两角的公共边 . 夹角就是三角形中有 公共端点的两边所成的角 . (1)“ 全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于” . 如：△ ABC 和△ A′B′C′ 全等，记作“△ ABC≌△A′B′C′”. (2) 记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应 的位置上 . (3) 因为能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角 是相等的角，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等 . 这是 全等三角形的性质 . 5. 垂直平分线 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线，也叫线段的中垂线 . (1) 线段的垂直平分线是线段的对称轴 . (2) 用集合的观点来描述线段的垂直平分线为：到线段两端点距 离相等的所有点的集合 . 6. 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角 的平分线 . (1) 角平分线是一条射线，不是直线也不是线段 . (2) 角平分线用集合的观点描述为：到角两边距离相等的所有点 的集合 . 二、性质和判定 1. 真假命题的判定 命题真假判定，真命题需要依据公理、定理等推理证明，要说 明一个命题是假命题，先分清命题的题设和结论，然后可以举 出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论 . 这种 例子称为反例 . 注意：对于假命题并不要求在题设成立时，结论一定错误 . 事实 上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了 . 因 此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以 了 . 2. 三角形全等的识别方法 (1) 三条边分别对应相等的两个三角形全等，简记为 S.S.S.. (2) 两边及这两边的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为 S.A.S.. (3) 两个角及这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等，简记 为 A.S.A.. (4) 两个角及其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等， 简记为 A.A.S.. (5) 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那 么这两个直角三角形全等，简记为 H.L.. 3. 线段中垂线的性质及判定 (1) 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的 距离相等 . (2) 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上 . 它们用几何语言表示为： 如图：若 PC⊥AB,AC=BC, 则 PA=PB. 反之： 若 PA=PB ，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . 说明： ①性质定理反映了线段垂直平分线上的点的纯粹性，判定定理 反映了线段垂直平分线上的点的完备性 . 性质定理主要应用于证 明线段的相等，判定定理用于证明两线垂直或一线段被某条线 段垂直平分，还可以确定具备某种性质的点的位置，从而作出 图形 . ② 对线段垂直平分线性质的理解，可以采用动手折叠的实验方 法，并通过变换的方法探究其性质，在探究的过程中，注意观 察操作与归纳推理相结合 . 4. 角平分线的性质定理和判定定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等 . 角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上 . 用几何语言描述为： OC 平分∠ AOB PD⊥OA,PE⊥OB PD⊥OA,PE⊥OB PD=PE ⇒ PD=PE ⇒ OC 平分∠ AOB 全等三角形 命题、公理与定理 全等三角形的判定 直角三角形全等的判定 基本作图 互逆命题 逆命题与逆定理 （ S.A.S. ） H.L. 等腰三角形的性质定理与判定定理 角平分线的性质定理与判定定理 线段的垂直平分线的性质定理与判定定理 互逆定理 尺规作图 （ A.S.A.) （ S.S.S.) （ A.A.S.) 全等三角形性质与判定 【 相关链接 】 全等三角形可从应用和判定两个角度分析 (1) 应用 : 几何中有关线段和角相等的问题一般通过构建三角形 全等来解决 . 这是解决相等问题首先要考虑的方法 . (2) 判定 : 全等三角形的判定要根据不同的条件灵活应用不同的 判定方法 , 在应用判定定理的时候 , 注意隐含条件的应用 : 如对顶 角相等、公共边 ( 角 ) 相等、直角相等的应用；如果是两个直角 三角形 , 首先要考虑 H.L. 定理的应用 , 然后再考虑一般判定定理 的应用 . 【 例 1】(2011· 漳州中考 ) 如图 ,∠B= ∠D, 请在不增加辅助线的情况下 , 添加 一个适当的条件 , 使△ ABC≌△ADE, 并 证明 . (1) 添加的条件是 __________ ； (2) 证明 : 【 思路点拨 】 三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有 一组对应边相等，普通两个三角形全等共有四个定理，即 A.A.S. 、 A.S.A. 、 S.A.S. 、 S.S.S.. 由此可添加的条件有： ① AB=AD,②BC=DE,③AC=AE 等 . 【 自主解答 】 (1) 添加的条件是 :AB=AD,( 答案不唯一 ) ； (2) 证明 : 在△ ABC 和△ ADE 中 , ∴△ABC≌△ADE(A.S.A.). 线段垂直平分线与角平分线的应用 【 相关链接 】 应用线段垂直平分线与角平分线可以从以下三个方面考虑 (1) 应用线段垂直平分线和角平分线 , 可以方便的证明线段相等 或角相等 , 这也是几何证明中常用的方法之一； (2) 线段及线段的垂直平分线 , 角及角的平分线都是轴对称图形 , 图形里隐含全等或相等的关系 , 要加以总结； (3) 线段垂直平分线与角平分线的性质定理和判定定理是互逆 定理 , 在解题的时候要整体考虑 , 灵活选用 . 【 例 2】(2011· 乐山中考 ) 如图 , 在 直角△ ABC 中 ,∠C=90°,∠CAB 的平 分线 AD 交 BC 于 D, 若 DE 垂直平分 AB, 求∠ B 的度数 . 【 思路点拨 】 根据 DE 垂直平分 AB, 求证∠ DAE=∠B, 再利用角平分 线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠ B 的度数 . 【 自主解答 】 ∵ 在直角△ ABC 中 ,∠C=90°,∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D, ∵DE 垂直平分 AB,∴AD=BD, ∴∠DAE=∠B, ∴3∠B=90°,∴∠B=30°. 答 : 若 DE 垂直平分 AB,∠B 的度数为 30°. 尺规作图及应用 【 相关链接 】 尺规作图主要考查学生分析问题、解决问题和动手操作的能力 . 尺规作图的作图步骤 (1) 根据题意 , 画出草图； (2) 分清题意 , 选择步骤； (3) 按部就班 , 作出图形； (4) 保留痕迹 , 写出结论 . 【 例 3】(2012· 兰州中考 ) 如图 (1), 矩形纸片 ABCD, 把它沿对角 线 BD 向上折叠 . (1) 在图 (2) 中用实线画出折叠后得到的图形 ( 要求尺规作图 , 保 留作图痕迹 , 不写作法 ) (2) 折叠后重合部分是什么图形 ? 说明理由 . 【 思路点拨 】 (1) 依据全等三角形的判定定理 , 可以由 S.S.S. 或 S.A.S. 作出折叠的三角形； (2) 由等腰三角形的判定定理得出结论 . 【 自主解答 】 (1) 作法参考 ( 答案不唯一 ) 分别以点 D ， B 为圆心 ,DC,BC 为半径画弧 , 两弧交点为 E, 连结 DE,BE, 则△ DEB 即为折叠后的图形 . (2) 重合部分为等腰三角形 . 理由 : ∵△DCB≌△DEB,∴∠FDB=∠CDB. 又∵ AB∥DC,∴∠CDB=∠FBD. ∴∠FDB=∠FBD,∴FD=FB, ∴△FDB 为等腰三角形 . 【 命题揭秘 】 结合近年中考试题分析 , 全等三角形及其应用是中考的高频考 点 , 既有选择、填空题 , 也有中低档的证明题 , 在综合题中常要 用到全等证得线段或角的相等；因为线段垂直平分线与角平分 线可以方便的得出线段或角的相等 , 该部分知识一般作为解题 工具使用 , 一般不单独成题 . 1. 下列说法中 , 正确的是 ( ) (A) 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 (B) 两锐角对应相等的两个直角三角形全等 (C) 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (D) 面积相等的两个三角形全等 【 解析 】 选 C. 选项 A 两腰对应相等的两个等腰三角形 , 只有两边 对应相等 , 所以不一定全等；选项 B 两锐角对应相等的两个直角 三角形 , 缺少对应的一对边相等 , 所以不一定全等；选项 C 两角及 其夹边对应相等的两个三角形全等 , 符合 A.S.A. ；选项 D 面积相 等的两个三角形不一定全等 . 故选 C. 2.(2012· 乐山中考 ) 下列命题是假命题的是 ( ) (A) 平行四边形的对边相等 (B) 四条边都相等的四边形是菱形 (C) 矩形的两条对角线互相垂直 (D) 等腰梯形的两条对角线相等 【 解析 】 选 C. 矩形的两条对角线只能相等且互相平分 , 不能互相 垂直 . 3.(2012· 聊城中考 ) 如图 , 四边形 ABCD 是平行四边形 , 点 E 在 BC 上 . 如果点 F 是边 AD 上的点 , 那么△ CDF 与△ ABE 不一定全等的条件是 ( ) (A)DF=BE (B)AF=CE (C)CF=AE (D)CF∥AE 【 解析 】 选 C. 结合平行四边形性质 , 如果 DF=BE, 则与∠ B=∠D, AB=CD, 恰好满足 (S.A.S.) 全等条件 , 即△ CDF≌△ABE ；如果 AF=CE, 因为 AD=CB, 所以 DF=BE, 结合选项 A, 能够判断△ CDF≌ △ABE ；如果 CF=AE, 判断两三角形全等条件不具备；如果 CF∥AE, 则四边形 AECF 是平行四边形 , 则有 AE=CF,CE=AF, 于是 BE=DF, 而 AB=CD, 所以具备三角形全等条件 S.S.S.. 4. 如图 ,AC ， BD 相交于点 O,∠A=∠D, 请你再补充一个条件 , 使得 △ AOB≌△DOC, 你补充的条件是 ______________. 【 解析 】 添加 AO=DO 或 AB=DC 或 BO=CO 后可分别根据 A.S.A. 、 A.A.S. 、 A.A.S. 判定△ AOB≌△DOC. 答案： AO=DO( 或 AB=DC 或 BO=CO. 答案不唯一 ) 【 归纳整合 】 根据已知，添加条件证明三角形全等，答案一般 不唯一 . 例如，已知一边和一角可添加另一边凑成两边夹角；或 添加一角凑成角角边；也可以改成添加平行线得到相等的角的 方法，总之，要根据条件灵活运用所学知识进行解答 . 5. 如图 ,△ABC 中 ,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 上的点 , 已知 DF∥BC,EF∥AB, 请补充一 个条件 :_________ 使△ ADF≌△FEC. 【 解析 】 若添加 AF=FC, 已知 DF∥BC,EF∥AB, 得出∠ ADF=∠ABC= ∠FEC,∠AFD=∠C, 可以根据 A.A.S. 来判定其全等 , 添加 DF=EC, 利用 A.S.A., 或 AD=EF, 可以利用 A.A.S. 来判定其全等 . 答案： AF=FC( 或 DF=EC, 或 AD=EF) 6.(2012· 绵阳中考 ) 如图 BC=EC,∠1=∠2, 要使△ ABC≌△DEC, 则应添加的一个条件 为 ________.( 答案不唯一 , 只需填一个 ) 【 解析 】 若根据 S.A.S. 证明时 , 则可以添加 CD=CA ；若根据 A.A.S. 证明时 , 则可以添加∠ A=∠D ；若根据 A.S.A. 证明时 , 则可以添加 ∠ B=∠E. 答案： ∠ B=∠E( 答案不唯一 ) 7.(2012· 广州中考 ) 如图 , 点 D 在 AB 上 , 点 E 在 AC 上 ,AB=AC,∠B=∠C. 求证 :BE=CD. 【 证明 】 在△ ABE 和△ ACD 中 , ∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD. 8.(2012· 义乌中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 , 点 D 是 BC 的中点 , 作射线 AD, 在线段 AD 及 其延长线上分别取点 E,F, 连接 CE,BF. 添加一个条件 , 使得△ BDF≌△CDE, 并加以证明 . 你添加的条件是 ___________.( 不添加辅助线 ) 【 解析 】 (1) 添加的条件是 :DE=DF( 或 CE∥BF 或∠ ECD=∠DBF 或 ∠ DEC=∠DFB 等 ). (2) 添加 DE=DF 时，证明如下： 在△ BDF 和△ CDE 中 , ∴△BDF≌△CDE.