数学冀教版八年级上册教案17-4直角三角形全等的判定 8页

- 1 - 17.4 直角三角形全等的判定 教学目标 【知识与能力】 1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单应用. 2.会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等. 3.会利用基本作图完成:已知一直角边和斜边作直角三角形. 【过程与方法】 1.使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程. 2.培养学生观察、类比、猜测的思维能力. 【情感态度价值观】 1.充分调动学生的积极性、主动性,增强学生的 自信心. 2.培养团队协作的风格,养成独立思考、勇于探索真理、追求真理的习惯. 3.培养学生动手、动脑,发现问题、解决问题的能力. 教学重难点 【教学重点】 探究直角三角形全等的条件. 【教学难点】 灵活运用直角三角形全等的条件进行证明. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 师:三角形全等的判定方法有哪些? 生甲:SSS(三边对应相等的两个三角形全等). 生乙:ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等). 生丙:SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等). 生丁:AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等). 师:有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等?你能通过画图说明理由吗? 学生讨论, 教师举例. 【课件 1】 如图所示,举反例说明 SSA 不能判定两个三角形全等. - 2 - 师:SSA 不能作为定理的根本原因是什么? 生:是 AC 不能固定,能够左右摆动. 师:要是我们能使 AC 只有一种情况,就能证明全等了,应如何办呢? 生 : 过 A 作 BC 的 垂 线 , 则 AC 就 只 有 一 种 情 况 . 如 图 所 示 . 师:很好,本节课我们就学习两个直角三角形全等的判定.板书课题. [设计意图] 巩固旧知识,有利于新知识的学习,通过抢答可以提高课堂气氛. 导入二: 【课件 2】 问题: 1.判定两个三角形全等的方法: 、 、 、 . 2.如图所示,RtΔABC 中,直角边是 、 ,斜边是 . 3.如图所示,AB⊥BE 于 B,DE⊥BE 于 E, (1)若∠A=∠D,AB=DE,则ΔABC 与ΔDEF (填“全等”或“不全等”),根据 (用 简写法); (2)若∠A=∠D,BC=EF,则ΔABC 与ΔDEF (填“全等”或“不全等”),根据 (用 简写法); - 3 - (3)若 AB=DE,BC=EF,则ΔABC 与ΔDEF (填“全等”或“不全等”),根据 (用 简写法); (4)若 AB=DE,BC=EF,AC=DF 则ΔABC 与ΔDEF (填“全等”或“不全等”),根据 (用简写法). [设计意图] 学生填空,回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知 识,并为后续问题的探究做铺垫. 导入三: 【课件 3】 快来吧,本节将带我们一起探索判定直角三角形全等的方法,领略推理证明的数学奥秘,上面 的问题就很容易解决了. [设计意图] 通过生动的情境导入,让学生产生学习的兴趣,从而能积极地投入到本节课的 学习之中. 二、新知构建： 活动一:“斜边、直角边”判定定理的探究 思路一 [过渡语] 直角三角形是三角形中比较特殊的图形,那么两个直角三角形具备怎样的条件 能够全等呢? 【课件 4】 舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. (1)你能帮他想个办法吗? (2) 如 果 他 只 带 了 一 个 卷 尺 , 能 完 成 这 个 任 务 吗 ? 方法一:测量斜边和一个对应的锐角(AAS); 方法二:测量没被遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或 AAS). 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别相等,于是他就肯定 “两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗? [设计意图] 在问题中总结三角形全等的判定方法,说明所有判定方法都适合直角三角形全 等的判定. 引出作为特殊三角形的直角三角形有特殊的判定方法. 教师说明:我们已经知道三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知两边对应相等的 两个直角三角形,其第三边一定相等.从而这两个直角三角形一定全等.因此斜边和一条直角 边对应相等的两个直角三角形全等. 怎样利用勾股定理证明这个命题呢? - 4 - 指导学生画出图形,写出已知、求证. 【课件 5】 已知:如图所示,在ΔABC 和ΔA'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'. 求证:ΔABC≌ΔA'B'C'. 证明:在ΔABC 和ΔA'B'C'中, ∵∠C=90°,∠C'=90°, ∴BC2=AB2-AC2, B'C'2=A'B'2-A'C'2(勾股定理). ∵AB=A'B',AC=A'C', ∴BC=B'C'. ∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SSS). 归纳:直角三角形全等的判定定理:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. [知识拓展] 对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个 直角三角形就全等了,如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形也全等.三角形 全等的各个条件中,一个必要的条件是至少有一条边对应相等. 思路二 我们已经知道,对于两个三角形,如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边” 分别对应相等,那么这两个三角形一定全等,如果有“角角角”分别对应相等,那么不能判定 这两个三角形全等,这两个三角形的大小可以不同.如果有“边边角”分别相等,那么也不能 保证这两个三角形全等. 那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别对应相等时,也具有“边边角”对应相等 的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢? 【课件 6】 如图(1)所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的 线段为一条直角边,画一个直角三角形. 把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较,所有的直角三角形都全等吗? 换两条线段,试试看,是否有同样的结论? 步: 1.画一线段 AB,使它等于 4 cm; - 5 - 2.画∠EAB=90°; 3.以点 B 为圆心,以 5 cm 长为半径画弧,交射线 AE 于点 C; 4.连接 BC. ΔABC 即为所求,如图(2)所示. 【 课 件 7 】 如 图 所 示 , 在 Rt Δ ABC 和 Rt Δ A'B'C' 中 , 已 知 ∠ ACB= ∠ A'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'. 由于直角边 AC=A'C',我们移动其中的 RtΔABC,使点 A 与点 A'、点 C 与点 C'重合,且使点 B 与点 B'分别位于线段 A'C'的两侧.因为∠ACB=∠A'C'B'=90°,所以∠B'C'B=∠ACB+∠ A'C'B'=180°,因此点 B,C',B'在同一条直线上,于是在ΔA'B'B 中,由 AB=A'B'(已知),得∠ B=∠B'.由“角角边”便可知这两个三角形全等,于是可得: 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为 HL(或斜边、直角边). 活动二:例题讲解 [过渡语] 刚才通过同学们的探究,我们已经了解了“斜边、直角边”定理,下面我们就应 用这一定理来解决一些问题. 【课件 8】 已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形. 已知:如图所示,线段 a,c. 求作:ΔABC,使∠C=90°,BC=a,AB=c. 分析:首先作出边 BC,由∠C 为直角可以作出另一直角边所在的射线,由 AB=c 可以确定点 A. 作法:如图所示. (1)作线段 CB=a. (2)过点 C,作 MC⊥BC. (3)以 B 为圆心,c 为半径画弧,交 CM 于点 A. (4)连接 AB. - 6 - 则ΔABC 即为所求. 与同桌所作的进行比较,是否重合. 结论:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. 【课件 9】 已知:如图(1)所示,点 P 在∠AOB 的内部,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为 C,D,且 PC=PD. 求证:点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明:如图(2)所示,作射线 OP. ∵PC⊥OA,PD⊥OB. ∴∠PCO=∠PDO=90°, 在 RtΔOPC 和 RtΔOPD 中, ∵ ‴ = (已知), = (公共边), ∴RtΔOPC≌RtΔOPD(HL). ∴∠POA=∠POB. ∴OP 是∠AOB 的平分线, 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 思考:这个命题与角平分线的性质定理有什么区别?通过这道题,你能得到怎样的结论? 归纳:角平分线性质定理的逆定理:到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. [设计意图] 利用直角三角形全等的判定定理证明角平分线性质定理的逆定理,理解知识间 的必然联系. 【课件 10】 ( 补 充 例 题 ) 如 图 所 示 ,AC ⊥ BC,BD ⊥ AD, 垂 足 分 别 为 C,D,AC=BD. 求 证 BC=AD. 〔解析〕 欲证 BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有ΔABD 和ΔBAC,ΔADO 和ΔBCO(O 为 DB,AC 的交点),经过分析,ΔABD 和ΔBAC 具备全等的条件. 证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD. ∴∠C 与∠D 都是直角. - 7 - 在 RtΔABC 和 RtΔBAD 中, = , ‴ = , ∴RtΔABC≌RtΔBAD(HL). ∴BC=AD. 想一想: 你能用几种方法判定两个直角三角形全等? 直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,还 有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”. 【课件 11】 练一练: 1. 如图所示,两根长度为 12 米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在 地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由. 学生独立思考完成,教师点评. 2. 如图所示,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方面的长 度 DF 相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系? 下面是三名同学解决第 2 题的思考过程,你能明白他们的意思吗? (1) ‴ = , ‴ = , ∠ ‴ = ∠ = 90 ° →RtΔABC≌RtΔDEF→∠ABC=∠DEF→∠ABC+∠DFE=90°. (2)有一条直角边和斜边对应相等,所以 RtΔABC 与 RtΔDEF 全等.所以∠ABC=∠DEF,所以∠ ABC+∠DFE=90°. (3)在 RtΔABC 和 RtΔDEF 中,BC=EF,AC=DF,所以 AB=DE,因此这两个直角三角形是全等的,所 以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°. 说明:这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个 学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂这三位同学的思考过程就可以了. 三、课堂小结： 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时,直角三角形又是 - 8 - 特殊的三角形,有它的特殊性,“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法,所以直角三角 形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.