八年级上册数学人教版第12章 全等三角形 测试卷（2） 46页

第 1页（共 46页） 第 12 章 全等三角形 测试卷（2） 一、选择题 1．如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的点，且 AG=CE，AE⊥EF，AE=EF， 现有如下结论： ①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边中点，BD、CE 交于点 H，BE、AH 交于 点 G，则下列结论： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点 E，F 在 AC 上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加 的一个条件是（ ） A．∠A=∠CB．∠D=∠BC．AD∥BC D．DF∥BE 二、填空题 第 2页（共 46页） 4．如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，AB=2，BC=2 ，点 E，F 分别是线段 AB， AD 上的点，连接 CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且 CE=CF 时，AE+AF= ． 5．如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF=BE，那么∠AOD 的度数是 ． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，∠GMB= ∠A，BG ⊥MG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= cm． 7．如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论： ①△EBF≌△DFC；②四边形 AEFD 为平行四边形；③当 AB=AC，∠BAC=120°时， 四边形 AEFD 是正方形．其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的序号）． 三、解答题 8．如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，AB∥CD，AE=DF， ∠A=∠D． （1）求证：AB=CD． （2）若 AB=CF，∠B=30°，求∠D 的度数． 第 3页（共 46页） 9．如图，CD 是△ABC 的中线，点 E 是 AF 的中点，CF∥AB． （1）求证：CF=AD； （2）若∠ACB=90°，试判断四边形 BFCD 的形状，并说明理由． 10．如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD． 11．如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，F 是 CD 的中点，过点 C 作 AB 的 平行线交 BF 的延长线于点 E，连接 AE． （1）求证：EC=DA； （2）若 AC⊥CB，试判断四边形 AECD 的形状，并证明你的结论． 12．【问题探究】 （1）如图 1，锐角△ABC 中分别以 AB、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD， 使 AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接 BD，CE，试猜想 BD 与 CE 的大小关系， 第 4页（共 46页） 并说明理由． 【深入探究】 （2）如图 2，四边形 ABCD 中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°， 求 BD 的长． （3）如图 3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长． 13．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点 D 是 AB 的中点，点 P 是 AB 上的一个动点（点 P 与点 A、B 不重合），矩形 PECF 的顶点 E，F 分别在 BC，AC 上． （1）探究 DE 与 DF 的关系，并给出证明； （2）当点 P 满足什么条件时，线段 EF 的长最短？（直接给出结论，不必说明理 由） 14．如图，△ABC 和△EFD 分别在线段 AE 的两侧，点 C，D 在线段 AE 上，AC=DE， AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD． 15．如图，已知∠ABC=90°，D 是直线 AB 上的点，AD=BC． （1）如图 1，过点 A 作 AF⊥AB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明； 第 5页（共 46页） （2）如图 2，E 是直线 BC 上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD 相交于点 P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 16．如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 AE=DF，连接 BE， AF．求证：BE=AF． 17．如图，在△ABC 中，已知 AB=AC，AD 平分∠BAC，点 M，N 分别在 AB，AC 边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN． 18．在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 翻折，使点 C 落在点 E 处，BE 和 AD 相交于点 O，求证：OA=OE． 19．如图，在△ABD 和△FEC 中，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 AB=FE，BC=DE， ∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE． 第 6页（共 46页） 20．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE． 21．已知△ABC，AB=AC，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF． （1）如图 1，连接 BD，AF，则 BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如图 2，M 为 AB 边上一点，过 M 作 BC 的平行线 MN 分别交边 AC，DE， DF 于点 G，H，N，连接 BH，GF，求证：BH=GF． 22．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以 AB，AC 为直角边向 外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE，G 为 BD 的中点，连接 CG，BE，CD，BE 与 CD 交于点 F． （1）判断四边形 ACGD 的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD． 23．如图，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上任意一点，连接 AG，DE⊥AG 于 E，BF 第 7页（共 46页） ∥DE 交 AG 于 F，探究线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系，并说明理由． 24．已知：如图，在△ABC 中，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、AD，其交 点为 O．求证： （1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD． 25．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形 ABCD 是一个筝形， 其中 AB=CB，AD=CD．对角线 AC，BD 相交于点 O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别 是 E，F．求证 OE=OF． 26．如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DE⊥AF，垂 足为点 E． （1）求证：DE=AB． （2）以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G．若 BF=FC=1，试求 的长． 第 8页（共 46页） 27．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD． 28．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D． 29．如图，已知 D 在△ABC 的 BC 边上，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F． （1）求证：AE=DF； （2）若 AD 平分∠BAC，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由． 30．如图，过∠AOB 平分线上一点 C 作 CD∥OB 交 OA 于点 D，E 是线段 OC 的中 点，请过点 E 画直线分别交射线 CD、OB 于点 M、N，探究线段 OD、ON、DM 之 间的数量关系，并证明你的结论． 第 9页（共 46页） 第 10页（共 46页） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的点，且 AG=CE，AE⊥EF，AE=EF， 现有如下结论： ①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出 BG=BE，根据勾 股定理得出 BE= GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC， 根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断 ③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE 和△ECH 不相似，即可 判断④． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE， 由勾股定理得：BE= GE，∴①错误； ∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°， ∴∠GAE+∠AEG=45°， 第 11页（共 46页） ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°， ∴∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE 和△CEF 中 ∴△GAE≌△CEF，∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°， ∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE 和△ECH 不相似，∴④错误； 即正确的有 2 个． 故选 B． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判 定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大． 2．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边中点，BD、CE 交于点 H，BE、AH 交于 点 G，则下列结论： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 第 12页（共 46页） 【专题】压轴题． 【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°； 最后在△AGE 中根据三角形的内角和是 180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根 据 tan∠ABE=tan∠EAG= ，得到 AG= BG，GE= AG，于是得到 BG=4EG，故②正 确；根据 AD∥BC，求出 S△BDE=S△CDE，推出 S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S △CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD， 故④正确； 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形，E 是 AD 边上的中点， ∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， 在△BAE 和△CDE 中 ∵ ， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE=∠DCE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH 和△CDH 中， ， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠HAD=∠HCD， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD， ∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG⊥BE，故①正确； ∵tan∠ABE=tan∠EAG= ， 第 13页（共 46页） ∴AG= BG，GE= AG， ∴BG=4EG，故②正确； ∵AD∥BC， ∴S△BDE=S△CDE， ∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH， 即；S△BHE=S△CHD，故③正确； ∵△ADH≌△CDH， ∴∠AHD=∠CHD， ∴∠AHB=∠CHB， ∵∠BHC=∠DHE， ∴∠AHB=∠EHD，故④正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面 积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ② 四个内角相等，都是 90 度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角． 3．如图，点 E，F 在 AC 上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加 的一个条件是（ ） A．∠A=∠CB．∠D=∠BC．AD∥BC D．DF∥BE 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B 时，△ADF≌△CBE． 【解答】解：当∠D=∠B 时， 第 14页（共 46页） 在△ADF 和△CBE 中 ∵ ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定 方法是解题关键． 二、填空题 4．如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，AB=2，BC=2 ，点 E，F 分别是线段 AB， AD 上的点，连接 CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且 CE=CF 时，AE+AF= ． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形． 【专题】压轴题． 【分析】过点 F 作 FG⊥AC 于点 G，证明△BCE≌△GCF，得到 CG=CB=2 ，根据 勾股定理得 AC=4，所以 AG=4﹣2 ，易证△AGF∽△CBA，求出 AF、FG，再求 出 AE，得出 AE+AF 的值． 【解答】解：过点 F 作 FG⊥AC 于点 G，如图所示， 在△BCE 和△GCF 中， ， ∴△BCE≌△GCF（AAS）， ∴CG=BC=2 ， ∵AC= =4， ∴AG=4﹣2 ， ∵△AGF∽△CBA 第 15页（共 46页） ∴ ， ∴AF= = ， FG= = ， ∴AE=2﹣ = ， ∴AE+AF= + = ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性 质，有一定的综合性，难易适中． 5．如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF=BE，那么∠AOD 的度数是 90° ． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA 与∠BAE 的关系，根据余角 的性质，可得∠ODA 与∠OAD 的关系，根据直角三角形的判定，可得答案． 【解答】解：由 ABCD 是正方形，得 AD=AB，∠DAB=∠B=90°． 在△ABE 和△DAF 中 ， ∴△ABE≌△DAF， 第 16页（共 46页） ∴∠BAE=∠ADF． ∵∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠AOD=90°， 故答案为：90°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质， 余角的性质，直角三角形的判定． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，∠GMB= ∠A，BG ⊥MG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= 4 cm． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】如图，作 MD⊥BC 于 D，延长 DE 交 BG 的延长线于 E，构建等腰△BDM、 全等三角形△BED 和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等 得到：BE=MH，所以 BG= MH=4． 【解答】解：如图，作 MD⊥BC 于 D，延长 MD 交 BG 的延长线于 E， ∵△ABC 中，∠C=90°，CA=CB， ∴∠ABC=∠A=45°， ∵∠GMB= ∠A， ∴∠GMB= ∠A=22.5°， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90°， ∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°． ∵MD∥AC， ∴∠BMD=∠A=45°， 第 17页（共 46页） ∴△BDM 为等腰直角三角形 ∴BD=DM， 而∠GBH=22.5°， ∴GM 平分∠BMD， 而 BG⊥MG， ∴BG=EG，即 BG= BE， ∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， ∴∠MHD=∠E， ∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD， ∴在△BED 和△MHD 中， ， ∴△BED≌△MHD（AAS）， ∴BE=MH， ∴BG= MH=4． 故答案是：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、 “SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性 质． 7．如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论： ①△EBF≌△DFC；②四边形 AEFD 为平行四边形；③当 AB=AC，∠BAC=120°时， 四边形 AEFD 是正方形．其中正确的结论是 ①② ．（请写出正确结论的序号）． 第 18页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正 方形的判定． 【专题】压轴题． 【分析】由三角形 ABE 与三角形 BCF 都为等边三角形，利用等边三角形的性质 得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得到三角形 EBF 与三角形 DFC 全等，利用全等三角形对应边相等得到 EF=AC，再 由三角形 ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到 EF=AD，AE=DF，利用 对边相等的四边形为平行四边形得到 AEFD 为平行四边形，若 AB=AC，∠ BAC=120°，只能得到 AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项． 【解答】解：∵△ABE、△BCF 为等边三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°， ∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△ABC 和△EBF 中， ， ∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF=AC， 又∵△ADC 为等边三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF=AB=AE=DF， ∴四边形 AEFD 是平行四边形，选项②正确； ∴∠FEA=∠ADF， ∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF， 第 19页（共 46页） 在△FEB 和△CDF 中， ． ∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确； 若 AB=AC，∠BAC=120°，则有 AE=AD，∠EAD=120°，此时 AEFD 为菱形，选项③ 错误， 故答案为：①②． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形 的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 三、解答题 8．如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，AB∥CD，AE=DF， ∠A=∠D． （1）求证：AB=CD． （2）若 AB=CF，∠B=30°，求∠D 的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得 AB=CD； （2）易证得△ABE≌△CDF，即可得 AB=CD，又由 AB=CF，∠B=30°，即可证得△ ABE 是等腰三角形，解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， 在△ABE 和△CDF 中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， 第 20页（共 46页） ∴AB=CD； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD，BE=CF， ∵AB=CF，∠B=30°， ∴AB=BE， ∴△ABE 是等腰三角形， ∴∠D= ． 【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据 AAS 证明三角形全等，再利用 全等三角形的性质解答． 9．如图，CD 是△ABC 的中线，点 E 是 AF 的中点，CF∥AB． （1）求证：CF=AD； （2）若∠ACB=90°，试判断四边形 BFCD 的形状，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定． 【分析】（1）根据中点的性质，可得 AE 与 EF 的关系，根据平行的性质，可得内 错角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得 CF 与 DA 的关系，根据等量代 换，可得答案； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形 BFCD 的形 状，根据直角三角形的性质，可得 BD=CD，根据菱形的判定，可得答案； 【解答】（1）证明∵AE 是 DC 边上的中线， ∴AE=FE， ∵CF∥AB， ∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE． 在△ADE 和△FCE 中， 第 21页（共 46页） ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF=DA． （2）∵CD 是△ABC 的中线， ∴D 是 AB 的中点， ∴AD=BD， ∵△ADE≌△FCE， ∴AD=CF， ∴BD=CF， ∵AB∥CF， ∴BD∥CF， ∴四边形 BFCD 是平行四边形， ∵∠ACB=90°， ∴△ACB 是直角三角形， ∴CD= AB， ∵BD= AB， ∴BD=CD， ∴四边形 BFCD 是菱形． 【点评】本题考查了四边形综合题，（1）利用了全等三角形的判定与性质，（2） 利用了直角三角形的性质，菱形的判定分析． 10．如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD． 第 22页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】利用 SAS 证得△ADC≌△AEB 后即可证得结论． 【解答】解：在△ADC 和△AEB 中， ∵ ， ∴△ADC≌△AEB， ∴BE=CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角 形的判定的方法，难度不大． 11．如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，F 是 CD 的中点，过点 C 作 AB 的 平行线交 BF 的延长线于点 E，连接 AE． （1）求证：EC=DA； （2）若 AC⊥CB，试判断四边形 AECD 的形状，并证明你的结论． 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F 是 CD 的中 点，得出 FD=CF，再利用 AAS 证明△FEC 与△DBF 全等，进一步证明即可； （2）利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的 ，得出 CD=DA，进一 步得出结论即可． 【解答】（1）证明：∵EC∥AB， ∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF， ∵F 是 CD 的中点， ∴FD=CF， 第 23页（共 46页） 在△FEC 与△DBF 中， ∴△FEC≌△DBF， ∴EC=BD， 又∵CD 是 AB 边上的中线， ∴BD=AD， ∴EC=AD． （2）四边形 AECD 是菱形． 证明：∵EC=AD，EC∥AD， ∴四边形 AECD 是平行四边形， ∵AC⊥CB，CD 是 AB 边上的中线， ∴CD=AD=BD， ∴四边形 AECD 是菱形． 【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定以及菱形的判定， 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 12．【问题探究】 （1）如图 1，锐角△ABC 中分别以 AB、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD， 使 AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接 BD，CE，试猜想 BD 与 CE 的大小关系， 并说明理由． 【深入探究】 （2）如图 2，四边形 ABCD 中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°， 求 BD 的长． （3）如图 3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长． 第 24页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据 SAS 即可证明△EAC ≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明； （2）在△ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB， 连接 EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明 BD=CE，然后在直角三角形 BCE 中 利用勾股定理即可求解； （3）在线段 AC 的右侧过点 A 作 AE⊥AB 于点 A，交 BC 的延长线于点 E，证明△ EAC≌△BAD，证明 BD=CE，即可求解． 【解答】解：（1）BD=CE． 理由是：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC 和△BAD 中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE； （2）如图 2，在△ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°， AE=AB，连接 EA、EB、EC． ∵∠ACD=∠ADC=45°， ∴AC=AD，∠CAD=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC 和△BAD 中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE． ∵AE=AB=7， ∴BE= =7 ，∠ABE=∠AEB=45°， 第 25页（共 46页） 又∵∠ABC=45°， ∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°， ∴EC= = = ， ∴BD=CE= ． （3）如图 3，在线段 AC 的右侧过点 A 作 AE⊥AB 于点 A，交 BC 的延长线于点 E， 连接 BE． ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， 又∵∠ABC=45°， ∴∠E=∠ABC=45°， ∴AE=AB=7，BE= =7 ， 又∵∠ACD=∠ADC=45°， ∴∠BAE=∠DAC=90°， ∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC 和△BAD 中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE， ∵BC=3， ∴BD=CE=（7 ﹣3）cm． 第 26页（共 46页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系， 构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键． 13．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点 D 是 AB 的中点，点 P 是 AB 上的一个动点（点 P 与点 A、B 不重合），矩形 PECF 的顶点 E，F 分别在 BC，AC 上． （1）探究 DE 与 DF 的关系，并给出证明； （2）当点 P 满足什么条件时，线段 EF 的长最短？（直接给出结论，不必说明理 由） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质． 【分析】（1）连接 CD，首先根据△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点 D 是 AB 的中点得到 CD=AD，CD⊥AD，然后根据四边形 PECF 是矩形得到△APE 是等 腰直角三角形，从而得到△DCE≌△DAF，证得 DE=DF，DE⊥DF； （2）根据 DE=DF，DE⊥DF，得到 EF= DE= DF，从而得到当 DE 和 DF 同时最 短时，EF 最短得到此时点 P 与点 D 重合线段 EF 最短． 【解答】解：（1）DE=DF，DE⊥DF， 证明：连接 CD， ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点 D 是 AB 的中点， ∴CD=AD，CD⊥AD， 第 27页（共 46页） ∵四边形 PECF 是矩形， ∴CE=FP，FP∥CB， ∴△APF 是等腰直角三角形， ∴AF=PF=EC， ∴∠DCE=∠A=45°， ∴△DCE≌△DAF， ∴DE=DF，∠ADF=∠CDE， ∵∠CDA=90°， ∴∠EDF=90°， ∴DE=DF，DE⊥DF； （2）∵DE=DF，DE⊥DF， ∴EF= DE= DF， ∴当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短， ∴当 DF⊥AC，DE⊥AB 时，二者最短， ∴此时点 P 与点 D 重合， ∴点 P 与点 D 重合时，线段 EF 最短． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形及矩形的性质， 解题的关键是能够证得两个三角形全等，难度不大． 14．如图，△ABC 和△EFD 分别在线段 AE 的两侧，点 C，D 在线段 AE 上，AC=DE， AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD． 第 28页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出 BC=DF． 【解答】证明：∵AB∥EF， ∴∠A=∠E， 在△ABC 和△EFD 中 ∴△ABC≌△EFD（SAS） ∴BC=FD． 【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中． 15．如图，已知∠ABC=90°，D 是直线 AB 上的点，AD=BC． （1）如图 1，过点 A 作 AF⊥AB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图 2，E 是直线 BC 上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD 相交于点 P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 第 29页（共 46页） 【分析】（1）利用 SAS 证明△AFD 和△BDC 全等，再利用全等三角形的性质得出 FD=DC，即可判断三角形的形状； （2）作 AF⊥AB 于 A，使 AF=BD，连结 DF，CF，利用 SAS 证明△AFD 和△BDC 全等，再利用全等三角形的性质得出 FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠ APD=45°． 【解答】解：（1）△CDF 是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD 与△DBC 中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF 是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF 是等腰直角三角形； （2）作 AF⊥AB 于 A，使 AF=BD，连结 DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD 与△DBC 中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF 是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， 第 30页（共 46页） ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF 是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°， ∵AF∥CE，且 AF=CE， ∴四边形 AFCE 是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠APD=∠FCD=45°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质 的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键． 16．如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 AE=DF，连接 BE， AF．求证：BE=AF． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE= ∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相 等证明即可． 【解答】证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， 在△ABE 和△ADF 中， 第 31页（共 46页） ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义， 求出两三角形全等，从而得到 BE=AF 是解题的关键． 17．如图，在△ABC 中，已知 AB=AC，AD 平分∠BAC，点 M，N 分别在 AB，AC 边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】首先根据等腰三角形的性质得到 AD 是顶角的平分线，再利用全等三角 形进行证明即可． 【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC， ∴AM=AN， ∵AB=AC，AD 平分∠BAC， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD 与△AND 中， ， ∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴DM=DN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进 行证明． 第 32页（共 46页） 18．在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 翻折，使点 C 落在点 E 处，BE 和 AD 相交于点 O，求证：OA=OE． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】证明题． 【分析】由在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 对折，使点 C 落在 E 处，即 可求得∠DBE=∠ADB，得出 OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等 三角形的性质证明即可． 【解答】证明：平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 对折，使点 C 落在 E 处， 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C， ∴OB=OD， 在△AOB 和△EOD 中， ， ∴△AOB≌△EOD（AAS）， ∴OA=OE． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性 质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想 的应用． 19．如图，在△ABD 和△FEC 中，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 AB=FE，BC=DE， ∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE． 第 33页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】根据等式的性质得出 BD=CE，再利用 SAS 得出：△ABD 与△FEC 全等， 进而得出∠ADB=∠FCE． 【解答】证明：∵BC=DE， ∴BC+CD=DE+CD， 即 BD=CE， 在△ABD 与△FEC 中， ， ∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴∠ADB=∠FCE． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出 BD=CE， 再利用全等三角形的判定和性质解答． 20．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用 AAS 公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题． 【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE；在△ABC 与△DEC 中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， 第 34页（共 46页） ∴AB=DE． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是 牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键． 21．已知△ABC，AB=AC，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF． （1）如图 1，连接 BD，AF，则 BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如图 2，M 为 AB 边上一点，过 M 作 BC 的平行线 MN 分别交边 AC，DE， DF 于点 G，H，N，连接 BH，GF，求证：BH=GF． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC 与∠ACB 的关系，根据平移的 性质，可得 AC 与 DF 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得 GM 与 HN 的关系，BM 与 FN 的关系， 根据全等三角形的判定与性质，可得答案． 【解答】（1）解：由 AB=AC， 得∠ABC=ACB． 由△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF， 得 DF=AC，∠DFE=∠ACB． 在△ABF 和△DFB 中， ， 第 35页（共 46页） △ABF≌△DFB（SAS）， BD=AF， 故答案为：BD=AF； （2）证明：如图： ， MN∥BF， △AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF， = ， = ， ∴MG=HN，MB=NF． 在△BMH 和△FNG 中， ， △BMH≌△FNG（SAS）， ∴BH=FG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形 的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 22．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以 AB，AC 为直角边向 外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE，G 为 BD 的中点，连接 CG，BE，CD，BE 与 CD 交于点 F． （1）判断四边形 ACGD 的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD． 第 36页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得 BD=2BC，因为 G 为 BD 的中点， 可得 BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45 得 AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得 AC∥BD，得出四边形 ACGD 为平行四边形； （2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得 BE=CD； 首先证得四边形 ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌ △CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论． 【解答】（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AB= BC， ∵△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形， ∴BD= =BC =2BC， ∵G 为 BD 的中点， ∴BG= BD=BC， ∴△CBG 为等腰直角三角形， ∴∠CGB=45°， ∵∠ADB=45°， AD∥CG， ∵∠ABD=45°，∠ABC=45° ∴∠CBD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBD+∠ACB=180°， ∴AC∥BD， 第 37页（共 46页） ∴四边形 ACGD 为平行四边形； （2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°， ∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°， ∴∠EAB=∠CAD， 在△DAC 与△BAE 中， ， ∴△DAC≌△BAE， ∴BE=CD； ∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC， ∴四边形 ABCE 为平行四边形， ∴CE=AB=AD， 在△BCE 与△CAD 中， ， ∴△BCE≌△CAD， ∴∠CBE=∠ACD， ∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CBE+∠BCD=90°， ∴∠CFB=90°， 即 BE⊥CD． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判 定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键． 第 38页（共 46页） 23．如图，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上任意一点，连接 AG，DE⊥AG 于 E，BF ∥DE 交 AG 于 F，探究线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】根据正方形的性质，可得 AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质， 可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得 BF 与 AE 的关系，再根 据等量代换，可得答案． 【解答】解：线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系 AF=BF+EF，理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°． ∵DE⊥AG 于 E，BF∥DE 交 AG 于 F， ∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF． 在△ABF 和△DAE 中 ， ∴△ABF≌△DAE （AAS）， ∴BF=AE． ∵AF=AE+EF， AF=BF+EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性 质，全等三角形的判定与性质，等量代换． 24．已知：如图，在△ABC 中，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、AD，其交 点为 O．求证： （1）△CDE≌△DBF； 第 39页（共 46页） （2）OA=OD． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据三角形中位线，可得 DF 与 CE 的关系，DB 与 DC 的关系，根 据 SAS，可得答案； （2）根据三角形的中位线，可得 DF 与 AE 的关系，根据平行四边形的判定与性 质，可得答案． 【解答】证明：（1）∵DE、DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在△CDE 和△DBF 中 ， ∴△CDE≌△DBF （SAS）； （2）∵DE、DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=AE，DF∥AE， ∴四边形 DEAF 是平行四边形， ∵EF 与 AD 交于 O 点， ∴AO=OD 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质， 全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性 质． 25．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形 ABCD 是一个筝形， 其中 AB=CB，AD=CD．对角线 AC，BD 相交于点 O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别 第 40页（共 46页） 是 E，F．求证 OE=OF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；新定义． 【分析】欲证明 OE=OF，只需推知 BD 平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD ≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了． 【解答】证明：∵在△ABD 和△CBD 中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD 平分∠ABC． 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要 注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 26．如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DE⊥AF，垂 足为点 E． （1）求证：DE=AB． （2）以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G．若 BF=FC=1，试求 的长． 第 41页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；矩形的性质；弧 长的计算． 【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠ EAD=∠AFB，由 AAS 证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可； （2）连接 DF，先证明△DCF≌△ABF，得出 DF=AF，再证明△ADF 是等边三角形， 得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由 AE=BF=1，根据三角函数得出 DE，由弧长公式 即可求出 的长． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC， ∴∠EAD=∠AFB， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90°， 在△ADE 和△FAB 中， ， ∴△ADE≌△FAB（AAS）， ∴DE=AB； （2）解：连接 DF，如图所示： 在△DCF 和△ABF 中， ， ∴△DCF≌△ABF（SAS）， ∴DF=AF， ∵AF=AD， ∴DF=AF=AD， ∴△ADF 是等边三角形， ∴∠DAE=60°， 第 42页（共 46页） ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∵△ADE≌△FAB， ∴AE=BF=1， ∴DE= AE= ， ∴ 的长= = ． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定 与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计 算是解决问题的关键． 27．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由 ASA 证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等 即可． 【解答】证明：∵∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD， 在△ABC 和△ABD 中， ， 第 43页（共 46页） ∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC=AD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法， 证明三角形全等是解决问题的关键． 28．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由 SAS 证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即 可． 【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACB=∠DCE， 在△ABC 和△DEC 中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠A=∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法， 证明三角形全等是解决问题的关键． 29．如图，已知点 D 在△ABC 的 BC 边上，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F． （1）求证：AE=DF； （2）若 AD 平分∠BAC，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由． 第 44页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）利用 AAS 推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得 出 AE=DF； （2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形 DEFA 是▱ ，再利用 AD 是角平分 线，结合 AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得 AE=DF，从而可证 ▱ AEDF 实菱形． 【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若 AD 平分∠BAC，四边形 AEDF 是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEDF 是平行四边形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四边形 AEDF 为菱形． 【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况． 30．如图，过∠AOB 平分线上一点 C 作 CD∥OB 交 OA 于点 D，E 是线段 OC 的中 点，请过点 E 画直线分别交射线 CD、OB 于点 M、N，探究线段 OD、ON、DM 之 间的数量关系，并证明你的结论． 第 45页（共 46页） 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）当点 M 在线段 CD 上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是： OD=DM+ON．首先根据 OC 是∠AOB 的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0， 所以 OD=CD=DM+CM；然后根据 E 是线段 OC 的中点，CD∥OB，推得 CM=ON， 即可判断出 OD=DM+ON，据此解答即可． （2）当点 M 在线段 CD 延长线上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是： OD=ON﹣DM．由（1），可得 OD=DC=CM﹣DM，再根据 CM=ON，推得 OD=ON﹣ DM 即可． 【解答】解：（1）当点 M 在线段 CD 上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系 是：OD=DM+ON． 证明：如图 1， ， ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠DOC=∠C0B， 又∵CD∥OB， ∴∠DCO=∠C0B， ∴∠DOC=∠DC0， ∴OD=CD=DM+CM， ∵E 是线段 OC 的中点， ∴CE=OE， 第 46页（共 46页） ∵CD∥OB， ∴ ， ∴CM=ON， 又∵OD=DM+CM， ∴OD=DM+ON． （2）当点 M 在线段 CD 延长线上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是： OD=ON﹣DM． 证明：如图 2， ， 由（1），可得 OD=DC=CM﹣DM， 又∵CM=ON， ∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM， 即 OD=ON﹣DM． 【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关 键是要明确：①定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成： 两直线平行，同位角相等．②定理 2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角 互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理 3：两条平行线被第三条 直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． （2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的 关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．