八年级下数学课件2-2 利用对角线的关系判定平行四边形_湘教版 20页

第2章　四边形 第2课时 利用对角线的关系判定平行四边形 第2章　四边形 2.2　平行四边形 1．结合平行四边形对角线的性质，从对角线互相平分的角度去 判定平行四边形，并能进行有关的证明与计算． 2．通过求平行四边形两组对角的数量关系，归纳出“两组对角 分别相等的四边形是平行四边形”这一判定方法，并能进行有 关的证明和计算． 3．回顾总结平行四边形的判定定理，能选择合适的方法判定平 行四边形． 目标一　理解并会应用“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 2.2　平行四边形 例1 教材例7针对训练 如图2－2－12，E，F是▱ ABCD的对角线 BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形． 图2－2－12 2.2　平行四边形 [解析] 连接AC，与BD相交于点O，发现▱ ABCD与四边形AECF有一条公共 对角线AC，而AC与BD互相平分，若能证明AC与EF也互相平分，则问题得 证．而要证明AC与EF互相平分，即证明OA＝OC，OE＝OF，而OA＝OC可由 ▱ ABCD的性质得到，即只需证OE＝OF. 证明：连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF， 即OB＋OE＝OF＋OD， ∴OE＝OF. 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． 2.2　平行四边形 2.2　平行四边形 【归纳总结】 当已知条件与所证四边形的对角线相关时，可利 用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明一个四边 形是平行四边形． 目标二　理解并会应用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形” 2.2　平行四边形 例2　教材补充例题 下列给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C， ∠D的度数之比，其中能说明四边形ABCD为平行四边形的是(　 　) A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶4 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2 C [解析] C　由“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，可知C正确． 2.2　平行四边形 【归纳总结】 平行四边形的两组对角分别相等，反之，利用一 个四边形两组对角分别相等这一关系也可以证明一个四边形是 平行四边形． 2.2　平行四边形 目标三　能选择合适的方法判定平行四边形 例3 教材补充例题 如图2－2－13，四边形ABCD是平行四边形， E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2. 求证：(1)AE＝CF； (2)四边形EBFD是平行四边形． 图2－2－13 [解析] (1)通过证明△CBF≌△ADE得到AE＝CF；或利用平行四边形对角 线的性质，连接BD交AC于点O，证明△DOE≌△BOF，从而得出AE＝CF. (2)根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形证得结论；或利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形；或利 用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明． 2.2　平行四边形 证明：(1)(法一)如图①.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠3＝∠4. ∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6， ∴△ADE≌△CBF，∴AE ＝CF. (法二)如图②，连接BD交AC于点O. 在▱ ABCD中，OA＝OC，OB＝OD. ∵∠1＝∠2，∠7＝∠8，∴△DOE≌△BOF， ∴OE＝OF， ∴OA－OE ＝OC－OF，即AE＝CF. 2.2　平行四边形 (2)(法一)如图①， ∵∠1＝∠2，∴DE∥BF. 由(1)得△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形． (法二)如图①，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAE＝∠DCF. 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF. 由(1)得△ADE≌△CBF，∴DE＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形． 2.2　平行四边形 (法三)如图②，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. 又∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形． 2.2　平行四边形 2.2　平行四边形 【归纳总结】 平行四边形的判定 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)证另一组对边也 相等 (2)证这组对边平行 一组对边平行 (1)证另一组对边也平 行 (2)证这组对边相等 一组对角相等 证另一组对角也相等 知识点一　平行四边形的判定定理3 小结 2.2　平行四边形 __________________的四边形是平行四边形．对角线互相平分 知识点二　平行四边形的判定方法 2.2　平行四边形 判定一个四边形是平行四边形有四种方法：①两组对边分别 ________的四边形是平行四边形(定义法)；②一组对边 ________且________的四边形是平行四边形(判定定理1)；③ 两组对边分别________的四边形是平行四边形(判定定理2)； ④对角线互相________的四边形是平行四边形(判定定理3)． 平行 平行 平分 相等 相等 [说明] 两组对角分别相等的四边形也是平行四边形． 知识点三　平行四边形的性质与判定的比较 2.2　平行四边形 性质 判定 　平行四边形的两组对 边分别平行 　两组对边分别平行的四边形是平 行四边形(定义) 　一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形(判定定理1) 　平行四边形的两组对 边分别相等 　两组对边分别相等的四边形是平 行四边形(判定定理2) 　平行四边形的两组对 角分别相等 　两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 　平行四边形的对角线 互相平分 　对角线互相平分的四边形是平行 四边形(判定定理3) 反思 2.2　平行四边形 如图2－2－14，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E，F分 别为OC，OD的中点，连接AF，BE.求证：AF∥BE.请你判断下面 的证明是否有错误，如果有错误，请说明理由，并写出正确的 证明过程． 证明：连接AE，BF.∵OC＝OD， E，F分别为OC，OD的中点，∴OE＝OF. 又∵OA＝OB， ∴四边形AFBE是平行四边形，∴AF∥BE. 图2－2－14 2.2　平行四边形