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- 2021-11-06 发布
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章末复习(一) 一元二次方程
01 分点突破
知识点1 一元二次方程的有关概念
1.已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2-m的值等于(C)
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.若方程(a-2)xa2-2+3x=0是关于x的一元二次方程,则a的值为-2.
知识点2 一元二次方程的解法
3.方程2x2+8=0的根为(D)
A.2 B.-2
C.±2 D.没有实数根
4.对于方程x2=p:
(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根,x1=-,x2=;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根,x1=x2=0;
(3)当p<0时,方程无实数根.
5.解下列一元二次方程:
(1)(2x+3)2-81=0;
解:(2x+3)2=81.
x1=3,x2=-6.
(2)x2-6x-2=0;
6
解:(x-3)2=11.
x1=3+,x2=3-.
(3)x2+2x-6=0;
解:∵a=1,b=2,c=-6,
Δ=b2-4ac=(2)2-4×1×(-6)=32,
∴x===-±2,
∴x1=,x2=-3.
(4)5x(3x+2)=6x+4.
解:(3x+2)(5x-2)=0.
x1=-,x2=.
知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6.(宜宾中考)一元二次方程4x2-2x+=0的根的情况是(B)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
7.(安顺中考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则m的值可以是(D)
A.0 B.-1 C.2 D.-3
8.(怀化中考)设x1,x2是方程x2+5x-3=0的两个根,则x+x的值是(C)
A.19 B.25 C.31 D.30
知识点4 用一元二次方程解决实际问题
9.一个QQ群里共有x个好友,每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息,共发信息1 980条,则可列方程(B)
A.x(x-1)=1 980
6
B.x(x-1)=1 980
C.x(x+1)=1 980
D.x(x+1)=1 980
10.(宜宾中考)经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的50元降到32元,设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程是50(1-x)2=32.
11.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,当矩形花园的面积为300 m2时,求AB的长.
解:设AB为x m,则BC为(50-2x)m.根据题意,得
x(50-2x)=300.
解得x1=10,x2=15.
答:AB的长为10 m或15 m.
以上解答过程完整吗?若不完整,请进行补充使之完整.
解:不完整.当求出方程的解后,应检验解是否符合题意.即
当x=10时,AD=BC=50-2x=30>25,不合题意,舍去;
当x=15时,AD=BC=50-2x=20<25.
答:AB的长15 m.
02 山西中考题型演练
12.(山西农业大学附中月考)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为(B)
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
13.(孝义期中)若关于x的方程4kx2-12x-9=0有实根,则实数k的取值范围在数轴上表示正确的是(A)
A. B.
C. D.
6
14.(吕梁期中)三角形两边长分别为3和6,第三边是方程x2-13x+36=0的根,则三角形的周长为13.
15.解方程:
(1)x2+4x-1=0;
解:a=1,b=4,c=-1,
Δ=b2-4ac=42-4×(-1)=20>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x===,
即x1=,x2=.
(2)x(x-2)+x-2=0.
解:因式分解,得(x-2)(x+1)=0.
∴x-2=0或x+1=0.
∴x1=2,x2=-1.
16.(大同期中)已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.
(1)若该方程的一个根为1,求a的值;
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解:(1)将x=1代入x2+ax+a-2=0中,
得1+a+a-2=0.
解得a=.
(2)证明:∵Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4.
∵(a-2)2≥0,∴(a-2)2+4>0.
∴不论a取何实数,方程都有两个不相等的实数根.
17.(山西中考)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46 000米2,施工队在绿化了22 000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?
6
(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?
解:(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2,
根据题意,得-=4.
解得x=2 000,
经检验,x=2 000是原方程的解.
答:该绿化项目原计划每天完成2 000米2.
(2)设人行通道的宽度为x米,根据题意,得
(20-3x)(8-2x)=56.
解得x=2或x=(不合题意,舍去).
答:人行通道的宽为2米.
03 数学文化、核心素养专练
18.(山西中考)我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是(A)
A.转化思想 B.函数思想
C.数形结合思想 D.公理化思想
19.阅读材料,回答下列问题:
材料 阿尔·花拉子密(约780~约850),著名数学家、天文学家、地理学家,是代数与算术的整理者,被誉为“代数之父”.
材料图
他用以下方法求得一元二次方程x2+2x-35=0的解:
6
将边长为x的正方形和边长为1的正方形,外加两个长方形,长为x,宽为1,拼合在一起的面积是x2+2×x×1+1×1,而由x2+2x-35=0变形得x2+2x+1=35+1(如图所示),即右边边长为x+1的正方形面积为36.
所以(x+1)2=36,则x=5.
(1)上述求解过程中所用的方法是(C)
A.直接开平方法 B.公式法
C.配方法 D.因式分解法
(2)所用的数学思想方法是(B)
A.分类讨论思想 B.数形结合思想
C.转化思想 D.公理化思想
(3)运用上述方法构造出符合方程x2+8x-9=0的一个正根的正方形.
解:如图.
6
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