数学冀教版九年级上册教案25-5相似三角形的性质（2） 5页

- 1 - 25.5 相似三角形的性质（2） 教学目标 【知识与能力】 1.了解相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方. 2.能应用相似三角形的性质进行有关周长、面积的计算. 【过程与方法】 1.经历相似三角形性质的推理过程,进一步深化对相似三角形的认识. 2.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题 的思路和方法. 3.经历探索相似三角形性质的过程,提高分析问题和解决问题的能力及归纳总结能力. 【情感态度价值观】 1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理 能力. 2.在学习和探究过程中,体验由特殊到一般的认知规律,通过学生之间的合作交流,在合作中 体验成功的喜悦,树立学习的自信心. 教学重难点 【教学重点】 相似三角形的性质定理的探索及应用. 【教学难点】 相似三角形性质的归纳推理. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 复习提问: 1.相似三角形有哪些判定方法? 2.相似三角形有什么性质? 【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评. 导入二: - 2 - 【课件展示】 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为 100 平方米、周长为 80 米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形, 原绿化地一边 BC 的长由原来的 30 米变为 18 米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决 这个问题吗? 【教师活动】 教师展示课件,导出课题. [导入语] 通过今天的学习,我们利用相似三角形的性质可以解决有关周长、面积的问题. 二、新知构建： [过渡语] 上节课我们探究了相似三角形的对应线段比等于相似比,那么相似三角形的 周长比、面积比与相似比有什么关系呢?让我们一起去探究. 一起探究 相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系 思路一 活动一: 根据图上标出的数据,回答下列问题: 【思考】 (1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少? (2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系? (3)计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系? 【师生活动】 学生独立完成后回答教师提出的问题. 活动二: (1)猜想 1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系? (2)你能证明猜想 1 的结论吗? (3)猜想 2:任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系? (4)你能证明猜想 2 的结论吗? 【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助 有困难的学生,并点评学生的解答,规范学生的证明格式,师生共同归纳相似三角形的性质. 【课件展示】 相似三角形的性质定理: 相似三角形的周长比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. 求证: Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k, Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k2. - 3 - 证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k, ∴ 扦 ' 扦 ' = ' ' = 扦 扦 ' ' =k, ' ' =k. ∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'. ∴ Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' = 扦+扦+ ' 扦 ' +扦 ' ' + ' ' = ' 扦 ' +扦 ' ' + ' ' ' 扦 ' +扦 ' ' + ' ' =k, Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' = 1 2扦 · 1 2扦 ' '· ' ' = 扦 扦 ' ' · ' ' =k2. 活动三: 你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗? 【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论. 【课件展示】 如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,则 Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k, Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k2. 思路二 【课件展示】 如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. (1)ΔABC 的周长和ΔA'B'C'的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由. (2)ΔABC 的面积和ΔA'B'C'的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由. 【师生活动】 教师给学生足够的时间思考、小组合作交流,共同探索相似三角形的周长比、 面积比与相似比之间的关系及证明思路,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生探究出 结论后,完成证明过程,教师对学生的展示进行点评,师生共同归纳相似三角形的性质. 【课件展示】 相似三角形的性质定理: 相似三角形的周长比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. 求证: Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k, Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k2. - 4 - 证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k, ∴ 扦 ' 扦 ' = ' ' = 扦 扦 ' ' =k, ' ' =k, ∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'. ∴ Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' = 扦+扦+ ' 扦 ' +扦 ' ' + ' ' = ' 扦 ' +扦 ' ' + ' ' ' 扦 ' +扦 ' ' + ' ' =k, Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' = 1 2扦 · 1 2扦 ' '· ' ' = 扦 扦 ' ' · ' ' =k2. 追加思考: 你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗? 【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论. 【课件展示】 如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,则 Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k, Δ 扦 Δ ' 扦 ' ' =k2. [设计意图] 思路一让学生经历由特殊到一般的探究过程,通过计算、观察、猜想、证明等 数学活动,让学生经历知识的形成过程,有助于理解掌握相似三角形的性质;思路二主要通过 小组合作交流,探究相似三角形的性质,培养学生的合作意识,严格地推理论证性质定理,培 养了学生严谨的学习态度,同时培养了学生的归纳总结能力. 例题讲解 [过渡语] 我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题, 我们一起尝试解决下列问题. (教材 86 页例 2)如图所示,在ΔABC 中,D,E,F 分别为 BC,AC,AB 边的中点.求: (1)ΔDEF 的周长与ΔABC 的周长之比. (2)ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比. 〔解析〕 由三角形的中位线定理可以得到ΔDEF 三边与ΔABC 三边之间的数量关系,根据相 似三角形的判定定理可得两个三角形相似,且相似比为 1∶2,由相似三角形的周长比等于相 似比、面积比等于相似比的平方,可得结论. 【师生活动】 学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案, - 5 - 小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程. 【课件展示】 解:∵D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC, 且 DE= 1 2 AB,EF= 1 2 BC,DF= 1 2 AC. ∴ 扦 = 扦 = = 1 2 . ∴ΔDEF∽ΔABC. ∴ΔDEF 的周长与ΔABC 的周长之比为 1∶2, ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比为 1∶4. [设计意图] 通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达 到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问 题的能力. [知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面 积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等. 三、课堂小结： 相似三角形的性质: (1)相似三角形的对应边成比例; (2)相似三角形的对应角相等; (3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比; (4)相似三角形的周长比等于相似比; (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.