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- 2021-11-06 发布
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第3章 圆的基本性质
3.4 圆心角
第2课时 圆心角定理的推论
知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.如图3-4-14,AB,CD是⊙O的两条弦,OM⊥AB,ON⊥CD,则:
(1)如果AB=CD,那么________,________,________;
(2)如果=,那么________,________,________;
(3)如果∠AOB=∠COD,那么________,________,________;
(4)如果OM=ON,那么________,________,________.
图3-4-14
图3-4-15
2.如图3-4-15所示,在⊙O中,=,∠A=30°,则∠B的度数是( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
3.如图3-4-16,已知点A,B,C均在⊙O上,并且四边形OABC是菱形,那么∠AOC与2∠AOB之间的大小关系是( )
A.∠AOC>2∠AOB B.∠AOC=2∠AOB
C.∠AOC<2∠AOB D.不能确定
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图3-4-16
图3-4-17
4.如图3-4-17,已知AB是⊙O的直径,C,D是上的三等分点,∠AOE=60°,则∠COE的度数为( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
5.如图3-4-18,圆心角∠AOB=20°,将旋转n°得到,则的度数是________.
图3-4-18
图3-4-19
6.如图3-4-19,在⊙O中,C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC=________°.
图3-4-20
7.如图3-4-20, O是圆心,且PO平分∠BPD,OE⊥AB,OF⊥CD,则下列结论:①AB=CD;②=;③PO=PE;④=;⑤PB=PD,其中正确的是________(填写序号).
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8.课本课内练习第2题变式如图3-4-21所示,在⊙O中,弦AB与弦CD相等.求证:=.
图3-4-21
9.2017·牡丹江如图3-4-22,在⊙O中,=,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E.求证:AD=BE.
图3-4-22
10.如图3-4-23所示,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是( )
A.51° B.56° C.68° D.78°
图3-4-23
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图3-4-24
11.如图3-4-24所示,在⊙O中,=2,那么( )
A.AB>2CD
B.AB<2CD
C.AB=2CD
D.无法比较AB与2CD的大小
12.如图3-4-25所示,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A,B两点)上移动时,点P( )
A.到CD的距离保持不变
B.位置不变
C.等分
D.随点C的移动而移动
图3-4-25
图3-4-26
13.如图3-4-26,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD=________°.
14.如图3-4-27,在⊙O中,==,OB,OC分别交AC,DB于点M,N.
11
求证:∠OMN=∠ONM.
图3-4-27
15.如图3-4-28所示,在⊙O中,半径OA⊥OB,C,D是的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F.
求证:AE=BF=CD.
图3-4-28
16.如图3-4-29所示,A是半圆上的一个三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则PA+PB的最小值是多少?
11
图3-4-29
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详解详析
1.(1)∠AOB=∠COD = OM=ON
(2)AB=CD ∠AOB=∠COD OM=ON
(3)OM=ON AB=CD =
(4)∠AOB=∠COD AB=CD =
2.B
3.B [解析] ∵四边形OABC是菱形,
∴AB=BC,
∴∠AOB=∠BOC,
∴∠AOC=2∠AOB.
故选B.
4.C [解析] ∵∠AOE=60°,
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°,
∴的度数是120°.
∵C,D是上的三等分点,
∴与的度数都是40°,
∴∠COE=80°.
5.20° 6.40 7.①②④⑤
8.证明:∵AB=CD,∴=,
∴-=-,∴=.
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9.证明:如图,连结OC,
∵=,
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,
∴∠CDO=∠CEO=90°.
在△COD与△COE中,
∴△COD≌△COE,
∴OD=OE.
又∵AO=BO,
∴AO-OD=BO-OE,
即AD=BE.
10.A [解析] ∵==,∠COD=34°,
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.
又∵OA=OE,
∴∠AEO=∠EAO=×(180°-78°)=51°.
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11.B
[解析] 如图,在⊙O上截取=,连结CE,DE,则=,AB=CE,CD=DE,根据三角形的三边关系知CD+DE=2CD>CE,则AB<2CD,故选B.
12.B [解析] 连结OP,如图所示.
∵OC=OP,∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,∴CD∥OP.
∵CD⊥AB,
∴OP⊥AB.
而OP是⊙O的半径,故点P的位置不变.
故选B.
13.125
[解析] 连结OD,
∵AB是⊙O的直径,∠AOC=40°,
∴∠BOC=140°,∠ACO=70°.
∵D是弧BC的中点,
∴∠COD=70°,
∴∠OCD=55°,
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∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.
14.证明:∵==,
∴OM⊥AC,ON⊥BD.
∵+=+,∴=,
∴OM=ON,∴∠OMN=∠ONM.
15.证明:连结AC,BD.
∵C,D是的三等分点,
∴==,∠AOC=∠COD=∠DOB,
∴AC=CD=BD.
∵∠AOB=90°,∴∠AOC=30°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACE=75°.
又∵OA=OB,∴∠OAB=45°,
∴∠AEC=∠EAO+∠AOC=45°+30°=75°,
∴∠AEC=∠ACE=75°,∴AE=AC.
同理可证BF=BD,∴AE=BF=CD.
16解:如图,作点B关于MN的对称点B′,连结AB′交MN于点P,连结OB′,OB,PB,
则此时PA+PB取得最小值,PA+PB=PA+PB′=AB′.
∵A是半圆上的一个三等分点,=,
∴∠AON=60°, ∠BON=∠B′ON=30°,
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∴∠AOB′=90°.
又∵OA=OB′=1,∴AB′=,
∴PA+PB的最小值是.
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