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  • 2021-11-06 发布

中考数学专题复习练习:用因式分解法解一元二次方程

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典型例题一 例 用因式分解法解下列方程 解:把方程左边因式分解为:‎ ‎∴或 ‎∴ ‎ 说明: 对于无理数系数的一元二次方程,若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。‎ 典型例题二 例 用因式分解法解下列方程。‎ 解: 移项得:‎ 把方程左边因式分解 得:‎ ‎∴或 ‎∴‎ 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时,一定要注意,把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式都为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。‎ 典型例题三 例 用因式分解法解下列方程 ‎(1);‎ ‎(2);‎ 分析:一元二次方程化为一般形式后,在一般情况下,左边是一个二次三项式,右边是零.二次三项式,通常用因式分解的方法,可以分解成两个一次因式的积,从而可求出方程的根.但有些问题,可直接用因式分解法求解,例如(2)符合平方差公式的结构特征.‎ 解:(1)原方程可变形为 或,‎ ‎∴.‎ ‎(2)原方程可化为 ‎,‎ 即 ,‎ ‎∴,‎ ‎∴或,‎ ‎∴.‎ 说明:因式分解将二次方程化为一次方程求解,起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想,是数学中的“化归思想”.事实上,将多元方程组化为一元方程,也是此法.‎ 典型例题四 例 用因式分解法解方程:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎ 分析:用因式分解法解一元二次方程时,应将方程化为的形式,然后通过或,求出.‎ 解:(1),‎ 或.‎ ‎(2),‎ 即 .‎ ‎∴或,‎ ‎∴‎ ‎(3),‎ 即 或.‎ ‎∴.‎ ‎(4),‎ 即 或,‎ ‎∴.‎ 说明:有些系数或常数是无理数的一元二次方程,只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解.‎ 典型例题五 例 用适当方法解下列方程:‎ ‎(1);         (2);‎ ‎(3); (4)‎ ‎(5)(用配方法)‎ 解:(1)移项,得 ‎,‎ 方程两边都除以2,得 ‎,‎ 解这个方程,得 ‎,‎ ‎,‎ 即 ‎,‎ ‎(2)展开,整理,得 方程可变形为 ‎ 或,‎ ‎  ∴               ‎ ‎(3)展开,整理,得 ‎,‎ 方程可变形为 ‎ 或 ‎∴             ‎ ‎(4)∵ ‎ ‎,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ,  ‎ ‎(5)移项,得 ‎,‎ 方程各项都除以3,得 配方,得 ‎,‎ 解这个方程,得 ‎,‎ 即 ‎ ‎,‎ ‎ 说明:当一元二次方程本身特征不明显时,需先将方程化为一般形式(),若,a、c异号时,可用直接开平方法求解,如(l)题.若,,‎ ‎ 时,可用因式分解法求解,如(2)题.若a、b、c均不为零,有的可用因式分解法求解,如(3)题;有的可用公式法求解,如(4)题.配方法做为一种重要的数学方法也应掌握,如(5)题.‎ ‎ 而有些一元二次方程有较明显特征时,不一定都要化成一般形式,如方程可用直接开平方法或因式分解法求解.又如方程也不必展开整理成一般形式,因为方程两边都有,移项后提取公因式,得,用因式分解法求解,得,对于这样的方程,一定注意不能把方程两边都除以,这会丢掉一个根.也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.‎ 典型例题六 例 解关于的方程() ‎ 解法一:原方程可变形为 或 ‎∵ ,‎ ‎∴ ‎ 解法二:∵,,,‎ ‎,‎ 又 ,‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎ 说明 解字母系数方程时,除了要分清已知数和未知数,还要注意题目中给出的条件,要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.‎ 对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法,也要根据题目的特点选用较简单的解法,本题的解法一显然比解法二要简单.‎ 典型例题七 例 已知,试解关于的方程 分析 由,容易得到或.整理关干x的方程,得.题目中没有指明这个方程是一元二次方程,因此对二次项系数要进行讨论,当时,方程是一元一次方程;当时,方程是一元二次方程。‎ 解:由,得 ‎,‎ ‎∴ ‎ 整理,得 当时,原方程为,‎ 解得 当时,原方程为,‎ 解得 ‎∴ 当时,‎ 当时,‎ 填空题 ‎1.方程的根是 ‎ ‎2.(盐城市,1998)方程的解是 ‎ ‎3.方程的解是 ‎ 答案:1. 2. 3..‎ 解答题 1. 用因式分解法解下列方程:‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4)。‎ ‎(5);(6);‎ ‎(7);(8);‎ ‎(9);(10).‎ ‎2. 用因式分解法解下列方程:‎ ‎(1);(2);‎ ‎(3)。‎ ‎3.用因式分解法解下列关于的一元二次方程:‎ ‎(1);(2);‎ ‎(3);(4);‎ ‎(5)‎ ‎4.用适当的方法解下列方程:‎ ‎(1);(2);‎ ‎(3);(4);‎ ‎(5);(6).‎ ‎5.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程的根,求这个三角形的周长.‎ 答案:‎ ‎1.(1); (2);‎ ‎ (3); (4).‎ ‎(5),(6),(7),(8),(9),(10),.‎ ‎2. (1);‎ ‎ (2); (3).‎ ‎3.(1),(2),(3),(4),(5),.‎ ‎4.(1),(2),(3),(4),(5),(6),‎ ‎5.提示:三角形两边之和大于第三边,三角形周长为.‎