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- 2021-11-06 发布
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4.2
平行线分线段成比例
第四章 图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.
了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论
;
(重点)
2.
会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题
.
(难点)
学习目标
观察与猜想
下图是一架梯子的示意图
,
由生活常识可以知道
:
AA
1
,
BB
1
,
CC
1
互相平行,且若
AB=BC
,
你能猜想出什么结果呢?
a
b
c
DE
=
EF
导入新课
D
F
E
N
E
A
B
C
D
F
直线 ,AB=BC,
求证:DE与EF相等.
M
证明:分别过点D、E作DM∥
a
交
l
2
于点
M,EN∥
a
交
l
3
于点N.
易证:四边形ABMD和四边形BCNE是平行四边形
.
由AB=BC得DM=EN
易证:△DME≌△ENF
∴ DE=EF
.
平行线分线段成比例(基本事实)
一
*证明猜想
*平行线等分线段
讲授新课
如图(1),小方格的边长都是1,直线
a
∥
b
∥
c
,分别交直线
m,n
于
(1)
计算 ,你有什么发现?
合作探究
平行线分线段的关系
(2)将
b
向下平移到如图2的位置,直线
m
,
n
与直线
b
的交点分别为
.
你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将
b
平移到其他位置呢?
(
图
2
)
猜想:
在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的对应线段成比例吗?
如果 ,那么 与 相等吗?
解: 相等
.
理由如下,如图,我们分别找出AB的二等分点和BC的三等分点,再过它们作AD的平行线
.
P
M
H
Q
N
G
由平行线等分线段可知:
*证明猜想(特殊)
如果 , 那么 与 相等吗?
解:相等
.
理由如下:我
们分别找出AB的n等分点和BC的m等分点,再过它们作AD的平行线
.
两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例
.
成比例
n个
m个
n个
m个
*证明猜想(一般)
基本事实:
两条直线被一组平行线所截,所截得的对应线段成比例
.
符号语言:
若
a ∥b∥ c
,则
.
b
c
a
归纳总结
1
.直线AB//CD//EF,若AC=3,CE=4,
则
,
2.
直线
,若AC=4,CE=6,
则BD=3 ,
BF=
练一练
l
2
l
1
l
2
l
3
l
4
l
5
l
1
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
l
3
l
4
l
5
C
A
B
D
E
A
B
C
D
E
找一找
:
如图
2
、图
3
,
l
3
∥
l
4
∥
l
5
,
请指出成比例的线段
.
猜想:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
.
图
2
图
3
平行线分线段成比例定理的推论
二
如图,在△
ABC
中,已知
DE
∥
BC
,
求证:
及
.
A
B
C
D
E
M
N
如图,过点
A
作直线
MN
,使
MN//DE
.
∵
DE//BC
,
∴
MN//DE//BC
.
因此
AB
,
AC
被一组平行线
MN
,
DE
,
BC
所截
.
证明猜想
同时还可以得到
则由平行线分线段成比例可知
归纳总结
平行线分线段成比例的推论:
平行于三角形一边的直线与其他两边(*或其延长线)相交,截得的对应线段成比例
.
例
1:
如图所示,在△
ABC
中,
E
,
F
,分别是
AB
和
AC
的点,且
EF
∥
BC
.
(
1)
如果
AE
=7
,
EB
=5
,
FC
=4
,
那么
AF
的长是多少?
A
E
B
C
F
解
: ∵
EF
∥
BC
,
∴
∵
AE
= 7
,
EB
= 5
,
FC
= 4
.
∴
典例精析
(
2)
如果
AB
=10
,
AE
=6
,
AF
=5
,
那么
FC
的长是多少?
A
E
B
C
F
解
: ∵
EF
∥
BC
,
∴
∵
AB
= 10 ,
AE
= 6 ,
AF
= 5
.
∴
∴
FC
=
AC
–
AF
=
例
2
:
如图:在
△ABC
中
,
点
D
、
E
、
F
分别在边
AB
、
AC
、
BC
上,且
DE//BC
、
EF//AB.
若
AD=2BD.
(1)
求 的值
. (2)
求证:
.
A
B
C
D
E
F
解:
(1)∵DE//BC
,
EF//AB,
又
AD
=2BD
(2)∵DE//BC
,
EF//AB,
∴
四边形
BDEF
是平行四边形,
∴DE=BF.
由
(1)
知
1.
如图,已知
l
1
∥l
2
∥l
3
,下列比例式中错误的是
(
)
A.
B.
C.
D.
D
当堂练习
A
B
C
E
D
2.
填空题
:
如图
:
DE
∥
BC
,
已知
:
则
.
3.
在△
ABC中,
ED//AB,若 ,
则
A
B
C
D
E
4.
已知:
DE
//
BC
,
AB
=15,
AC
=9,
BD
=4
.
求
AE
的长
.
解
:
∵
DE
∥
BC
,
AB AC
BD CE
∴
——
——
=
.
(推论)
即
5.
如图,
AB=AC
,
AD⊥BC
于点
D,M
是
AD
的中点,
CM
交
AB
于
点
P,DN
∥CP.
若
AB=6cm
,求
AP
的长
.
拓展提升
解:
∵AB=AC
,
AD⊥BC
于点
D,
M
是
AD
的中点
,
∴DB=DC,AM=MD.
∵DN
∥CP,
又
∵AB=
6cm
,
∴AP=
2cm.
平行线分线
段成比例
平行于三角形一边的直线与其他两边相交,
截得的对应线段成比例
.
基本事实
推论
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线
段成比例
.
课堂小结
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