呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练22锐角三角函数及其应用试题 8页

课时训练(二十二)　锐角三角函数及其应用 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·天津]2sin60°的值等于 (　　)‎ A.1 B.‎2‎ ‎ C.‎3‎ D.2‎ ‎2.[2019·凉山州]如图K22-1,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=‎1‎‎4‎,则sinB的值为 (　　)‎ 图K22-1‎ A.‎10‎‎2‎ B.‎15‎‎3‎ C.‎6‎‎4‎ D.‎‎10‎‎4‎ ‎3.[2018·宜昌]如图K22-2,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边PA的垂线PB上取一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于 (　　)‎ 图K22-2‎ A.100sin35°米 ‎ B.100sin55°米 ‎ C.100tan35°米 ‎ D.100tan55°米 ‎4.[2019·金华]如图K22-3,矩形ABCD的对角线交于点O,已知AB=m,∠BAC=α,下列结论错误的是 (　　)‎ 图K22-3‎ A.∠BDC=α ‎ B.BC=m·tanα C.AO=m‎2sinα ‎ D.BD=‎mcosα 8‎ ‎5.[2019·杭州]如图K22-4,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 (　　)‎ 图K22-4‎ A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx ‎6.如图K22-5,一渔船由西向东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进40海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD是 (　　)‎ 图K22-5‎ A.20海里 B.40海里 C.20‎3‎海里 D.40‎3‎海里 ‎7.[2018·凉山州]如图K22-6,无人机在A处测得正前方河流两岸B,C的俯角分别为α=70°,β=40°,此时无人机的高度是h,则河流的宽度BC为 (　　)‎ 图K22-6‎ A.h(tan50°-tan20°) 　 B.h(tan50°+tan20°) ‎ C.h‎1‎tan70°‎‎-‎‎1‎tan40°‎ D.h‎1‎tan70°‎‎+‎‎1‎tan40°‎ ‎8.[2019·乐山]如图K22-7,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=‎3‎‎5‎,则AB边的长为　　　　. ‎ 图K22-7‎ ‎9.[2019·杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=　　　　. ‎ 8‎ 图K22-8‎ ‎10.[2019·德州]如图K22-8,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为　　　　米.(sin70°≈0.94, sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64) ‎ ‎11.[2019·贺州]如图K22-9,在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻,到达C处时接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/时的速度行驶3小时到达港口B.求A,B间的距离.(‎3‎≈1.73,‎2‎≈1.4,结果保留一位小数)‎ 图K22-9‎ ‎12.[2019·梧州]如图K22-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tanB=‎3‎‎4‎.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求sinα的值.‎ 图K22-10‎ 8‎ ‎13.[2019·青岛]如图K22-11,某旅游景区为方便游客,修建了一条东西走向的木栈道AB,栈道AB与景区道路CD平行.在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向,在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120 m,BD=80 m,求木栈道AB的长度(结果保留整数).‎ 参考数据:sin32°≈‎17‎‎32‎,cos32°≈‎17‎‎20‎,tan32°≈‎5‎‎8‎,sin42°≈‎27‎‎40‎,cos42°≈‎3‎‎4‎,tan42°≈‎‎9‎‎10‎ 图K22-11‎ ‎|拓展提升|‎ ‎14.[2019·张家界]如图K22-12,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD=　　　　. ‎ 图K22-12‎ ‎15.[2019·淄博]如图K22-13,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将∠B折起,使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF.‎ 如图①,当CD=‎1‎‎2‎AC时,tanα1=‎3‎‎4‎;‎ 如图②,当CD=‎1‎‎3‎AC时,tanα2=‎5‎‎12‎;‎ 如图③,当CD=‎1‎‎4‎AC时,tanα3=‎7‎‎24‎;‎ ‎……‎ 依次类推,当CD=‎1‎n+1‎AC(n为正整数)时,tanαn=　　　　. ‎ 8‎ 图K22-13‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C ‎2.D　[解析]过点A作AD⊥BC于点D,‎ ‎∵cosC=‎1‎‎4‎,AC=4,‎ ‎∴CD=1,∴BD=3,AD=‎4‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎15‎,‎ 在Rt△ABD中,AB=‎(‎15‎‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=2‎6‎,‎ ‎∴sinB=ADAB=‎15‎‎2‎‎6‎=‎10‎‎4‎,‎ 故选D.‎ ‎3.C ‎4.C　[解析]由锐角三角函数的定义,得sinα=BC‎2OA,‎ ‎∴AO=BC‎2sinα,故选C.‎ ‎5.D　[解析]作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,‎ ‎∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,‎ ‎∴∠EAB=x,∴∠FBA=x,‎ ‎∵AB=a,AD=b,‎ ‎∴FO=FB+BO=acosx+bsinx,‎ 故选D.‎ ‎6.C ‎7.A　[解析] 如图,过A作AD⊥BC交CB的延长线于点D,‎ 8‎ 则Rt△ACD中,∠CAD=50°,AD=h,‎ ‎∴CD=ADtan50°=htan50°.又∵Rt△ABD中,∠BAD=20°,可得BD=ADtan20°=htan20°,‎ ‎∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-tan20°).故答案为A.‎ ‎8.‎16‎‎5‎　[解析]过点A作AD⊥BC于点D,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°.‎ 在Rt△ADC中,‎ ‎∵∠ADC=90°,cosC=‎3‎‎5‎,AC=2,‎ ‎∴DC=‎3‎‎5‎×2=‎6‎‎5‎,AD=AC‎2‎-CD‎2‎=‎2‎‎2‎‎-(‎6‎‎5‎)‎‎ ‎‎2‎=‎8‎‎5‎,‎ 在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠B=30°.‎ ‎∵sinB=ADAB=‎1‎‎2‎,∴AB=2AD=‎16‎‎5‎.‎ ‎9.‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎　[解析]若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,‎ ‎∴BC=‎(2x‎)‎‎2‎-‎x‎2‎=‎3‎x,‎ ‎∴cosC=BCAC=‎3‎x‎2x=‎3‎‎2‎;‎ 若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,‎ ‎∴BC=‎(2x‎)‎‎2‎+‎x‎2‎=‎5‎x,‎ ‎∴cosC=ACBC=‎2x‎5‎x=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 综上所述,cosC的值为‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 故答案为‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎10.1.02　[解析]∵∠ABO=70°,AB=6米,‎ ‎∴sin70°=AOAB=AO‎6‎≈0.94,‎ 解得:AO≈5.64(米),‎ ‎∵∠CDO=50°,DC=6米,‎ ‎∴sin50°=CO‎6‎≈0.77,‎ 解得:CO≈4.62(米),‎ 则AC≈5.64-4.62=1.02(米),‎ 8‎ 故答案为:1.02.‎ ‎11.解:过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则∠ACD=60°,∠BCD=45°,如图所示.‎ 在Rt△BCD中,sin∠BCD=BDBC,cos∠BCD=CDBC,‎ ‎∴BD=BC·sin∠BCD=20×3×‎2‎‎2‎≈42,CD=BC·cos∠BCD=20×3×‎2‎‎2‎≈42.‎ 在Rt△ACD中,tan∠ACD=ADCD,‎ ‎∴AD=CD·tan∠ACD=42×‎3‎≈72.66.‎ ‎∴AB=AD+BD=72.66+42=114.66≈114.7.‎ ‎∴A,B间的距离约为114.7海里.‎ ‎12.解:(1)∵tanB=‎3‎‎4‎,可设AC=3x,得BC=4x,‎ ‎∵AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴(3x)2+(4x)2=52,‎ 解得x=-1(舍去)或x=1,‎ ‎∴AC=3,BC=4,‎ ‎∵BD=1,‎ ‎∴CD=3,‎ ‎∴AD=CD‎2‎+AC‎2‎=3‎2‎.‎ ‎(2)过点D作DE⊥AB于点E,‎ ‎∵tanB=‎3‎‎4‎,可设DE=3y,则BE=4y,‎ ‎∵BE2+DE2=BD2,‎ ‎∴(3y)2+(4y)2=1,‎ 解得y=-‎1‎‎5‎(舍去)或y=‎1‎‎5‎,‎ ‎∴DE=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴sinα=DEAD=‎2‎‎10‎.‎ ‎13.解:如图,过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F,‎ 8‎ 则CE∥DF,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴四边形CDFE是矩形,‎ ‎∴EF=CD=120,DF=CE,‎ 在Rt△BDF中,∵∠BDF=32°,BD=80,‎ ‎∴DF=BD·cos32°≈80×‎17‎‎20‎=68,‎ BF=BD·sin32°≈80×‎17‎‎32‎=‎85‎‎2‎,‎ ‎∴BE=EF-BF=‎155‎‎2‎,‎ 在Rt△ACE中,‎ ‎∵∠ACE=42°,CE=DF=68,‎ ‎∴AE=CE·tan42°≈68×‎9‎‎10‎=‎306‎‎5‎,‎ ‎∴AB=AE+BE=‎155‎‎2‎‎+‎‎306‎‎5‎≈139(m),‎ 答:木栈道AB的长度约为139 m.‎ ‎14.2　[解析]由正方形ABCD和点E,F分别为BC,CD边的中点,易证△ABE≌△BCF,证得AE⊥BF,延长BF交AD的延长线于点G,可证△BCF≌△GDF,‎ ‎∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质得AD=DP=‎1‎‎2‎AG,‎ ‎∴∠APD=∠DAE=∠AEB,‎ ‎∴tan∠APD=tan∠AEB=2.故填2.‎ ‎15.‎2n+1‎‎2n‎2‎+2n　[解析]当n=1时,tanα1=‎3‎‎4‎=‎3‎‎1×4‎;‎ 当n=2时,tanα2=‎5‎‎12‎=‎5‎‎2×6‎;‎ 当n=3时,tanα3=‎7‎‎24‎=‎7‎‎3×8‎;‎ ‎……‎ ‎∴tanαn=‎2n+1‎n(2n+2)‎=‎2n+1‎‎2n‎2‎+2n.‎ 8‎