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- 2021-11-06 发布
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21.2
解一元二次方程
21.2.1
配方法
知识点一
知识点二
知识点一
利用平方根的定义解一元二次方程
一般地
,
对于方程
x
2
=p
,
(1)
当
p>
0
时
,
根据平方根的意义
,
方程
x
2
=p
有两个不相等的实数根
,
x
1
=
,
x
2
=-
;
(2)
当
p=
0
时
,
根据平方根的意义
,
方程
x
2
=p
有两个相等的实数根
,
x
1
=x
2
=
0;
(3)
当
p<
0
时
,
因为对任意实数
x
,
都有
x
2
≥
0,
所以方程
x
2
=p
无实根
.
知识点一
知识点二
名师解读
:
利用平方根的定义解一元二次方程的方法也叫做直接开平方法
,
适合解一边是关于某个未知数的完全平方式
,
另一边是非负数的形式的一元二次方程
.
具体步骤如下
:
(1)
将方程化为
x
2
=a
(
a
≥
0)
或
(
ax+b
)
2
=c
(
c
≥
0)
的形式
;
(2)
两边开平方
,
得
知识点一
知识点二
例
1
用直接开平方法解下列方程
:
(1)
x
2
-
9
=
0;
(2)4(
x-
2)
2
-
3
=
0;
(3)
x
2
-
6
x+
9
=
7;
(4)(
x-
2)
2
=
(2
x+
5)
2
.
分析
:
(1)
先变形得到
x
2
=
27,
然后利用直接开平方法求解
;
(2)
先变形得到
(
x-
2)
2
=
,
然后利用直接开平方法求解
;
(3)
先变形得到
(
x-
3)
2
=
7,
然后利用直接开平方法求解
;
(4)
先两边开方得到
x-
2
=
±
(2
x+
5),
然后解一元一次方程即可
.
知识点一
知识点二
知识点一
知识点二
(1)
用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有
:
x
2
=a
(
a
≥
0);
ax
2
=b
(
a
,
b
同号且
a
≠0);
(
x+a
)
2
=b
(
b
≥
0);
a
(
x+b
)
2
=c
(
a
,
c
同号且
a
≠0)
.
法则
:
先把方程化为
“
左平方
,
右常数
”
,
再开平方取正负
,
分开求得方程解
.
(2)
运用整体思想
,
可把被开方数看成整体
.
知识点一
知识点二
知识点二
用配方法解一元二次方程
通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法
,
叫做配方法
.
名师解读
:
配方法就是通过配方
,
使一元二次方程转化为可以用直接开平方法求解的形式
,
最终实现了
“
降次
”
的目的
,
这种方法
“
原则
”
上适用于任何形式的一元二次方程求解
.
一般步骤如下
:
(1)
将方程化成一般形式并把二次项系数化成
1
.
(
方程两边都除以二次项系数
)
(2)
移项
,
使方程左边只含有二次项和一次项
,
右边为常数
.
(3)
配方
,
方程两边都加上一次项系数一半的平方
.
知识点一
知识点二
(4)
原方程变为
(
x+n
)
2
=p
的形式
:
①
当
p>
0
时
,
方程有两个不相等的实数根
②
当
p=
0
时
,
方程有两个相等的实数根
x
1
=x
2
=-n
;
③
当
p<
0
时
,
因为对任意实数
x
,
都有
(
x+n
)
2
≥
0,
所以方程无实根
.
知识点一
知识点二
知识点一
知识点二
对于二次项系数为
“
1”
的一元二次方程的配方
,
只需要利用等式的基本性质
,
左右两边都加上一次项系数一半
(
与系数的符号无关
)
的平方即可
.
知识点一
知识点二
例
3
用配方法解方程
:
x
2
+x-
20
=
0
.
分析
:
因为题目要求用配方法解一元二次方程
,
故按照配方法的一般步骤进行即可
.
解
:
∵
x
2
+x-
20
=
0,
∴
x
2
+x=
20
.
知识点一
知识点二
选择用配方法解一元二次方程时
,
最好使方程的二次项的系数为
1
.
知识点一
知识点二
例
4
用配方法解方程
:2
x
2
-
4
x=
1
.
分析
:
题目要求利用配方法解一元二次方程
,
观察发现方程的二次项的系数不为
1,
因此先把二次项系数化成
1,
然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方
,
把左边配成完全平方式
,
右边化为常数即可
.
知识点一
知识点二
用配方法解一元二次方程
,
当二次项系数不为
“
1”
时
,
先化成
“
1”,
然后按照二次项系数为
“
1”
的方法进行即可
.
拓展点一
拓展点二
拓展点一
特殊配方巧解一元二次方程
例
1
解方程
4
x
2
-
4
x-
1
=
0
.
分析
:
方法一
:
按照常规的配方法去解
;
方法二
:
按照常规的配方法去解
,
但是不需要先把二次项系数化成
1,
观察等号的左边二次项的系数是一个完全平方数
,
只要在方程的左右两边同时加上
2,
左端即变成一个完全平方式
,
右端是一个非负数
,
就可以直接平开方求出方程的解
.
拓展点一
拓展点二
拓展点一
拓展点二
此种解法告诉我们配方法可以灵活运用
,
当左边二次项系数为一个数的完全平方时
,
可以不必将二次项系数化成
1,
只要按照方法二的解法进行即可
.
拓展点一
拓展点二
拓展点二
利用配方法判定二次三项式的符号
例
2
用配方法
证明
:
不论
x
为任何实数
,
代数式
x
2
-
6
x+
10
的值恒大于
0
.
分析
:
本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于
0,
说明一个二次三项式恒大于
0
的方法是通过配方将二次三项式化成
“
a
2
+
正数
”
的形式
,
根据完全平方的非负性来证明
.
拓展点一
拓展点二
证明
:
x
2
-
6
x+
10
=x
2
-
6
x+
9
-
9
+
10
=
(
x-
3)
2
+
1,
又
∵
(
x-
3)
2
≥
0,
∴
(
x-
3)
2
+
1
>
0,
即
x
2
-
6
x+
10
>
0
.
∴
不论
x
为任何实数
,
代数式
x
2
-
6
x+
10
的值恒大于
0
.
拓展点一
拓展点二
要说明一个式子恒大于
0,
只要把这个式子表示成
“
a
2
+
正数
”
的形式即可
;
若要说明一个式子恒小于
0,
只要把这个式子表示成
“
-a
2
-
正数
”
即可
.
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