九年级数学下册第四章统计与概率3游戏公平吗习题课件北师大版 37页

3 游戏公平吗 1. 对一些游戏的公平性作出判断，会合理地设计游戏规则，使游戏公平 .( 重点 ) 2. 计算复杂事件的概率 .( 重点、难点 ) 1. 游戏是否公平的判断 (1) 用概率：若游戏不计双方得分，则通过计算概率来判断是 否公平，若概率相同，则 _____ ；若概率不同，则 _______. (2) 用得分：若游戏中设计双方得分，除计算概率外，还需要 根据游戏规则中规定的得分方法，分别计算双方 _____ ， 若 __________ ，则公平；若 ___________ ，则不公平 . 2. 修改概率使游戏公平 (1) 修改概率 . (2) 修改 _____ . 公平 不公平 得分 得分相同 得分不相同 得分 ( 打“√”或“ ×”) (1) 任意掷一枚硬币，正面朝上，则甲获胜，反面朝上，则乙 获胜，这个游戏公平 .( ) (2) 任意掷一个图钉，如果钉尖着地，则甲获胜，如果钉尖向 上，则乙获胜，这个游戏公平 . ( ) (3) 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次一定反面向 上 .( ) (4) 分别写有数字 0 ，－ 1 ，－ 2 ， 1 ， 3 的五张卡，除数字不同外 其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是 ( ) √ × × √ 知识点 1 利用概率判断游戏的公平与否 【 例 1 】 第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者 . 经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一 . 评委会决定通过抓球来确定人选 . 抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的 2 个红球和 1 个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球 . 若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出 . 你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析 . 【 思路点拨 】 用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况，求出抓出两红球及一红一绿的概率，根据概率的大小，分析游戏公平与否 . 【 自主解答 】 根据题意，画出树状图如下： 由此可知，共有 9 种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿 各有 4 种结果， P( 都是红球 ) P( 一红一绿 ) ∴ 这个规则对双方是公平的 . 【 总结提升 】 判断游戏的公平性 判断一个游戏是否公平，需要根据游戏双方赢的机会是否相等，如果不相等，那么这个游戏就是不公平的，否则就是公平的 . 另外，如果游戏中有赋分因素，应该通过计算参加游戏双方每次的平均得分，只有在每次平均得分相等时，游戏才是公平的 . 知识点 2 对不公平游戏的修改 【 例 2】 在一个不透明的口袋里装有四个分别标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的小球，它们的形状、大小等完全相同 . 小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为 x; 小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y. (1) 计算 x ， y 确定的点 (x,y) 在函数 y=-x+6 图象上的概率 . (2) 小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若 x ， y 满足 xy>6, 则小明胜 ; 若 x ， y 满足 xy<6, 则小红胜 . 这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平？ 【 解题探究 】 1. 怎样求出 x,y 确定的点在 y=-x+6 图象上的概率？ 提示： 先用画树状图或列表的方法，列出所有的情况，再看看在 y=-x+6 图象上的点的个数，然后求其概率 . 2. 根据 1 中的方法求概率： 画树状图 可得：点 (x,y) 共有 ___ 种： (1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2) (4,3) ，满足 y=-x+6 的有 2 种： ___________. ∴ 点 (x,y) 在函数 y=-x+6 图象上的概率为 ___. 12 (2,4)(4,2) 3. 怎样判断游戏的公平与否？ 提示： 分别求出双方获胜的概率，再判断游戏公平与否 . 4. 由树状图得： x ， y 满足 xy>6 的概率为 ____ ， x ， y 满足 xy<6 的 概率为 ____ ， ∴这个游戏规则不公平 . 5. 要使游戏公平，修改规则使双方获胜的概率相同： 若将 “ x ， y 满足 xy>6, 则小明胜 ” 改为 “ x ， y 满足 xy ___ 6, 则小 明胜 ” ；小红胜的游戏规则不变，游戏规则才对双方公平 . ≥ 【 互动探究 】 例题中还可以怎样修改使游戏公平？ 提示： 还可以通过得分调节，调节如下：若 x ， y 满足 xy>6 时，小明得 3 分，若 x ， y 满足 xy<6 时，小红得 2 分 . 【 总结提升 】 修改不公平游戏规则的两条原则 要把不公平的游戏改为公平的游戏，只需令游戏双方每次平均分相等即可 . 改变游戏规则时，可从两个方面着手，一是调配发生事件的概率，二是调配发生事件的所得分数 . 题组一： 利用概率判断游戏的公平与否 1. 向如图所示的正三角形区域扔沙包 ( 区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同 ) ，假设沙包击中每一个小正三角形是等可能的，扔沙包一次，击中阴影区域的概率等于 ( ) 【 解析 】 选 C.∵ 阴影部分所占面积大小为 ∴击中阴影区域的概率大小为 2. 一个不透明的布袋中有分别标着数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为 ( ) 【 解析 】 选 B ．列表得： ∵共有 12 种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的有 4 种情况，∴这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为 1 2 3 4 1 - 2+1=3 3+1=4 4+1=5 2 1+2=3 - 3+2=5 4+2=6 3 1+3=4 2+3=5 - 4+3=7 4 1+4=5 2+4=6 3+4=7 - 3. 有长度分别为 2 ， 3 ， 4 ， 7 的四条线段，任取其中三条能组成 三角形的概率是 _____ ． 【 解析 】 从长度分别为 2 ， 3 ， 4 ， 7 的四条线段中，任取三条线 段共有 2 ， 3 ， 4 ； 2 ， 3 ， 7 ； 2 ， 4 ， 7 ； 3 ， 4 ， 7 四种情况，能组 成三角形的只有 2 ， 3 ， 4 一种情况，所以能组成三角形的概率 是 答案： 4. 在一个不透明的口袋中装有 3 个带号码的球，球号分别为 2 ， 3 ， 4 ，这些球除号码不同外其他均相同．甲、乙两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再由乙同学从中随机摸出一球，记下球号．将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数．若该两位数能被 4 整除，则甲胜，否则乙胜 . 问这个游戏公平吗？说明理由． 【 解析 】 画树状图如下： 由图可知，所有等可能的结果共有 9 种，其中，两位数能被 4 整 除的情况有 3 种．所以 P( 甲获胜 ) P( 乙获胜 ) 因为 P( 甲获胜 )≠P( 乙获胜 ) ，所以，这个游戏不公平 . 5. 下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色 ( 红色与蓝色能配成紫色 ) 游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗 ? 【 解析 】 因为转动转盘共出现 9 种结果，即： ( 红，红 ) ， ( 红， 蓝 ) ， ( 红，蓝 ) ， ( 红，红 ) ， ( 红，蓝 ) ， ( 红，蓝 ) ， ( 蓝， 红 ) ， ( 蓝，蓝 ),( 蓝，蓝 ) ，而其中配成紫色的有 5 种结果，所 以 P( 配成紫色 ) P( 配不成紫色 ) 故配成紫色与配不成紫色的概率不相同 . 6. 为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏： 口袋中有编号分别为 1 ， 2 ， 3 的红球三个和编号为 4 的白球一个，四个球除了颜色和编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得 1 分，否则，甲得 0 分； 如果乙摸出的球是白色，乙得 1 分，否则，乙得 0 分 . 得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来． (1) 运用列表或画树状图求甲得 1 分的概率 . (2) 这个游戏是否公平？请说明理由． 【 解析 】 (1) 列表如下： P( 甲得 1 分 ) (2) 不公平．∵ P( 乙得 1 分 ) ∴P( 甲得 1 分 )≠P( 乙得 1 分 ) ， ∴不公平． 第 1 次 得分 第 2 次 1 2 3 4 1 1 分 1 分 0 分 2 1 分 1 分 0 分 3 1 分 1 分 0 分 4 0 分 0 分 0 分 题组二： 对不公平游戏的修改 1. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是 ( ) 【 解析 】 选 D. 将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树 状图得： ∵共有 6 种等可能的结果，可配成紫色的有 3 种情况 . ∴ 可配成紫色的概率是 2. 一个暗箱里放有 a 个除颜色外完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，若每次将球搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 20% 附近，那么可以推算出 a 的值大约是 _______ ． 【 解析 】 根据题意，说明红球占总数的 20% ， 所以总数为 3÷20%=15 ． 答案： 15 3. 有一个口袋装有 2 个红球， 2 个绿球，任意摸出 2 球，若颜色不同，则小明胜并且得 1 分，否则小刚胜 . 为了使该游戏公平，则小刚胜时应得 _______ 分 . 【 解析 】 列表如下： P( 颜色相同 ) P( 颜色不同 ) 则小明的平均得分为 若使得游戏公平，则平均得分相同，所以小刚获胜 时应得 2 分 . 答案： 2 红 1 红 2 绿 1 绿 2 红 1 ( 红 1 , 红 2 ) ( 红 1 , 绿 1 ) ( 红 1 , 绿 2 ) 红 2 ( 红 2 , 红 1 ) ( 红 2 , 绿 1 ) ( 红 2 , 绿 2 ) 绿 1 ( 绿 1 , 红 1 ) ( 绿 1 , 红 2 ) ( 绿 1 , 绿 2 ) 绿 2 ( 绿 2 , 红 1 ) ( 绿 2 , 红 2 ) ( 绿 2 , 绿 1 ) 4. 四张质地相同的卡片如图所示． 将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． (1) 求随机抽取一张卡片，恰好得到数字 2 的概率 . (2) 小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平． 【 解析 】 (1)P( 抽到 2) (2) 根据题意可列表 第一次抽 第二次抽 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 或画树状图： 从表 ( 或树状图 ) 中可以看出所有可能结果共有 16 种，符合 “ 组 成的两位数不超过 32 ” 这一条件的有 10 种， ∴ P( 两位数不超过 32) ∴ 游戏不公平． 调整规则： 方法一：将游戏规则中的 32 换成 26 ～ 31( 包括 26 和 31) 之间的任何一个数都能使游戏公平． 方法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过 32 的得 3 分，抽到的两位数超过 32 的得 5 分，能使游戏公平． 方法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是 2 ，小贝胜，反之小晶胜 . 【 想一想错在哪？ 】 小明和小刚利用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏 . 配成紫色，小明得 3 分，否则小刚得 1 分，这个游戏公平吗？为什么？ ( 红色和蓝色可以配成紫色 ) 提示： 某事件发生的概率仅仅由事件本身来决定，而判断游戏是否公平，需计算 “ 平均得分 ” .