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- 2021-11-06 发布
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专题十四 用函数的观点看方程（组）或不等式
一、考点扫描
二、考点训练
1．（2006年广西省）已知y=-2x+m，当x=3时，y=1，则直线y=-2x+m与x轴的交点坐标为_______．
2．若直线y=x-2与直线y=-x+a相交于x轴，则直线y=-x+a不经过的象限是_____．
3．若不等式kx+b>0的解集为x>-2，则直线y=kx+b与x轴的交点为_____．
4．（2006年衡阳市）如图，直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2交于点（-2，2），则当x____时，y10的解集为（ ）
A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2
8．（2006年安徽省）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y1=k1x+a1和y2=k2x+a2，图象如图所示，设所挂物体质量为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1y2．
3、如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图象．
（1）根据图象，求k，b的值；
（2）在图中画出函数y=-2x+2的图象；
（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．
4、育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商
购买，每件需要8元；方案2：学校自己制作，每
件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要
仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）．
（1）分别写出y1，y2的函数表达式；
（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？
（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．
5、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出
发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是
正比例函数图象和一次函数图象），根据图象解答下
列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
四、综合应用
1、如图所示，设田地自动喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B和水流最高点C的连线与水平地面成45°角，点C比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少？
2、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，
如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液
中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10-3毫克），
接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3
微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后:
（1）分别求出x≤2和x≥2时x与y之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？
（一）方程、函数型
此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、几何联系在一起．
1..（2007山东青岛）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称
饮料名称
甲
乙
A
20克
40克
B
30克
20克
2.（2007重庆）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐 橙 品 种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获得（百元）
12
16
10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
3.（05资阳）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①
比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6局比赛的总得分高者获胜 ．
（1） 设某局比赛第n(n＝1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
（2） 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：
第一局
第二局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
×
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
×
根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜．
4.（2007广东梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．
5.（2007哈尔滨）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；
（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过400元
售价打九折
超过400元
售价打八折
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）
6．（07茂名市）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．
（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度；
（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？
7、（2007哈尔滨）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价
进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；
（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过400元
售价打九折
超过400元
售价打八折
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）
（二）测量设计型
设计测量方案题渗透到几何各章节之中，例如：测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，此类题目解法不惟一，是典型的开放型试题．
8.（07资阳）图7
一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图7所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 ．
⑴ 求整修后背水坡面的面积；
⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？
9.（05宁波）沪杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，斜坡DC的坡度为i1，在其一侧加宽DF＝7.75米，点E、F分别在BC、AD的延长线上，斜坡FE的坡度为i2(i1＜i2).设路基的高DM＝h米，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF的面积为s米2．
（1）已知i2＝1：1.7，h＝3米，求ME 的长．
(1) 不同路段的i1、i2、、、h是不同的，请你设计一个求面积S的公式(用含i1、i2的代数式表示).(通常把坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度.坡度常用字母i表示，即i＝，通常写成1：m的形式)
三:设计最佳方案型
此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、几何联系在一起．
10.（2007四川绵阳）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
11.（2007四川眉山）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分付镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：
沼气池
修建费用(万元/个)
可供使用户数(户/个)
占地面积(m2/个)
A型
3
20
48
B型
2
3
6
政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；
（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．
12.（2007重庆）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐 橙 品 种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获得（百元）
12
16
10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
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