辽宁省鞍山市2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷 解析版 20页

2020-2021 学年辽宁省鞍山市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每题 2 分，共 20 分） 1．2﹣3 的值是（ ） A．﹣6 B．﹣8 C． D．﹣ 2．下面各图形中，对称轴最多的是（ ） A．长方形 B．正方形 C．等边三角形 D．等腰三角形 3．已知图中的两个三角形全等，则∠ α 的度数是（ ） A．72° B．60° C．58° D．50° 4．下列运算正确的是（ ） A．a3•a4＝a12 B．（m3）2＝m5 C．x3+x3＝x6 D．（﹣a2）3＝﹣a6 5．如图，△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 中点，下列结论中不正确的是（ ） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD 平分∠BAC D．AB＝2BD 6．下列各分式中，最简分式是（ ） A． B． C． D． 7．下列因式分解正确的是（ ） A．﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（x2+2） B．x2+x+1＝（x+1）2 C．2x2﹣ ＝2（x+ ）（x﹣ ） D．4x2﹣16＝（2x+4）（2x﹣4） 8．如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的 长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度数为（ ） A．65° B．60° C．55° D．45° 9．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DF⊥AB，垂 足为点 F，点 E 在边 AC 上，若 DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ） A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE 10．在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，﹣5），若平面内存在一 点 C，使△ABC 是等腰直角三角形，则下列 C 点坐标不符合题意的是（ ） A．（﹣8，﹣3） B．（﹣5，﹣8） C．（2，3） D．（5，﹣3） 二、填空题：（每题 2 分，共 16 分） 11．（﹣ ）2020•（1.5）2021＝ ． 12．已知△ABC 的两条边长分别为 2 和 5，则第三边 c 的取值范围是 ． 13．如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB，若∠A＝68°，∠BCD＝31°，则∠B＝ ． 14．若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是 边形． 15．已知 x+y＝6，xy＝7，则 x2y+xy2 的值是 ． 16．甲、乙两个港口之间的海上行程为 skm，一艘轮船以 akm/h 的航速从甲港顺水航行到达 乙港．已知水流速度为 xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为 h． 17．如图的 4×4 的正方形网格中，有 A、B、C、D 四点，直线 a 上求一点 P，使 PA+PB 最 短，则点 P 应选 点（C 或 D）． 18．如图，在△ABC 中，若∠ABC＝45°，P 为 BC 边上一点，且 PC＝2PB，∠APC＝60°， 过点 C 作 CE⊥AP，则∠ACB 的度数是 ． 三、解答题：（本题共 44 分） 19．计算： （1）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）2； （2）（m+2+ ）• ． 20．先化简，再求值： （a2b﹣2ab﹣b2）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中 a＝0.5，b＝﹣1． 21．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，点 M 是边 AB 上任意一点，连接 CM， 过点 A，B 分别作 AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为 E，F，若 BF＝2.6cm，AE＝0.9cm， 分别求出 CF，EF 的长． 22．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网 格线的交点）和点 M． （1）在给出图上画出一个格点△MB1C1，并使它与△ABC 全等且 A 与 M 是对应点； （2）以点 M 所在的水平直线为对称轴，画出△ABC 的轴对称图形△A2B2C2． 23．观察下列各式： 12+32+42＝2×（12+32+3） 22+32+52＝2×（22+32+6） 32+62+92＝2×（32+62+18） … （1）请用 a，b，c 表示左边由小到大的三个底数，并写出它们之间的关系； （2）请用字母 a，b 写出上述等式的规律，并加以证明． 四、综合题：（本题共 20 分） 24．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小 两辆车前往相距 140km 的乡村敬老院． （1）若小车速度是大车速度的 1.4 倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度． （2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了 60 千米以后，发现有物品遗忘，小车 准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？ 25．如图，在△ABC 中． （1）如图 ① ，分别以 AB、AC 为边作等边△ABD 和等边△ACE，连接 BE，CD； ① 猜想 BE 与 CD 的数量关系是 ； ② 若点 M，N 分别是 BE 和 CD 的中点，求∠AMN 的度数； （2）如图 ② ，若分别以 AB、AC 为边作△ABD 和△ACE，且 AD＝AB，AC＝AE，∠DAB ＝∠CAE＝ α ，DC、BE 交于点 P，连接 AP，请直请接写出∠APC 与 α 的数量关系 2020-2021 学年辽宁省鞍山市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．2﹣3 的值是（ ） A．﹣6 B．﹣8 C． D．﹣ 【分析】直接利用负整数指数幂的性质分析得出答案． 【解答】解：2﹣3＝ ＝ ． 故选：C． 2．下面各图形中，对称轴最多的是（ ） A．长方形 B．正方形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【分析】利用轴对称图形的性质分别判断各选项的对称轴条数，进而得出答案． 【解答】解：∵长方形有两条对称轴，正方形有 4 条对称轴， 等边三角形有 3 条对称轴，等腰三角形有 1 条对称轴， ∴对称轴最多的是：正方形． 故选：B． 3．已知图中的两个三角形全等，则∠ α 的度数是（ ） A．72° B．60° C．58° D．50° 【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答 案． 【解答】解：∵图中的两个三角形全等 a 与 a，c 与 c 分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 ∴∠ α ＝50° 故选：D． 4．下列运算正确的是（ ） A．a3•a4＝a12 B．（m3）2＝m5 C．x3+x3＝x6 D．（﹣a2）3＝﹣a6 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并 同类项的方法，逐项判断即可． 【解答】解：∵a3•a4＝a7， ∴选项 A 不符合题意； ∵（m3）2＝m6， ∴选项 B 不符合题意； ∵x3+x3＝2x3， ∴选项 C 不符合题意； ∵（﹣a2）3＝﹣a6， ∴选项 D 符合题意． 故选：D． 5．如图，△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 中点，下列结论中不正确的是（ ） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD 平分∠BAC D．AB＝2BD 【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解． 【解答】解：∵△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 中点 ∴∠B＝∠C，（故 A 正确） AD⊥BC，（故 B 正确） ∠BAD＝∠CAD（故 C 正确） 无法得到 AB＝2BD，（故 D 不正确）． 故选：D． 6．下列各分式中，最简分式是（ ） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式定义判断即可． 【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式＝ ＝x+y，不符合题意； C、原式＝ ＝ ，不符合题意； D、原式＝ ＝ ，不符合题意． 故选：A． 7．下列因式分解正确的是（ ） A．﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（x2+2） B．x2+x+1＝（x+1）2 C．2x2﹣ ＝2（x+ ）（x﹣ ） D．4x2﹣16＝（2x+4）（2x﹣4） 【分析】运用提取公因式法，完全平方公式和平方差公式进行因式分解，并作出正确的 判断． 【解答】解：A、﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（xn+2），故本选项计算错误． B、x2+x+1≠（x+1）2，故本选项计算错误． C、2x2﹣ ＝2（x+ ）（x﹣ ），故本选项计算正确． D、4x2﹣16＝4（x+2）（x﹣2），故本选项计算错误． 故选：C． 8．如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的 长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度数为（ ） A．65° B．60° C．55° D．45° 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠ DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：MN 是 AC 的垂直平分线， 则 AD＝DC，故∠C＝∠DAC， ∵∠C＝30°， ∴∠DAC＝30°， ∵∠B＝55°， ∴∠BAC＝95°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°， 故选：A． 9．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DF⊥AB，垂 足为点 F，点 E 在边 AC 上，若 DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ） A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DF ⊥AB，垂足为点 F， ∴DC＝DF，故 A 正确， 在 Rt△DCE 与 Rt△DFB 中， ， ∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL）， ∴CE＝BF，故 B 错误， 在 Rt△ADC 与 Rt△ADF 中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL）， ∴AC＝AF，故 C 正确， ∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故 D 正确， 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，﹣5），若平面内存在一 点 C，使△ABC 是等腰直角三角形，则下列 C 点坐标不符合题意的是（ ） A．（﹣8，﹣3） B．（﹣5，﹣8） C．（2，3） D．（5，﹣3） 【分析】根据由全等三角形的判定和性质可求点 C 坐标． 【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，﹣5）， ∴OA＝3，OB＝5， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴点 C 的坐标为（﹣8，﹣3），（﹣5，﹣8），（2，3），（5，﹣2）， 故选：D． 二．填空题 11．（﹣ ）2020•（1.5）2021＝ ． 【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可． 【解答】解：（﹣ ）2020•（1.5）2021 ＝（﹣ ）2020•（1.5）2020× ＝（﹣ ）2020•（ ）2020× ＝ ＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 12．已知△ABC 的两条边长分别为 2 和 5，则第三边 c 的取值范围是 3＜c＜7 ． 【分析】根据三角形三边关系定理可得 5﹣2＜c＜5+2，进而求解即可． 【解答】解：由题意，得 5﹣2＜c＜5+2， 即 3＜c＜7． 故答案为：3＜c＜7． 13．如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB，若∠A＝68°，∠BCD＝31°，则∠B＝ 50° ． 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和解答即可． 【解答】解：∵CD 平分∠ACB，∠BCD＝31°， ∴∠ACB＝2∠BCD＝62°， ∵∠A＝68°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣68°＝50°， 故答案为：50°． 14．若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是 四 边形． 【分析】利用多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求 出多边形的边数． 【解答】解：设这个多边形的边数是 n，则 （n﹣2）•180°＝360°， 解得 n＝4． 故答案为：四． 15．已知 x+y＝6，xy＝7，则 x2y+xy2 的值是 42 ． 【分析】将所求式子因式分解，然后将 x+y＝6，xy＝7 代入，即可解答本题． 【解答】解：∵x+y＝6，xy＝7， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝7×6 ＝42， 故答案为：42． 16．甲、乙两个港口之间的海上行程为 skm，一艘轮船以 akm/h 的航速从甲港顺水航行到达 乙港．已知水流速度为 xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为 h． 【分析】用航行的路程除以逆水航行的速度即可得到时间． 【解答】解：∵甲港顺水以 akm/h 的航速航行到乙港，已知水流的速度为 xkm/h， ∴逆水航行的速度为（a﹣2x）km/h， ∴返回时的时间为： h． 故答案是： ． 17．如图的 4×4 的正方形网格中，有 A、B、C、D 四点，直线 a 上求一点 P，使 PA+PB 最 短，则点 P 应选 C 点（C 或 D）． 【分析】首先求得点 A 关于直线 a 的对称点 A′，连接 A′B，即可求得答案． 【解答】解：如图，点 A′是点 A 关于直线 a 的对称点，连接 A′B，则 A′B 与直线 a 的交点，即为点 P，此时 PA+PB 最短， ∵A′B 与直线 a 交于点 C， ∴点 P 应选 C 点． 故答案为：C． 18．如图，在△ABC 中，若∠ABC＝45°，P 为 BC 边上一点，且 PC＝2PB，∠APC＝60°， 过点 C 作 CE⊥AP，则∠ACB 的度数是 75° ． 【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和解答即可． 【解答】解：连接 BE， 在 Rt△CEP 中，∠PCE＝90°﹣∠APC＝90°﹣60°＝30°， ∴PE＝ PC， ∵PC＝2PB， ∴PE＝PB， ∴∠PBE＝∠PEB， ∵∠PBE+∠PEB＝∠APC＝60°， ∴∠PBE＝∠PEB＝30°， ∵∠ABE＝∠ABC﹣∠PBE，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝45°﹣30°＝15°， ∴∠ABE＝∠BAE， ∴EB＝EA， ∵∠EBP＝30°，∠PCE＝30°， ∴∠EBP＝∠PCE， ∴EB＝EC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵CE⊥AP， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC+∠ECA＝90°， ∴∠ECA＝45°， ∴∠ACB＝∠ECA+∠PCE＝45°+30°＝75°， 故答案为：75°． 三．解答题 19．计算： （1）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）2； （2）（m+2+ ）• ． 【分析】（1）先进行乘方运算，然后进行同底数幂的除法运算； （2）先把括号内通分，再把分子分母因式分解，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式＝4xy2z÷（4x﹣4y2z﹣2） ＝x5z3； （2）原式＝ • ＝﹣ • ＝﹣2（m+3） ＝﹣2m﹣6． 20．先化简，再求值： （a2b﹣2ab﹣b2）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中 a＝0.5，b＝﹣1． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把 a，b 的值代入得出答案． 【解答】解：原式＝a2﹣2a﹣b﹣（a2﹣b2） ＝a2﹣2a﹣b﹣a2+b2 ＝﹣2a﹣b+b2， 当 a＝0.5，b＝﹣1 时， 原式＝﹣2×0.5﹣（﹣1）+（﹣1）2 ＝﹣1+1+1 ＝1． 21．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，点 M 是边 AB 上任意一点，连接 CM， 过点 A，B 分别作 AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为 E，F，若 BF＝2.6cm，AE＝0.9cm， 分别求出 CF，EF 的长． 【分析】由 AE⊥CM．BF⊥CM，推出∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，推出∠CAE+∠ ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，可得∠CAE＝∠BCF，根据 AAS 即可证△ACE≌△ CBF，可得 AE＝CF＝0.9cm，BF＝CE＝2.6cm，即可求解． 【解答】证明：∵AE⊥CM．BF⊥CM， ∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， 在△ACE 和△CBF 中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF＝0.9（cm），BF＝CE＝2.6（cm）， ∴EF＝CE﹣CF＝1.7（cm）． 22．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网 格线的交点）和点 M． （1）在给出图上画出一个格点△MB1C1，并使它与△ABC 全等且 A 与 M 是对应点； （2）以点 M 所在的水平直线为对称轴，画出△ABC 的轴对称图形△A2B2C2． 【分析】（1）根据对称性即可画出一个格点△MB1C1，使它与△ABC 全等且 A 与 M 是对 应点； （2）根据对称性即可以点 M 所在的水平直线为对称轴，画出△ABC 的轴对称图形△ A2B2C2． 【解答】解：（1）如图，△MB1C1 即为所求； （2）如图，△A2B2C2 即为所求． 23．观察下列各式： 12+32+42＝2×（12+32+3） 22+32+52＝2×（22+32+6） 32+62+92＝2×（32+62+18） … （1）请用 a，b，c 表示左边由小到大的三个底数，并写出它们之间的关系； （2）请用字母 a，b 写出上述等式的规律，并加以证明． 【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出用 a，b，c 表示左边由小到大的三个底数对 应的等式，然后即可写出它们之间的关系； （2）根据（1）中结果，可以用 a、b 表示出相应的等式，然后证明即可． 【解答】解：（1）∵12+32+42＝2×（12+32+3）， 22+32+52＝2×（22+32+6）， 32+62+92＝2×（32+62+18）， …， ∴用 a，b，c 表示左边由小到大的三个底数，这个式子是 a2+b2+c2＝2×（a2+b2+ab），它 们之间的关系是 c＝a+b； （2）a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab）， 证明：∵a2+b2+（a+b）2 ＝a2+b2+a2+2ab+b2 ＝2a2+2b2+2ab ＝2（a2+b2+ab）， ∴a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab）成立． 24．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小 两辆车前往相距 140km 的乡村敬老院． （1）若小车速度是大车速度的 1.4 倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度． （2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了 60 千米以后，发现有物品遗忘，小车 准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？ 【分析】（1）设大车速度为 x 千米/时，则小车速度为 1.4x 千米/时，根据“小车比大车早 一个小时到达”列出方程并解答． （2）设原速度为 a 千米/时，小车后来提速到原来得 m 倍，根据两车行驶时间相等列出 方程并解答． 【解答】解：（1）设大车速度为 x 千米/时， 由题意，得 ， 解得 x＝40，经检验 x＝40 是方程的解， ∴1.4x＝56（千米/时）． ∴大车得速度是 40 千米/时，小车得速度是 56 千米/时； （2）设原速度为 a 千米/时，小车后来提速到原来得 m 倍， 则 ， 解得 m＝2.5，且符合题意． 答：应提速到原来的 2.5 倍． 25．如图，在△ABC 中． （1）如图 ① ，分别以 AB、AC 为边作等边△ABD 和等边△ACE，连接 BE，CD； ① 猜想 BE 与 CD 的数量关系是 BE＝CD ； ② 若点 M，N 分别是 BE 和 CD 的中点，求∠AMN 的度数； （2）如图 ② ，若分别以 AB、AC 为边作△ABD 和△ACE，且 AD＝AB，AC＝AE，∠DAB ＝∠CAE＝ α ，DC、BE 交于点 P，连接 AP，请直请接写出∠APC 与 α 的数量关系 【分析】（1） ① 证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论； （2）连接 AN，由 ① 得：△ABE≌△ADC（SAS），则 BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，再证 △ADN≌△ABM（SAS），得 AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，然后证∠MAN＝∠BAD＝60°， 得△AMN 为等边三角形，即可得出∠AMN＝60°； （3）过 A 作 AM⊥CD 于 M，AN⊥BE 于 N，同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM ≌△ABN（SAS），则∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，证出 PA 平分∠DPE，得∠APE＝ ∠ DPE，再证∠EPC＝∠CAE＝ α ，得∠DPE＝180°﹣ α ，则∠APE＝90°﹣ α ，即可得出 结论． 【解答】解：（1） ① BE＝CD，理由如下： ∵△ABD 和△ACE 是等边三角形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE， ∴∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠BAC， 即∠BAE＝∠DAC， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝CD， 故答案为：BE＝CD； （2）连接 AN，如图 ① 所示： 由 ① 得：△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC， ∵点 M，N 分别是 BE 和 CD 的中点， ∴BM＝DN， 又∵AD＝AB， ∴△ADN≌△ABM（SAS）， ∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM， ∴∠BAM+∠BAN＝∠DAN+∠BAN， 即∠MAN＝∠BAD＝60°， ∴△AMN 为等边三角形， ∴∠AMN＝60°； （3）∠APC＝ ，理由如下： 过 A 作 AM⊥CD 于 M，AN⊥BE 于 N，如图 ② 所示： 同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（SAS）， ∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN， ∵AM⊥CD，AN⊥BE， ∴PA 平分∠DPE， ∴∠APE＝ ∠DPE， 又∵∠EPC+∠ACD＝∠CAE+∠AEB， ∴∠EPC＝∠CAE＝ α ， ∴∠DPE＝180°﹣ α ， ∴∠APE＝ （180°﹣ α ）＝90°﹣ α ， ∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝90°﹣ α + α ＝90°+ α ．