• 271.32 KB
  • 2021-11-06 发布

2021年九年级中考数学复习提分专练—几何压轴:圆的综合(一)

  • 20页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2021 年九年级中考数学复习提分专练— 几何压轴:圆的综合(一) 1.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 H,过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延 长线于 F.切点为 G,连接 AG 交 CD 于 K. (1)如图 1,求证:KE=GE; (2)如图 2,若 AC∥EF,试判断线段 KG、KD、GE 间的数量关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若 sinE= ,AK=2 ,求⊙O 的半径. 2.如图,AB、CD 为⊙O 的直径,弦 AE∥CD,连接 BE 交 CD 于点 F,过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE 是⊙O 的切线; (2)求证:ED 平分∠BEP. 3.如图,已知 AC,BD 为⊙O的两条直径,连接 AB,BC,OE⊥AB 于点 E,点 F 是半径 OC 的 中点,连接 EF. (1)设⊙O 的半径为 1,若∠BAC=30°,求线段 EF 的长. (2)连接 BF,DF,设 OB 与 EF 交于点 P, ①求证:PE=PF. ②若 DF=EF,求∠BAC 的度数. 4.已知,如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,OF⊥BC 于点 F,交⊙O 于点 E,AE 与 BC 交于点 H,点 D 为 OE 的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC. (1)求证:BD 是⊙O 的切线; (2)求证:CE2 =EH•EA; (3)若⊙O 的半径为 ,sinA= ,求 BH 的长. 5.已知,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O上,点 P是 AB 延长线上一点,连接 CP. (1)如图 1,若∠PCB=∠A. ①求证:直线 PC 是⊙O的切线; ②若 CP=CA,OA=2,求 CP 的长; (2)如图 2,若点 M 是弧 AB 的中点,CM 交 AB 于点 N,MN•MC=9,求 BM 的值. 6.(1)初步思考: 如图 1,在△PCB 中,已知 PB=2,BC=4,N 为 BC 上一点且 BN=1,试证明:PN= PC (2)问题提出: 如图 2,已知正方形 ABCD 的边长为 4,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点,求 PD+ PC 的最小值. (3)推广运用: 如图 3,已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠B=60°,圆 B的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个 动点,求 PD﹣ PC 的最大值. 7.如图,已知 AB 是⊙O 的弦,点 C 是弧 AB 的中点,D是弦 AB 上一动点,且不与 A、B 重合, CD 的延长线交于⊙O 点 E,连接 AE、BE,过点 A 作 AF⊥BC,垂足为 F,∠ABC=30°. (1)求证:AF 是⊙O 的切线; (2)若 BC=6,CD=3,则 DE 的长为 ; (3)当点 D 在弦 AB 上运动时, 的值是否发生变化?如果变化,请写出其变化范 围;如果不变,请求出其值. 8.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AC 边为直径作⊙O 交 BC 边于点 D,过点 D 作 DE⊥AB 于 点 E,ED、AC 的延长线交于点 F. (1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)若 EB= ,且 sin∠CFD= ,求⊙O的半径与线段 AE 的长. 9.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,过点 D作 DE⊥AB,垂足为 E,交 CA 的延长线于点 F. (1)求证:DF 是⊙O 的切线; (2)若∠C=30°,EF= ,求 EB 的长. 10.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N,点 P 在 AB 的延长线上,且∠CAB=2∠BCP. (1)求证:直线 CP 是⊙O 的切线; (2)若 BC=2 ,sin∠BCP= ,求点 B到 AC 的距离. 参考答案 1.解:(1)如图 1,连接 OG. ∵EG 为切线, ∴∠KGE+∠OGA=90°, ∵CD⊥AB, ∴∠AKH+∠OAG=90°, 又∵OA=OG, ∴∠OGA=∠OAG, ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE, ∴KE=GE. (2)KG2 =KD•GE,理由是: 连接 GD,如图 2, ∵AC∥EF, ∴∠C=∠E, ∵∠C=∠AGD, ∴∠E=∠AGD, ∵∠GKD=∠GKD, ∴△GKD∽△EKG, ∴ , ∴KG2 =KD•EK, 由(1)得:EK=GE, ∴KG2 =KD•GE; (3)连接 OG,OC,如图 3 所示, 由(1)得:KE=GE. ∵AC∥EF ∴∠E=∠ACH ∵sinE=sin∠ACH= , 设 AH=3t,则 AC=5t,CH=4t, ∵KE=GE,AC∥EF, ∴CK=AC=5t, ∴HK=CK﹣CH=t. 在 Rt△AHK 中,根据勾股定理得 AH2 +HK2 =AK2 , 即(3t)2 +t2 = ,解得 t= . 设⊙O半径为 r,在 Rt△OCH 中,OC=r,OH=r﹣3t,CH=4t, 由勾股定理得:OH2 +CH2 =OC2 , 即(r﹣3t)2 +(4t)2 =r2 ,解得 r= t= , 答:⊙O 的半径为 . 2.证明:(1)连接 OE,如图, ∵CD 为直径, ∴∠CED=90°,即∠CEO+∠OED=90°, ∵OC=OE, ∴∠C=∠CEO, ∴∠C+∠OED=90°, ∵∠PED=∠C. ∴∠PED+∠OED=90°,即∠OEP=90°, ∴OE⊥PE, ∴PE 是⊙O 的切线; (2)∵AB 为直径, ∴∠AEB=90°, 而 AE∥CD, ∴∠EFD=90°, ∴∠FED+∠EDF=90°, 而∠C+∠EDC=90°, ∴∠FED=∠C, ∴∠PED=∠FED, ∴ED 平分∠BEP. 3.(1)解:∵OE⊥AB,∠BAC=30°,OA=1, ∴∠AOE=60°,OE= OA= ,AE=EB= OE= , ∵AC 是直径, ∴∠ABC=90°, ∴∠C=60°, ∵OC=OB, ∴△OCB 是等边三角形, ∵OF=FC, ∴BF⊥AC, ∴∠AFB=90°, ∵AE=EB, ∴EF= AB= . (2)①证明:过点 F 作 FG⊥AB 于 G,交 OB 于 H,连接 EH. ∵∠FGA=∠ABC=90°, ∴FG∥BC, ∴△OFH∽△OCB, ∴ = = ,同理 = , ∴FH=OE, ∵OE⊥AB.FH⊥AB, ∴OE∥FH, ∴四边形 OEHF 是平行四边形, ∴PE=PF. ②∵OE∥FG∥BC, ∴ = =1, ∴EG=GB, ∴EF=FB, ∵DF=EF, ∴DF=BF, ∵DO=OB, ∴FO⊥BD, ∴∠AOB=90°, ∵OA=OB, ∴△AOB 是等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°. 4.(1)证明:如图 1 中, ∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC, ∴∠ODB=∠ABC, ∵OF⊥BC, ∴∠BFD=90°, ∴∠ODB+∠DBF=90°, ∴∠ABC+∠DBF=90°, 即∠OBD=90°, ∴BD⊥OB , ∴BD 是⊙O 的切线; (2)证明:连接 AC,如图 2所示: ∵OF⊥BC, ∴ = , ∴∠CAE=∠ECB, ∵∠CEA=∠HEC, ∴△CEH∽△AEC, ∴ = , ∴CE2 =EH•EA; (3)解:连接 BE,如图 3 所示: ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AEB=90°, ∵⊙O的半径为 ,sin∠BAE= , ∴AB=5,BE=AB•sin∠BAE=5× =3, ∴EA= =4, ∵ = , ∴BE=CE=3, ∵CE2 =EH•EA, ∴EH= , ∴在 Rt△BEH 中,BH= = = . 5.(1)①证明:如图 1中, ∵OA=OC, ∴∠A=∠ACO, ∵∠PCB=∠A, ∴∠ACO=∠PCB, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠PCB+∠OCB=90°,即 OC⊥CP, ∵OC 是⊙O 的半径, ∴PC 是⊙O 的切线. ②∵CP=CA, ∴∠P=∠A, ∴∠COB=2∠A=2∠P, ∵∠OCP=90°, ∴∠P=30°, ∵OC=OA=2, ∴OP=2OC=4, ∴ . (2)解:如图 2 中,连接 MA. ∵点 M 是弧 AB 的中点, ∴ = , ∴∠ACM=∠BAM, ∵∠AMC=∠AMN, ∴△AMC∽△NMA, ∴ , ∴AM2 =MC•MN, ∵MC•MN=9, ∴AM=3, ∴BM=AM=3. 6.(1)证明:如图 1, ∵PB=2,BC=4,BN=1, ∴PB2 =4,BN•BC=4. ∴PB2 =BN•BC. ∴ = . 又∵∠B=∠B, ∴△BPN∽△BCP. ∴ = = . ∴PN= PC; (2)如图 2,在 BC 上取一点 G,使得 BG=1, (3)同(2)中证法,如图 3, 取 BG=1, 当点 P 在 DG 的延长线上时,PD﹣ PC 的最大值,最大值为 . 7.(1)证明:如图 1 中,连接 AC,OC,OA. ∵∠AOC=2∠ABC=60°,OA=OC, ∴△AOC 是等边三角形, ∴∠CAO=60°, ∵ = , ∴AB⊥OC, ∴∠OAD= ∠OAC=30°, ∵∠ABC=30°, ∴∠ABC=∠OAD, ∴OA∥BF, ∵AF⊥BF, ∴OA⊥AF, ∴AF 是⊙O 的切线. (2)解:∵ = , ∴∠CBD=∠BEC, ∵∠BCD=∠BCE, ∴△BCD∽△ECB, ∴ = , ∴ = , ∴EC=12, ∴DE=EC﹣CD=12﹣3=9. 故答案为 9. (3)解:结论: = , 的值不变. 理由:如图 2 中,连接 AC,OC,OC 交 AB 于 H,作 AN∥EC 交 BE 的延长线于 N. ∵ = , ∴OC⊥AB,CB=CA, ∴BH=AH= AB, ∵∠ABC=30°, ∴BH= BC, ∴AC= AB, ∵CE∥AN, ∴∠N=∠CEB=30°,∠EAN=∠AEC=∠ABC=30°, ∴∠CEA=∠ABC=30°,∠EAN=∠N, ∴∠N=∠AEC,AE=EN, ∵∠ACE=∠ABN, ∴△ACE∽△ABN, ∴ = = , ∴ = , ∴ 的值不变. 8.(1)证明:连结 OD,如图, ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACD, ∵OC=OD, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠B=∠ODC, ∴OD∥AB, ∵DE⊥AB, ∴OD⊥EF, ∴EF 是⊙O 的切线; (2)解:在 Rt△ODF,sin∠OFD= = , 设 OD=3x,则 OF=5x, ∴AB=AC=6x,AF=8x, 在 Rt△AEF 中,∵sin∠AFE= = , ∴AE= •8x= x, ∵BE=AB﹣AE=6x﹣ x= x, ∴ x= ,解得 x= , ∴AE= × =6, OD=3× = , 即⊙O的半径长为 . 9.(1)证明:连接 OD,如图, ∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠ADC=90°, 又∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵CO=OD, ∴∠C=∠CDO, ∴∠CDO=∠B, ∴OD∥AB, ∵DE⊥AB, ∴OD⊥DF, 又∵OD 为⊙O 的半径, ∴DF 是⊙O 的切线; (2)解:∵∠C=30°, ∴∠AOD=60°, 在 Rt△ODF 中,∠ODF=90°, ∴∠F=30°, ∴OD= OF, ∴AF=OA=OD, 在 Rt△AEF 中,∠AEF=90°, ∵EF= , ∴AE= EF=1, ∴AF=2AE=2, ∴AC=2OA=4, ∴AB=AC=4, ∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3. 10.(1)证明:∵∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, ∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠ANC=90°, ∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB, ∵∠CAB=2∠BCP, ∴∠BCP=∠CAN, ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°, ∵点 D 在⊙O 上, ∴直线 CP 是⊙O 的切线; (2)如图,作 BF⊥AC ∵AB=AC,∠ANC=90°, ∴CN= CB= , ∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP= , ∴sin∠CAN= , ∴ , ∴AC=5, ∴AB=AC=5, 设 AF=x,则 CF=5﹣x, 在 Rt△ABF 中,BF2 =AB2 ﹣AF2 =25﹣x2 , 在 Rt△CBF 中,BF2 =BC2 ﹣CF2 =2O﹣(5﹣x)2 , ∴25﹣x2 =2O﹣(5﹣x)2 , ∴x=3, ∴BF2 =25﹣3 2 =16, ∴BF=4, 即点 B 到 AC 的距离为 4.