河南省淮滨县第一中学2020-2021学年第一学期九年级数学寒假作业——每日一练（2）（第二十一章至第二十七章） 16页

河南省淮滨县第一中学 2020-2021 学年第一学期九年级数学寒假作业——每日一练（2）（第二十一章至第二十七章） 一、选择题 1．如图，四边形 OABC 是矩形，等腰△ODE 中，OE＝DE，点 A、D 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 B、E 在反比例函数 y＝ 的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE 的面积为（ ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 2．如图，在矩形 ABCD 中， 3AB  ， 6AD  ，CE BD 于 E ， AG BD 于G ， AF 平分 BAD 交 BC 于点 N ， 交 EC 延长线与点 F ，则下列说法中正确的有（ ）个 ① BE DG ；② 1 2 BN AD ；③ 2MN  ；④ BD CF ；⑤ 2  AG BG DG A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A（﹣1，0），C（1，2），点 F 是 BC 的中点，CD 与 y 轴交于点 E，AF 与 BE 交于 点 G．将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 99 次旋转结束时，点 G 的坐标为（ ） A．（ 3 5 ， 4 5 ） B．（﹣ 4 5 ， 3 5 ） C．（﹣ 3 5 ， 4 5 ） D．（ 4 5 ，﹣ 3 5 ） 4．如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF 分别交 BD 于 M、N，连按 EN、 EF、有以下结论：①AN＝EN，②当 AE＝AF 时， BE EC ＝2﹣ 2 ，③BE+DF＝EF，④存在点 E、F，使得 NF＞DF，其 中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为(－1,2)，(2,1)，若抛物线 y＝ 2 2ax x  （a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（ ） A．a≤－1 或 1 1 4 3a  B．－1≤a＜0 或 1 1 4 3a  C． 1 4a  或 1 3a  D．a≤－1 或 1 4a  6．如图，等边三角形 ABC 的边长为 4,点O 是 △ ABC 的中心，  120FOG   .绕点 o 旋转 FOG ,分别交线段 AB BC、 于 D E、 两点，连接 DE ,给出下列四个结论:①OD OE ;② ODE BDES S  ;③四边形ODBE 的面积始终等于 4 33 ;④△ BDE 周长的最小值为 6,上述结论中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，等腰 Rt ABC 的一个锐角顶点 A 是 O 上的一个动点， 90ACB  ，腰 AC 与斜边 AB 分别交 O 于点 ,E D ， 分别过点 ,D E 作 O 的切线交于点 F ，且点 F 恰好是腰 BC 上的点，连接 , ,OC OD OE ，若 O 的半径为 4，则OC 的 最大值为：（ ） A． 2 5 2 B． 4 2 2 C．6 D．8 8．如图，等边 ABC 中， P 为三角形内一点，过 P 作 PD BC ， PE AB ， PF AC ，连结 AP 、 BP 、 CP ， 如果 APF BPES S △ △ PCDS 3 3 2  ，那么 ABC 的内切圆半径为（ ） A．１ B． 3 C．2 D． 3 2 9．如图，菱形 ABCD 中，AB＝AC，点 E、F 分别为边 AB、BC 上的点，且 AE＝BF，连接 CE、AF 交于点 H，则下列 结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD＝AH•AF；其中结论正确的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．已知三个关于 x 的一元二次方程 2 0ax bx c   ， 2 0bx cx a   ， 2 0cx ax b   恰有一个公共实数根，则 2 2 2a b c bc ca ab   的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．在矩形 ABCD 中， P 为 CD 边上一点 DP CP ， 90APB  .将 ADP△ 沿 AP 翻折得到 AD P△ ， PD 的延 长线交边 AB 于点 M ，过点 B 作 BN MP 交 DC 于点 N .连接 AC ，分别交 PM ， PB 于点 E ， F .现有以下结论： ①连接 DD，则 AP 垂直平分 DD；②四边形 PMBN 是菱形；③ 2AD DP PC  ；④若 2AD DP ，则 5 9 EF AE  .其 中正确的结论是________（填写所有正确结论的序号）. 12．如图，在菱形OABC 中，OB 是对角线， 2OA OB  ，⊙O 与边 AB 相切于点 D ，则图中阴影部分的面积为_______． 13．如图，在 ABC 纸板中， 4AC  ， 2BC  ， 5AB  ， P 是 AC 上一点，过点 P 沿直线剪下一个与 ABC 相似的 小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 AP 长的取值范围是________． 14．如图，已知 P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段 PQ 的中点为 M，连接 OP，OM，若⊙O 的半径为 2，OP＝4，则 线段 OM 的最小值是__________． 15．心理学家研究发现：一般情形下，在一节 40 分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课 时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过 实验分析，知学生的注意力指数 y 随时间 x（分钟）的变化规律为：      2 4 60, 0 10 100, 10 20 1 31 165, 20 4032 8 x x y x x x x                有一道数学竞赛题需要讲解 16.5 分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大．那么，教师经过适当 安排，应在上课的第________分钟开始讲解这道题． 三、解答题 16．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由 2 班、5 班、6 班、9 班进入了 年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这 4 个班级分成 2 个小组，再由两个小组的胜 出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出 9 班和 5 班抽签到一个小组的概率； （2）若 4 个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是 50%，求在年级四强的名次争夺赛中 9 班不与 5 班对 决的概率． 17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足为 B ，已知 4AB BO  ．反比例 函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象经过 AO 的中点 (2,2)C ，交 AB 于点 D ． （1）求反比例函数 ky x  的表达式； （2）求经过C 、 D 两点的直线所对应的函数表达式； （3）设点 E 是 x 轴上的动点，请直接写出使 OCE 为直角三角形的点 E 的坐标． 18．综合与探究 如图，抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA＝2，OC＝6，连接 AC 和 BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，点 D 的坐标为 ． （3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE 和 BE．求△BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标； （4）若点 M 是 y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知 ABC ， 90C  ∠ ，点 B 在 O 上， AB 边与 O 相交于点 D ，BC 过经过圆心O ，与 O 相交于点 F ， O 的切线 DE 交 AC 于点 E （1）求证： AE DE （2）若 3 4 AC BC  ， 2CF  ， 10BF  ，求 AD 的长 20．如图，将两个等腰直角三角形纸片OAB 和OCD 放置在平面直角坐标系中，点  0,0O ，点  0, 2 1A  ，点  2 1,0B  ，点  0,1C ，点  1,0D ． （Ⅰ）求证： AC BD ； （Ⅱ）如图，现将 OCD 绕点 O 顺时针方向旋转，旋转角为  0 180     ，连接 AC ，BD ，这一过程中 AC 和 BD 是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角 的度数为__________时， AC 所在直线能够垂直平分 BD ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角 的范围扩大为 0 360   ，那么在旋转过程中，求 BAD 的面积的最大值， 并写出此时旋转角 的度数．（直接写出结果即可）． 21．如图 1，已知 B 点坐标是（6 ，6），BA⊥x 轴于 A，BC⊥y 轴于 C，D 在线段 OA 上，E 在 y 轴的正半轴上,DE⊥BD， M 是 DE 中点，且 M 在 OB 上． （1）点 M 的坐标是（ ， ），DE= ； （2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点 将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图 2，如果一动点 F 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度向 点 A 运动，同时有一点 G 从点 D 出发以每秒 个单位长度的速度向点 O 运动，点 H 从点 E 开始沿 y 轴正方向自由滑动， 并始终保持 GH=DE,P 为 FG 的中点，Q 为 GH 的中点,F 与 G 两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程 中点 P、Q 运动的路线长． （3）连接 PQ，求当运动多少秒时，PQ 最小，最小值是多少？ 22．综合与探究：如图,抛物线 21 3y x x 44 2    与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 的右侧)与 y 轴交于点 C,连接 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物 线于点 Q． （1）求点 A,B,C 的坐标． （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD，BC 于点 M,N．试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形， 此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由． （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 23．如图，平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的函数解析式为 2y x b  ，点 P 在直线 l 上，直线 l 与直线 AB 相交于点 1, 3C a    ，且 ( 1,0)A  ， (3,2)B ． （1）求 a 的值及直线 l 的解析式； （2）如图 1，已知 (0,4)D ，若 ABP ABDS S△ △ ，求点 P 的坐标； （3）在坐标平面内是否存在一点 Q，使得以 P、A、Q、B 为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点 Q 的坐标，若 不存在，请说明理由． 【参考答案】 1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．A 9．D 10．D 11．①②③ 12． 2 3  13．3 4AP  14．1 15．7.5 16．（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共 3 种， 9 班和 5 班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为： 1 3 ； （2）①分组为(2，5)和(6，9)， 1、2 名争夺 3、4 名争夺 情况 1 (2，6) (5，9) 情况 2 (2，9) (5，6) 情况 3 (5，6) (2，9) 情况 4 (5，9) (2，6) 故概率为： 1 2 1 3 4 6   ； ②分组为(2，9)和(5，6)， 1、2 名争夺 3、4 名争夺 情况 1 (2，5) (6，9) 情况 2 (2，6) (5，9) 情况 3 (5，9) (2，6) 情况 4 (6，9) (2，5) 故概率为： 1 2 1 3 4 6   ； 综上，在年级四强的名次争夺赛中 9 班不与 5 班对决的概率为 1 1 1 6 6 3   ． 17．（1） (2,2)C 在反比例函数 ky x  上， 2 2 k  2k  ， 反比例函数的解析式为 4y x  ． （2）点C 是OA的中点， (2,2)C ， (4,4)A ， 当 x=4 时， 4y x  =1， AB x 轴， (4,1)D ，  点 (2,2)C ， (4,1)D ， 设直线 CD 的解析式为 y ax b  ，则 2 2 4 1 a b a b      ， 解得： 1 2 3 a b      ， 直线 CD 的解析式为 1 32y x   ． （3）当 90OEC   时，点 E 的横坐标与点C 的横坐标相等， (2,2)C ， (2,0)E ． 当 90OCE   时． (2,2)C ， 45COB   ． OCE 为等腰直角三角形． )0(4,E ． 综上所述，点 E 的坐标为 (2,0) 或 (4,0) ． 18．（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∵抛物线 y＝x2+bx+c 过点 A、C ∴ 4 2 0 0 0 6 b c c         解得： 1 6 b c      ∴抛物线解析式为 y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当 y＝0 时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3 ∴B（3，0），抛物线对称轴为直线 x＝ 2 3 1 2 2 - + = ∵点 D 在直线 x＝ 1 2 上，点 A、B 关于直线 x＝ 1 2 对称 ∴xD＝ 1 2 ，AD＝BD ∴当点 B、D、C 在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC 最小 设直线 BC 解析式为 y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线 BC：y＝2x﹣6 ∴yD＝2× 1 2 ﹣6＝﹣5 ∴D（ 1 2 ，﹣5） 故答案为：（ 1 2 ，﹣5） （3）过点 E 作 EG⊥x 轴于点 G，交直线 BC 与点 F 设 E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则 F（t，2t﹣6） ∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t ∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝ 1 2 EF•BG+ 1 2 EF•OG＝ 1 2 EF（BG+OG）＝ 1 2 EF•OB＝ 1 2 ×3（﹣t2+3t）＝﹣ 3 2 （t﹣ 3 2 ）2+ 27 8 ∴当 t＝ 3 2 时，△BCE 面积最大 ∴yE＝（ 3 2 ）2﹣ 3 2 ﹣6＝﹣ 21 4 ∴点 E 坐标为（ 3 2 ，﹣ 21 4 ）时，△BCE 面积最大，最大值为 27 8 ． （4）存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形． ∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝ 2 22 6 2 10  ① 若 AC 为菱形的边长，如图 3， 则 MN∥AC 且，MN＝AC＝2 10 ∴N1（﹣2，2 10 ），N2（﹣2，﹣2 10 ），N3（2，0） ② 若 AC 为菱形的对角线，如图 4，则 AN4∥CM4，AN4＝CN4 设 N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 2 22 ( 6)n  解得：n＝﹣10 3 ∴N4（﹣2，﹣10 3 ） 综上所述，点 N 坐标为（﹣2，2 10 ），（﹣2，﹣2 10 ），（2，0），（﹣2，﹣10 3 ）． 19．解：（1）连接OD ， DE 是 O 的切线 90ODE   ， 90ADE ODB     OD OB ， B BDO   ， 90ADE B     ， 又 90A B     ， ∴ A ADE   ， AE DE  （2）连接 DF ， 2CF  ， 10BF  ， 12BC  又 3 4 AC BC  ， 9AC  ， 2 2 2 29 12 15AB AC BC      ， 在 Rt DBF 中， 4cos 5 BD BCBBF AB    ， 4 10 85BD    ， 15 8 7AD AB BD      20．解：（Ⅰ）∵  0, 2 1A  ，  2 1,0B  ，  0,1C ，  1,0D ，  2 1OA   ， 2 1B   ， 1OC  ， 1OD  ， ∴ 2AC OA OC   ， 2BD OB OD   ， ∴ AC BD ； （Ⅱ）根据题意：OA OB ，OC OD ， ∵ 90AOC AOB COB COB      ， 90BOD COD COB COB      ， ∴ AOC BOD   ， 在 AOC△ 和 BOD 中， AO BO AOC BOD CO DO       ， ∴  AOC BOD SAS△ △ ， ∴ AC BD ， 当旋转角α的度数为90 时， AC 所在直线能够垂直平分 BD ， 如图所示，此时  AOC BOD SAS△ △ 依旧成立， ∴ CAO DBO   ， ∵ 90DBO BDO     ， ∴ 90CAO BDO     ， ∴ 90AED   ， ∵ 2 1 1 2 2AD AO OD       ， 2 2 2AB AO   ， ∴ AD AB ， ∵ AE BD ， ∴ DE BE ， 即 AC 所在直线能够垂直平分 BD ， 故答案是：90 ； （Ⅲ） BAD 的底 AB 长度是固定的，所以要使它面积最大，则点 D 到 AB 的距离要最大， 已知点 D 的运动轨迹是一个圆，只要求出点 O 到 AB 的距离加上半径即可， 如图，过点 O 作 OF AB 于点 F，  2 2 1 21 22 2 AO BOOF AB      ， 则点 D 到 AB 的最大距离是： 2 21 1 22 2     ， ∴  1 2 3 2 52 2 22 2 2ABDS            ， △AOB 是等腰直角三角形，OF AB ， 1 452AOF AOB     ， 则此时 90 45 135BOD        ， 故 BAD 的面积的最大值为 3 2 5 2  ，旋转角α的度数为135 ． 21．（1）设点 M 的坐标为（x，y），根据点 B 的坐标可知 66 3 x y ，整理得 y= 3 3 x ，据此可得点 E 的坐标为（0，2 3 3 x ）， 点 D 的坐标为（2x，0），则 OE= 2 3 3 x ，OD=2x，通过△ODE 和△DAB 相似得到关于 x 的等式，解得 x 值，进而得到点 M 的坐标，应用勾股定理求得 DE 的长； （2）点 P 的路线分两部分，应用勾股定理求得 1 2PP ，再求得 2 3P P ， 1 2PP + 2 3P P 即为点 P 的路线长，点 Q 在弧上运动， 求得圆心角和半径，应用弧长公式求得点 Q 的路线长； （3）首先确定 FH 最小时的位置，设此时运动时间为 t 秒，由勾股定理得到关于 t 的等式，解得 t 值． 试题解析：解：（1）点 M 的坐标是（2 ，2），DE=8； （2） 1 2PP = ， 2 3P P =1， P 点运动的路线长 1 2PP + 2 3P P =5， OQ= GH= DE=4，∠BOC=60º， Q 运动的路线长 = ； （3）连接 FH，则 PQ= FH，当 FH 最小时，PQ 最小， 而 FH⊥y 轴时，FH 最小值=6 ， 设此时运动时间为 t 秒， 则 OH=AF=6-t， OG=OA-AD-DG=6 -2 - t=4 - t， 由勾股定理得（4 - t）2+（6-t）2=82， 解得：t1= （舍去），t2= ， 所以，当运动 秒时，PQ 最小值=3 ． 22．解：（1）当 y=0 时， 21 3x x 4 04 2    ，解得， 1 2x 2 x 8，   ， ∵点 B 在点 A 的右侧，∴点 A，B 的坐标分别为：（－2，0），（8，0）． 当 x=0 时， y 4  ，∴点 C 的坐标为（0，－4）． （2）由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为（0，4）． 设直线 BD 的解析式为 y kx b  ，则 b 4{8k b 0    ，解得， 1k{ 2 b 4    ． ∴直线 BD 的解析式为 1y x 42    ． ∵l⊥x 轴，∴点 M，Q 的坐标分别是（m， 1 m 42   ），（m， 21 3m m 44 2   ） 如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形． ∴  21 1 3m 4 m m 4 4 42 4 2                  ，化简得： 2m 4m 0  ． 解得，m1=0，（舍去）m2=4． 当 m=4 时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，四边形 CQBM 也是平行四边形．理由如下： ∵m=4，∴点 P 是 OB 中点． ∵l⊥x 轴，∴l∥y 轴． ∴△BPM∽△BOD．∴ BP BM 1 BD BD 2   ．∴BM=DM． ∵四边形 CQMD 是平行四边形，∴DM CQ．∴BM CQ． ∴四边形 CQBM 为平行四边形． （3）抛物线上存在两个这样的点 Q，分别是 Q1（－2，0），Q2（6，－4）． 23．解：（1）设 AB 直线为 y kx b  ， 把 ( 1,0)A  ， (3,2)B 代入得 0 2 3 k b k b       ，解得 1 2 1 2 k b     ， 直线 AB 为： 1 1 2 2y x  ， 把 1 3y   代入 AB 解析式，解得 5 3x   ， 5 3a   ，C 为 5 1,3 3      ， 把 5 1,3 3C      代入 2y x b  ，得 3b  ， l 解析式为 2 3y x  ； （2）记直线 AB 与 y 轴交于点 E， 由 AB 为 1 1 2 2y x  可知 E 为 10, 2      ，  1 1 14 (3 1) 72 2 2ABD B AS DE x x              ， 设 P 点为 ( ,2 3)p p  ，过点 P 作 PM  x 轴，交 AB 于 M 点， 则 M 为 1 1, 2 2p p    ， 则  1 1 1 1(2 3) (3 1)2 2 2 2ABP B AS PM x x p p             | 3 5|p  ， | 3 5| 7p   ，解得 2 3p  或-4， 则 P 点为 2 13,3 3      或 ( 4, 5)  ； （3）以 P，A，Q，B 为顶点的四边形为矩形，即以 P，A，B 为顶点的三角形是直角三角形， 设 P 点为 ( ,2 3)p p  ，  1,0A  ，  3,2B ，    2 22 21 2 3 5 14 10AP p p p p       ，    2 22 23 2 1 5 2 10BP p p p p       ，  22 23 1 2 20AB     ①当 A 为直角顶点，即 1PA AB ， 2 2 2AP AB BP  ，即 2 25 14 10 20 5 2 10p p p p      ， 解得： 5 4p   ， 1 5 1,4 2P      ， 根据 A，Q 中点即为 1P ，B 中点， 依据中点坐标公式可写出 Q 为 11 5,4 2      ； ②当 B 为直角顶点，即 2P B AB ， 2 2 2BP AB AP  ，即 2 25 2 10 20 5 14 10p p p p      ， 解得： 5 4p  ， 2 5 11,4 2P      ， 同理写出 Q 为 11 7,4 2     ； ③当 P 为直角顶点，即 PA PB ， 2 2 2BP AP AB  ，即 2 25 2 10 5 14 10 20p p p p      ， 解得： 0p  或 6 5  ， 当 3P 为 (0,3) 时，Q 为 (2, 1) ， 当 4P 为 6 3,5 5     时，Q 为 16 7,5 5      ， 综上所述，Q 点为 11 5,4 2      ， 11 7,4 2     ， (2, 1) ， 16 7,5 5      ．