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  • 2021-11-06 发布

中考数学专题复习练习:提公因式法

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典型例题一 例01.下列四个从左到右的变形,是因式分解的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式. A是整式乘积化成多项式;B只是符号变换;D中不是整式. 正确答案是C. ‎ 解答 C 说明 对因式分解理解应注意:①分解因式与因式分解是同义词;②结果应是整式乘积,而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.‎ 典型例题二 例02.在下面因式分解中,正确的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 分析 A式左边是3项,而右边展开后是两项,D式左边无公因式2,只能提取出,而不能提取出2,故排除A与D. ‎ 若将B式右端展开,含的项的系数为-1,而将其左边展开,该项的符号为正,可见B也是不正确的. ‎ 解答 C 说明 考查因式分解的定义.‎ 典型例题三 例03.在下面多项式中,能通过因式分解变形为的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析 ‎ 解答 乘积与题目中的D式相同,故选D. ‎ 说明 此题可以把所给的几个多项式逐个分解因式,从而做出正确选择. 不过这样做可能要消耗比较多的时间,不妨变换角度加以思考. ‎ 也可以选用多项式乘法与因式分解的关系,把按多项式乘法法则展开,看得到的结果与题目所给4个多项式中的哪一个相同.‎ 典型例题四 例04.把分解因式. ‎ 分析 本题是一个五次三项式. 先观察各项是否有公因式:的公因式是(如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数为正). 提公因式时,系数和字母应分别考虑. 公因式的系数应取各项系数的最大公约数,8,6,2的最大公约数是2,字母应取各项共有的字母,并且各字母的指数取次数最低的. 最低次数是3;最低次数是1,所以该多项式应提取公因式.‎ 解答 ‎ ‎ ‎ 说明 本题考查提公因式法分解因式,要明确提公因式时应注意的事项.‎ 典型例题五 例05.分解因式:‎ 解答 ‎ ‎ ‎ 说明 观察到第一项的系数是负数,我们先把“-”号提出来,便于继续分解因式. ‎ 典型例题六 例06.分解因式:. ‎ 分析 观察题目结构特征:第一项系数是负数,且有因式,第二、三项有因式,这就启发我们只要把前面添上负号,就变成,这样三项中均有公因式了. ‎ 解答 ‎ ‎ ‎ 说明 对于与的符号有下面的关系:‎ 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.‎ 典型例题七 例07.解方程:. ‎ 分析 方程左边的第一项有因式,第二项有因式. 所以我们应先提取公因式,再化简求解. ‎ 解答 原方程依次变形为:‎ 典型例题八 例08.不解方程组 求:的值. ‎ 分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于与的因式,再代入求解. ‎ 解答 ‎ ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴原式. ‎ 说明 在解题过程中,巧妙地运用了转化思想,用提公因式法分解因式作为桥梁,把题给方程组和所求多项式结合起来,体现了思维的广阔性.‎ 判断下列几个变形是否为因式分解的结果?‎ ‎ (1); (2);‎ ‎ (3); (4)‎ 解:(1)由因式分解的概念可知,因式分解是针对多项式进行的,而是单项式,其本身是数字与字母的乘积形式,故不存在的因式分解问题,所以不是因式分解。‎ ‎ (2)因式分解的结果是整式乘积的形式,而等号右边不满足,因此也不是因式分解。‎ ‎ (3)由于3是各式中的公因数,也应当提到括号外边,所以因式分解没有做完。‎ ‎ (4)在多项式中,第三项,可看成系数是1,即的形式,当被提出后,此项还应剩下1,而不是零,故因式分解也不对。‎ 点拨:(1)因式分解是针对多项式而言的,其分解结果必须是整式的乘积形式;‎ ‎ (2)一般地,提取公因式后,括号内的多项式必须满足:①再无公因式可提;②其项数和原多项式的项数相同。‎ 确定下列各题中的公因式:‎ ‎ (1); (2)‎ ‎ 分析:首先要判定各单项式的系数是否有公因数,若有,则把公因数作为公因式的系数;然后再观察各式的字母部分是否有相同字母的幂,把各式中相同字母的最低次幂的积,作为公因式的字母部分.‎ ‎ 解:(1)4是各单项式中系数的绝对值4,12和8的最大公约数,是各式中都含有的字母,且其幂的次数最低,所以是它的公因式.‎ ‎ (2)2是各式中系数的绝对值2,4的最大公约数,、分别是各式中以、‎ 为底的幂式的公因式,所以各式的公因式是.‎ ‎ 点拨:(1)各单项式的公因式可以这样组成:①公因式的系数,是各单项式中系数的绝对值的最大公约数;②公因式中的字母的幂,是各单项中都含有的字母的幂中次数最低的.‎ ‎ (2)公因式的系数可以是正的,也可以是负的,可根据需要选择.‎ 例1把下列各式分解因式:‎ ‎ (1); (2)‎ ‎ 分析:先找出多项式的公因式,把各项写成公因式与一个单项式的乘积的形式,再把公因式提到括号外面.‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ;‎ ‎ (2)‎ ‎ 点拨:(1)当多项式的首项系数为负时,则取系数是负数的公因式;‎ ‎ (2)提出系数为负数的公因式时,需把留在括号内的多项式的各项都变号.‎ 例2 把下列各式分解因式:‎ ‎ (1);‎ ‎ (2)‎ 分析:把,看成是一个整体来考虑.‎ 解:(1)‎ ‎ ;‎ ‎ (2)‎ 点拨:(1)“把,看成是一个整体”,体现了换元思想的应用;‎ ‎ (2)公因式可以是单项式,可以是多项式,也可以是单项式与多项式的乘积,注意看清(2)题中公因式是由单项式和多项式的乘积构成,要一次提出,以免漏提。‎ 例3 把下列各式分解因式:‎ ‎ (1); (2)‎ 分析:式中与,和互为相反数,于是有 ‎,,‎ 由此可将多项式转化成含有公因式的形式。‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ;‎ ‎ (2)‎ ‎;‎ 或者 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点拨:(1)对表面上没有公因式的多项式,利用其互为相反数的条件,转化成含有公因式的式子来完成因式分解是一项基本技巧。其一般原则是:①首项一般不化成含负号的形式;②对同时含有奇次项和偶次项的多项式,一般将偶次项的底数化为它的相反数的形式,这样可使多项式各项的符号不变。‎ ‎ (2)提公因式后,当括号中的某项为1时,不要漏掉此项。‎ 计算:‎ ‎ (1);‎ ‎ (2) ‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ ;‎ ‎ (2)‎ 点拨:用提公因式法可简化一些运算。‎ 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)下列变形是因式分解的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(2)多项式的公因式是()‎ ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎(3)下列用提公因式法因式分解正确的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(4)将多项式分解因式,提公因式后,另一个因式是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(5)下列多项式应提公因式的是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)下列等式成立的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(7)将多项式因式分解得()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(8)下列因式分解不正确的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎2.选择题 ‎(1)下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(2)下列因式分解结果正确的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(3)多项式分解因式等于()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)下列变形是因式分解的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(5)将分解因式,应提取公因式()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(6)多项式因式分解后含有的因式是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(7)将多项式分解因式,正确的结果是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(8)代数式,,的公因式是()‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3.选择题 ‎(1)代数式各项的因式是()‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2)下列各式从左到右的变形是因式分解的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D) ‎ ‎(3)下列各式分解因式正确的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)C(2)C(3)C(4)A(5)A(6)D(7)B(8)C ‎2.(1)D(2)B(3)C(4)C(5)C(6)A(7)C(8)B ‎3.(1)C(2)C(3)D 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)(_________).‎ ‎(2)多项式的公因式是_________.‎ ‎(3)=__________()‎ ‎(4)分解因式:__________‎ ‎(5)=_________()‎ ‎(6)(________)‎ ‎(7)=________(),=________()‎ ‎(8)=________()()‎ ‎(9)计算:=_________‎ ‎(10)(________)‎ ‎2.把下列各多项式的公因式写在后面的括号内 ‎(1)()‎ ‎(2)()‎ ‎(3)()‎ ‎(4)()‎ ‎(5)()‎ ‎(6)()‎ ‎(7)()‎ ‎(8)()‎ ‎(9)()‎ ‎(10)()‎ ‎3.填空题 ‎(1)(________)‎ ‎(2)(________)‎ ‎(3)代数式,,的公因式为________‎ ‎(4)________()‎ ‎(5)________()‎ ‎(6)(________)‎ ‎(7)________()()‎ ‎(8)_______‎ ‎(9)________()‎ ‎(10)因式分解:_______‎ ‎4.填空题 ‎(1)(________)‎ ‎(2)________‎ ‎(3)(________)‎ ‎(4)(________)‎ ‎(5)的公因式为__________‎ ‎(6)_________()‎ ‎(7)(_________)‎ ‎(8)计算__________‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)-,+(8)-(9)(10)‎ ‎2.(1)(2)(3)(4)或(5)或 (6)(7)(8)(9)(10)‎ ‎3.(1)(2)(3)(4)-(5)(6)(7)+(8)-(9)(10)‎ ‎4.(1)(2)-(3)(4)(5)(6) (7)(8)390‎ 解答题 ‎1.用提公因式法因式分解 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎(9) (10)‎ ‎2.因式分解 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎(9) (10)‎ ‎3.求满足下列等式的的值 ‎(1) (2)‎ ‎4.因式分解 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎5.因式分解 ‎(1)(2)‎ ‎(3)(4)‎ ‎(5)(6)‎ ‎(7)(8)‎ ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎6.计算题 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎7.求值 ‎,其中,,.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)(2)(3)(4)‎ ‎(5)(6)(7)‎ ‎(8)(9)(10)‎ ‎2.(1)(2)(3)(4) (5)(6)(7)(8)‎ ‎(9)(10)‎ ‎3.(1)0,2(2)2,‎ ‎4.(1)(2)(3)(4)‎ ‎(5)(6)(7)‎ ‎(8)‎ ‎5.(1)(2)(3)‎ ‎(4)(5)(6)‎ ‎(7)(8)(9)‎ ‎(10)‎ ‎6.(1)650(2)2002‎ ‎7.‎ 解答题 ‎1.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解,哪些是整式乘法?‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ ‎2.因式分解 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎3.因式分解 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎4.解答题 已知,为不相等的正数,比较与的大小.‎ ‎5.求值 已知,求多项式的值.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)(2)(6)(7)(8)是因式分解;(3)(4)(5)是乘法运算 ‎2.(1)(2)(3)‎ ‎(4)(5)(6)(7)‎ ‎(8)(9)(10)‎ ‎3.(1)(2)(3)‎ ‎(4)(5)(6)‎ ‎4.[提示:用]‎ ‎5. ‎ 能力1:‎ 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 答案: C 一、选择题 ‎(1) 多项式提取公因式后的另一个因式是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2) 下列各式分解正确切是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(3) 多项式的公因式是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4) 将分解因式等于( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)以上都不对 ‎(5) 下列因式分解的变形中,正确的是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(6) 多项式分解因式为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(7) 多项式分解因式为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 二、将下列多项式分解因式:‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ 答案:‎ 一 选择题: (1)C (2)D (3)C (4)A (5)A (6)C (7)C.‎ 二、(1) (2) ‎ ‎(3) ‎ ‎(4)‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.简算下题:‎ ‎2.已知:,求:多项式的值。‎ 答案:‎ ‎1.900‎ 解: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.-6‎ 解:∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎