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- 2021-11-06 发布
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第3章 圆的基本性质
3.8 弧长及扇形的面积
第1课时 弧长的相关计算
知识点1 利用弧长公式求弧长
1.在半径为6 cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为________cm.
2.2016·台州如图3-8-1,△ABC的外接圆O的半径为2,∠C=40°,则的长是________.
图3-8-1
图3-8-2
3.如图3-8-2,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为1,则的长为________.
图3-8-3
4.2017·绍兴模拟如图3-8-3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=6,∠BAC=30°,以点C为圆心,CB长为半径画弧交AB于点D,则弧BD的长为( )
A. B.π
C. D.
9
5.如图3-8-4,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为2,∠B=135°,求的长.
图3-8-4
6.如图3-8-5,在△ABC中,AB=4 cm,∠B=30°,∠C=45°,以点A为圆心,以AC长为半径作弧与AB交于点E,与BC交于点F,求的长.
图3-8-5
9
知识点2 利用弧长公式求圆心角或半径
7.如果一个扇形的弧长是π,半径是6,那么此扇形的圆心角的度数为( )
A.40° B.45° C.60° D.80°
8.2017·瑞安四校联考已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则它的半径为________.
9.(1)直径为100 cm的圆弧的度数为40°,求这条弧的长度;
(2)圆弧的圆心角为300°,它所对的弧长等于半径为6 cm的圆的周长,求该弧所在圆的半径.
10.如图3-8-6,△ABC内接于⊙O,∠A=60°,BC=6 ,则的长为( )
A.2π B.4π C.8π D.12π
图3-8-6
图3-8-7
11.2017·温州二模如图3-8-7,半圆O的直径AB=4,P,Q是半圆O上的点,弦PQ的长为2,则与的长度之和为( )
9
A. B. C. D.π
图3-8-8
12.如图3-8-8,将边长为1 cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动)至点B重新落在直线l上,点B从开始运动到结束,所经过路径的长度为( )
A.π cm B.(2+π)cm
C.π cm D.3 cm
13.如图3-8-9,在△ABC中,AB=AC.分别以B,C为圆心,BC长为半径,在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB,AC的延长线分别交于点E,F,连结AD,BD,CD.若BC=6,∠BAC=50°,求,的长度之和.(结果保留π)
图3-8-9
14.课本例2变式一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径为2 km,弯道所对圆心角为10
9
°,一辆汽车从此弯道上驶过,用时20 s,弯道上有一块限速警示牌,限速为40 km/h,则这辆汽车经过弯道时有没有超速?(π取3)
15.如图3-8-10,在菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°,我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心.菱形ABCD在直线l上向右做无滑动地翻滚,每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则:(1)经过1次这样的操作,菱形中心O所经过的路径长为多少?
(2)经过18次这样的操作,菱形中心O所经过的路径总长为多少?
(3)经过3n(n为正整数)次这样的操作,菱形中心O所经过的路径总长为________.(结果都保留π)
图3-8-10
9
详解详析
1.4π 2.π
3. [解析] 连结OA,OB.
∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴∠AOB=360°×=60°,
∴的长为=.故答案为.
4.B [解析] ∵AB=AC,BC=6,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°.
∵BC=DC,
∴∠BDC=75°,∠BCD=30°,
∴弧BD的长为=π.
故选B.
5.解:如图,连结OA,OC.
∵∠B=135°,
∴∠D=180°-135°=45°,
∴∠AOC=90°,则的长为=π.
6.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
9
∵∠B=30°,AB=4 cm,
∴AD=2 cm.
∵∠C=45°,
∴∠DAC=45°,
∴AD=CD=2 cm,
∴AC=2 cm.
∵∠B=30°,∠C=45°,
∴∠A=105°,
∴的长为=.
7.A [解析] ∵弧长l=,
∴n===40,
∴此扇形的圆心角的度数为40°.
8.9
9.解:(1)l==(cm).
(2)∵n=300,l=2×6π=12π,l=,
∴R===7.2(cm).
10.B [解析] 连结OB,OC,
∵∠A=60°,∴∠BOC=120°.
9
∵BC=6 ,∴R=OB=6,则===4π.故选B.
11.B [解析] 如图,连结OP,OQ,
则OP=OQ=2,
∵OP=OQ=PQ=2,
∴△OPQ为等边三角形,
∴∠POQ=60°,
∴∠AOP+∠BOQ=120°,
则与的长度之和为=.
故选B.
12.C [解析] ∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,∴∠ACA1=120°.
∵点B两次翻动划过的弧长相等,
∴点B经过的路径长为2×=π(cm).
13.解:∵AB=AC,∠BAC=50°,∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵BD=CD=BC,∴△BDC为等边三角形,
∴∠DBC=∠DCB=60°,
∴∠DBE=∠DCF=55°.
∵BC=6,∴BD=CD=6,
∴的长度=的长度==.
∴,的长度之和为+=.
9
14.解:∵l===(km),
∴汽车的速度为÷≈60(km/h).
∵60 km/h>40 km/h,
∴这辆汽车经过弯道时超速.
15.解: (1)如图,连结AC,BD,则AC,BD相交于点O.在菱形ABCD中,AB=2,∠BCD=60°,
∴AB=AD,∠BAD=∠BCD=60°,AC⊥BD,BO=DO,
∴△ABD是等边三角形,BO=DO=1,
∴AO==.
∴经过1次这样的操作,菱形中心O所经过的路径长为=π.
(2)由(1)可得:第一次旋转点O所经过的路径长为π,
第二次旋转点O所经过的路径长为π,
第三次旋转点O所经过的路径长为=.
∵18÷3=6,
故经过18次这样的操作,菱形中心O所经过的路径总长为6×(π+π+)=(4 +2)π.
(3)经过3n(n为正整数)次这样的操作,菱形中心O所经过的路径总长为n×(π+)=nπ.
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